5.6 直线与圆的位置关系 第3课时 切线的判定 学案 2024--2025学年鲁教版九年级数学下册

第五章 圆 6 直线与圆的位置关系 第3课时 切线的判定 列清单·划重点 知识点1 切线的判定定理 1.切线的判定定理：过半径外端且_____________于这条半径的直线是圆的切线. 2.数学符号语言：如图，OA 是⊙O的半径，OA⊥于点A,则 是⊙O的切线. 注意 如图所示，一条直线若满足两个条件：(1)经过半径OA 的外端点A；(2)垂直于这条半径OA，则这条直线是⊙O的切线. 知识点2 利用切线的判定定理证明直线与圆相切的方法 1.如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心，证明所作半径与这条直线垂直. 简记为：已知点在圆上，连半径(或作直径)，证垂直. 2.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长. 简记为：未知点(点的位置不确定)在圆上，作垂线，证半径. 明考点·识方法 考点1 已知直线经过圆上一点，证圆的切线 典例1 如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点 D 恰使∠ADC=∠B,求证：直线CD与⊙O相切. 思路导析 连接OD，由等腰三角形的性质和圆周角定理的推论得出 则再由切线的判定即可得出结论. 变式 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦， 连接AC,OD. (1)求证: (2)连接DB,过点 C作 交 DB 的延长线于点 E,延长 DO,交 AC 于点 F.若F 为AC 的中点,求证:直线 CE 为⊙O 的切线. 考点2 未知直线上的点在圆上，证圆的切线 典例2 如图所示，OC平分 点 D 是OC上的任意一点,⊙D 与OA 相切于点 E.求证:OB 与⊙D 相切. 思路导析 由于不知道 OB 与⊙D 的交点，故应过点 D 作OB 的垂线，证垂线段的长等于半径. 变式 如图， 内接于⊙O,AB 是⊙O的直径, 点E在AB延长线上， 过点 E 作 AC,交 AC 的延长线于点 D.求证:DE 是O的切线. 考点3 切线的性质与判定的综合运用 典例3 如图,AB 为⊙O的直径,E为⊙O上一点,点 C为 的中点，过点 C 作 交 AE 的延长线于点 D,延长 DC 交AB 的延长线于点 F. (1)求证:CD是⊙O的切线； (2)若 DE=1,DC=2,求⊙O的半径长. 思路导析 (1)连接 OC,证明OC⊥DF 即可; (2)连接CE，BC，由勾股定理求出CE，由题意知BC=CE,再由△ACD∽△ABC与勾股定理,求出AB的长.即可求出⊙O的半径. 变式1 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AD=CD,过点 D的直线交 BA 的延长线于点 M，交 BC的延长线于点 N,且∠ADM=∠DAC. (1)求证:MN是⊙O的切线; (2)求证: 变式2 如图,AB 是⊙O的直径,点 C是⊙O上的一点,点 P 是 BA 延长线上的一点，连接AC， (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)若 求证:AC=AP; (3)若 CD⊥AB 于 D,PA=4,BD=6,求AD 的长. 当堂测·夯基础 1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( ) A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1) 第1题图 第2题图 2.如图,∠ABC=70°,O为射线BC 上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线 BA 与⊙O相切，应将射线绕点 B 按顺时针方向旋转 ( ) A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110° 3.如图, 是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O相切于点 A 的条件是 ( ) D.AC是⊙O的直径 第3题图 第4题图 4.如图,线段 AB 是O的直径,⊙O交线段 BC 于点 D,且D是 BC 中点,DE⊥AC 于点 E,连接AD，则下列结论正确的个数是 ( ) ①CE·CA=CD·CB ②∠EDA=∠B ③ ④DE是⊙O的切线 A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图,半圆O的直径 DE =12 cm,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠ABC =30°,BC=12 cm.半圆O 以 2cm /s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点 B时停止，点D，E始终在直线BC 上.设运动时间为 t(s)，运动开始时，半圆O 在的左侧，当 ________时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切. 6.如图所示，已知直线 PA 交⊙O 于A,B 两点,AE 是⊙O的直径,C 为⊙O 上一点,且 AC 平分过点C作 垂足为点 D. (1)求证:CD为⊙O 的切线; (2)若 ⊙O的直径为10，求AB 的长度. 7.如图,BE 是⊙O 的直径,点 A 在⊙O上,点 C 在BE 的延长线上,AD平分 交⊙O于点 D,连结 DE. (1)求证:CA 是⊙O的切线; (2)当 4时,求 DE的长. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 1 1.垂直 【明考点·识方法】 典例1 证明：如图，连接OD， ∵AB 为⊙O的直径, 即 ∵OD是⊙O的半径,∴直线CD与⊙O相切. 变式 证明:(1)如图1,连接OC. ∵AB 是⊙O的直径,AB⊥CD,∴∠COB=∠DOB, ∵∠COB=2∠A,∴∠BOD=2∠A; (2)如图2所示, ∵F为AC 的中点,∴DF⊥AC,∴ ∠FDC+∠FCD =90°, ∵CD⊥AB,∴ ∠CAB + ∠ACD =90°,∴∠CAB=∠CDF, ∵OC=OD,∴∠OCD=∠CDF, 又 ∴∠CAB=∠CDB,∴∠OCD=∠CDB,∴OC∥DE, ∵CE⊥DE,∴OC⊥CE, ∵OC为⊙O的半径,∴直线CE为⊙O的切线. 