第5章 6 第4课时 三角形的内切圆-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第4课时 三 (教材P40 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：三角形内切圆及相关概念 1.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三 角形高的比为( A.1:2:3 B.2:3:4 C.1:W2:√3 D.1:W3:2 2.[一题多辨](1)如图，⊙O是△ABC的内切 圆，则点O是△ABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 0 D.三条高的交点 B (2)如图，△ABC是一块三条边长均不相等 的薄板，要在△ABC薄板中裁剪出一个面积 最大的圆形薄板，则圆形薄板的圆心应是 △ABC的( ) A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 知识点二：利用三角形内切圆的性质进行相关计算 命题角度1：利用三角形内切圆的性质求角的 度数 3.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若 ∠AIB=125°，则∠AOB的度数为() A.1209 B.125 C.135° D.140 0 第3题图 第4题图 4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D,E, F.若∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度 数是 第五章圆☑ 角形的内切圆 ~41练习) 命题角度2：利用三角形内切圆的性质求面积 5.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C= 90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点 分别为D,E,F,则⊙O的面积为()（结 果保留π) A.π B.2π C.3π D.4π 6.（娄底中考)如图，P是△ABC的内心，连接 PA,PB,PC,△PAB,△PBC,△PAC的面 积分别为S1,S2,S3,则S1 S2+S3. (填“>”“<”或“=”) 命题角度3：利用三角形内切圆的性质解决实 际问题 7.如图，要在一块直角三角形的铁皮上裁剪下 一块圆形铁皮，知AB=60cm,BC= 80cm,为了充分利用这块铁皮，使剪下来的 圆形铁皮的直径尽量大些，应该怎样裁剪？ 这个圆的最大直径是多少？ 做神龙题得好成绩35 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 即能力提升 >》>>>》>》难度等级中等题 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm, AB=10cm.点P由点C出发以2cm/s的速 度沿线段CA向点A运动（不运动至点A), ⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB,AC相 切，当点P运动2s时，⊙O的半径是() 视频讲解 A号cm B.l2 3 cm D.2 cm 9.（泰安岱岳区一模)如图，△ABC中，∠A= 50°，⊙O截△ABC的三条边所得弦长相等， 则∠BOC=( ) A.1109 B.115° C.120° D.125° 素养提升微专题 【圆中的最值问题】 10.[空间观念]如图，矩形ABCO的顶点A,C 分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(4,3)， ⊙M是△AOC的内切圆，点N、点P分别 是⊙M,x轴上的动点，则PB十PN的最小 值是 M·N 第10题图 第11题图 11.[几何直观]如图，在矩形ABCD中，AB= 8,BC=6,点E,F分别是AD,BC的中点， 点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的 最大值是 36做神龙题得好成绩 12.(内江中考)如图，在 △ABC中，∠ABC=60°， BC=8,E是BC边上一 点，且BE=2,点I是 △ABC的内心，BI的延 长线交AC于点D,P是BD上一动点，连 接PE,PC,则PE十PC的最小值 为 即培优创新 难度等级综合题 13.[推理能力]如图，点I是△ABC的内心，BI 的延长线与△ABC的外接圆交于点D,与 AC交于点E,延长CD,BA相交于点F, ∠ADF的平分线交AF于点G: (1)求证：DG/CA. (2)求证：AD=ID, (3)若DE=4,BE=5,求BI的长.,BD=AB,AD=AE,∴.∠DAB=∠ADB=∠AED= △ABC内切圆的圆心，连接OA,OB,OC,设其内切圆半径 号180-.“∠ABD=45+2,i45+x=2180 1 为rcm.,AB=60cm,BC=80cm,∴.AC=√AB2+BC x),解得x=30°，即∠ABD=30°.(2)证明：如图，连接 -10em:Sa=5ae+5m+520e,d号×60X OC,作DH⊥AB于点H..AC=BC,OA=OB,.OC⊥ 80=乞·60+7·80+号·10，r=20,4这个圆的最 AB.在R△BDH中，DH=BD=AB,∴DH=OC, 大直径是40cm. 易证四边形DHOC为矩形，∴.OC⊥CD,∴.直线l是⊙O 的切线。 