典例2 证明：如图所示，过点 D 作 DF⊥OB于点 F,连接 DE. ∵OA 与⊙D 相切于点 E,∴DE⊥AO. 又∵OC 平分∠AOB,DF⊥∴DE=DF,∴点 F 在⊙D上. 又∵DF⊥OB,∴OB 与⊙D 相切. 变式 证明:过点 O作OF⊥DE于点F, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB = 90°,∠A =60°,∴∠ABC=30°, ∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°, ∵BE=OB, ∴OF=OB,即OF 是⊙O的半径, 又∵OF⊥BD,∴DE 是⊙O的切线. 典例3 解:(1)证明:连接OC, ∵点C为 的中点，∴EC=BC,∴∠EAC=∠BAC, ∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC, ∵CD⊥AE,∴OC⊥DF, 又∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线; (2)连接CE,BC. ∵在 Rt△CDE中,CD=2,DE=1, ∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC, ∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB, 设AC=2x,则 在 Rt△ABC中,有 即 解得 (负值已舍)， ∴⊙O的半径长为 变式1 证明:(1)连接OD,OC,如图, ∵AD=CD,OC=OA,∴OD 垂直平分AC, ∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN,∴OD⊥MN,即 MN是⊙O的切线; (2)连接BD,如图, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°, ∴∠ABD=∠ACD, ∵AC∥MN,∴∠ACB=∠MNB=90°,∠CDN=∠ACD, ∴∠CDN=∠ABD,∠ADB=∠MNB,∴△ABD∽△CDN, 即AD·CD=AB·CN, 又∵AD=CD, 变式 2 解:(1)证明:如图,连接OC, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠OCA=90°, ∵OB=OC,∴∠B=∠BCO, ∵∠PCA=∠B,∴∠PCA=∠BCO,∴∠PCA+∠OCA=90°,∴OC⊥PC, ∵OC 是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线; (2)证明: ∴∠B=30°,∴∠PCA=∠B=30°, 由(1)知∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°, ∴∠PCA=∠P=30°,∴AC=AP; (3)设AD=x, 在 Rt△ACB中,CD⊥AB,∴△BCD∽△CAD, ∵∠P=∠P,∠PCA=∠B,∴△PAC∽△PCB, ∴PC²=PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x), 在 Rt△PCD中，由勾股定理得 即 整理得 解得 (舍去),故AD=2. 【当堂测·夯基础】 1. B 2. B 3. A 4. C 5.1 s,4 s,7 s 解析:①当圆心O运动到点E 与点C 重合时， ∵AC⊥OE,OC=OE=6 cm,此时AC与半圆O 所在的圆相切，点O运动了2cm ,所求运动时间为t=2÷2=1(s); ②当圆心O运动到点 D 与点C 重合时，此时OC=6 cm,点O运动的距离为8+6=14(cm),所求运动时间为t=14÷2=7(s); ③当半圆O所在圆在直线AB 左侧且与其相切时,如图1,过 C点作 CF⊥AB,交 AB于F点； ∵∠ABC=30°,BC=12 cm,∴CF=6 cm,∴O与C重合, 即当 O 点 运 动到 C 点 时,半圆 O 与△ABC的边AB 相切; 此时点O运动了 8cm ，所求运动时间为t=8÷2=4(s), ④当半圆O所在圆在直线AB 右侧且与其相切时，如图 2，切点为点 Q，连接OQ， 因为圆心O运动到点 B 时停止，所以此种情况不符合题意，舍去. 综上所述，当t的值为1s或4s 或7s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切. 6.解:(1)证明:连接OC. ∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA. ∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC. ∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,∵OC为⊙O半径,∴CD是⊙O的切线; (2)过O作OM⊥AB于点 M,即∠OMA=90°,AM=BM, ∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,∴四边形 DMOC 是矩形,∴OC=DM,OM=CD. ∵⊙O直径为10,∴AO=5,∴OC=AO=5,∴DM=5,∴AM=5-DA, ∵DC+DA=6,∴OM=CD=6-DA, ∵在 Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得 ∴DA=2或DA=9(舍去),∴AM=5-2=3,∴AB=2AM=6. 7.解:(1)证明:连接OA, ∵BE 是⊙O的直径,∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°, ∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO, ∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,∴∠CAE+∠OAE=90°,∴∠OAC=90°, ∵OA 是⊙O的半径,∴CA 是⊙O的切线; (2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EAC, ∴BC=16,∴BE=BC-CE=12, 连接BD, ∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∴BD=DE,∴BD=DE, ∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°, 学科网（北京）股份有限公司 $$