D 8.A 9.B[解析]如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N,OQ⊥AC于点Q,连接OK,OD,OF,OE,由垂径定 3.证明：如图，过点C作CHLAB于点H.:tanB=BC C 理，得DM=2DE,KQ=2KH,FN=rG.:DE FG=HK,∴.DM=KQ=FN.,OD=OK=OF,∴.由勾 .BC-2AC-2/5 AB -ACFB- 股定理，得OM=OQ=ON,即点O到三角形ABC三边的 距离相等，∴.O是△ABC的内心，∴.∠OBC+∠OCB= V5r+e5=5.:2CH·AB=合Ac·Bc, 合×as0-80)=65∠B0C=15 :CH=-ACBC=5X25=2.:oC的半径为2， AB 6 .CH为⊙C的半径，而CH⊥AB,∴AB为⊙C的切线。 B 10.4[解析]如图，作点B关于x轴的对称点B',连接 4.(1)证明：如图，连接EO,作ON⊥BC于点N.,O是菱形 MB',交⊙M于点N,交x轴于点P,过点M作MQ⊥x ABCD对角线BD上的一点，以O为圆心，OD为半径的 轴，交x轴于点E,过点B'作B'Q⊥MQ.,点B与点B ⊙O与AB相切于点E,∴.∠ABD=∠CBD,∠OEB= 关于x轴对称，∴.PB十PN=PB'+PN,当N,P,B在 90°，∴.OE=ON(角平分线上的点到角的两边的距离相 同一直线上且经过点M时取最小值.由题可知AC=5, 等)，.BC与⊙O相切.(2)解：，∠A=60°，AD=AB, ⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r,∴.SAAc ∴.△ABD是等边三角形，.AB=BD=2,∠ABD=60°. 名(8十红十5)=合×3X4,解得7=1，ME=MN 设E0=,则B0=2-云，在R△0EB中，s60品 =1,.QB'=4-1=3,QM=3+1=4,.MB'=5,.PB1 x3 +PN=5-1=4,即PB+PN的最小值为4. 2—x=,解得x=43-6,即⊙0的半径为43-6. M tN 0 E P 第4课时三角形的内切圆 1.A2.(1)B(2)D3.D4.65°5.A6.< 7.解：剪下的部分应是这个三角形的内切圆.如图，设点O为 B ·14·同行学案学练测 1.专[解析]：点E,F分别是AD,BC的中点，四边形 △DBA,∴.AD:DB=DE·DA,即AD:9= 4:AD,∴.AD=6,.DI=6,∴.BI=BD-DI=9-6=3. ABCD是矩形，∴.EF∥AB.P在EF上，AB=8,BC= 1 6,SAFAB=2X8X3=12.设△PAB内切圆半径是r. Ss=吉(AP+BP+AB)·7=12AP+BP最小 时，r有最大值.如图，F是BC的中点，∴点B关于EF 的对称点是点C,连接CA与EF交于点P',连接PC. 培优专题8：教材深挖一与三角形 AP+BP=AP+CP≥CA,.CA即为AP+BP的最 内切圆有关的公式 小值.AB=8,AD=6,∴AC=√62+82=10，∴.AP+ 1.解：如图，由题意得AB=√6+8=10(m).设点O到三 B即的最小值为10号×10+8)=12，解得r=亭 条支路的距离为m,则SAM心=合X(6+8+10)XA号 即△PAB内切圆半径的最大值是专： ×6×8,解得h=2,.O到三条支路的管道总长为3X2= 6(m). 12.2√13[解析]如图，在AB取点F,使BF=BE=2,连 2.解：如图，设内切圆的圆心为O,连接OE,OD,则四边形 接PF,CF,过点F作FH⊥BC于点H.,I是△ABC的 EODC为正方形，∴.OE=OD=3.易得OE= 内心，.BI平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.又BP= AC+BC-AB,:.AC+BC-AB=6,.AC+BC-AB+ BP,∴.△BFP≌△BEP(SAS),∴.PF=PE,∴.PE+PC 6,.(AC+BC)2=(AB+6)2,∴.BC2+AC2+2BC·AC =PF+PC≥CF.当C,P,F三点共线时，PE+PC最 =AB2+12AB+36,而BC2+AC2=AB2,∴.2BC·AC= 小，最小值为CF的长.FH⊥BC,∠ABC=60°， 12AB十36.，小正方形的面积为49，∴.(BC-AC)2=49, ∴∠BFH=30,BH=号BF=1,FH= ∴.BC2+AC2-2BC·AC=49,.AB2-12AB-85=0, √BF2-BH=√3，CH=BC-BH=7,∴.CF= ∴.(AB-17)(AB+5)=0,∴.AB=17(负值舍去)，.大正 方形的面积为289 √CH+FH=2√13，∴.PE+PC的最小值为2√13. A 9 BHE C 13.(1)证明：如图，：点1是△ABC的内心，∠2=∠7 3.解：(1)如下表所示 2∠ABC.:DG平分∠ADF,∠1=合∠ADF. 1 AC BC AB ∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2.：∠3=∠2，∠1= 图① 2.02.02.00.66.01.7 ∠3，.DG∥CA.(2)证明：：点I是△ABC的内心， 图②3.04.05.01.012.06.0 ∴.∠5=∠6.∠2=∠3，∠2=∠7，∠3=∠7，∴∠4= ∠7+∠5=∠3+∠6，即∠4=∠DAI,∴.AD=ID (2)由表中信息猜测，得r= ,并且此关系对一般三角 2S (3)解：'∠3=∠7，∠ADE=∠BDA,∴△DAE∽ 形都成立.证明：如图，在任意△ABC中，⊙O是△ABC