第5章 6 第2课时 圆的切线的性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第五章圆☑ 第2课时 圆的切线的性质 (教材P35~36练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点二：先连半径，再应用切线的性质定理 知识点一：直接应用圆的切线的性质 命题角度1：求角的度数 1.（山西中考)如图，已知 4.如图，AB是⊙O的弦，作QC⊥OA交⊙O的切 △ABC,以AB为直径的 线BC于点C,交AB于点D.已知∠OAB= ⊙O交BC于点D,与AC 20°，则∠OCB的度数为() 相切于点A,连接OD.若 A.20° B.30 C.40° D.50° C ∠AOD=80°，则∠C的度数为( A.30° B.40° C.45 D.50° 2.[一题多辨](1)（眉山中考）如图①，AB是 ⊙O的直径，PA切⊙O于点A,线段PO交 B ⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°，则∠B等 第4题图 第5题图 于() 5.如图，AB是⊙O的直径，DB,DE分别切 A.27° B.32° C.36° D.54 ⊙O于点B,C,若∠ACE=20°，则∠D的度 数是() A.40° B.50 C.60 D.70 命题角度2：求线段的长度 6.（嘉兴中考)如图，已知⊙O上三点A,B,C, ① ② 半径OC=1,∠ABC=30°，切线AP交OC的 (2)如图②，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相 延长线于点P,则PA的长为() 切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB A.2 B.3 C.√2 50°，则∠BOD等于( ) A.40° B.50° C.60° D.80° 3.[创新意识]某校开设了与冰壶有关的选修 课.如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同 心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别为 第6题图 第7题图 60cm和180cm,小明掷出一球恰好沿着小圆 7.如图，线段AB与⊙O相切于点B,线段AO 的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路 与⊙O相交于点C,AB=12,AC=8,则⊙O 径MN的长度为 cm.（结果保留 的半径为 根号) 8.如图，DB与⊙O相切于 点B,连接OD交⊙O于 180 点A,BC∥OA,OC∥AB. 若⊙O的半径为2，则线D 段BD的长为 做神龙题得好成绩 27 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 13.[几何直观]如图，⊙O的半径为2，点O到直 9.如图，已知直线1与⊙O相离，OA⊥1于点 线1的距离为3，点P是直线1上的一个动 A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与 点，PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值 ⊙O相切于点B,BP的延长线交直线1于点 为 C.若PC=2√5，则⊙O的半径为() 视频讲解 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 14.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的 A 封闭图形称为“蛋形”，如图，点A,B,C,D A.√5 C.2√5 D.3 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点D的 10.[创新意识]如图，将直尺、含60°角的直角三 坐标为(0，一6)，AB为半圆的直径，半圆圆 角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A 心M的坐标为(2,0)，半圆半径为4.如果一 在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点 条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直 B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺 线叫作“蛋形”的切线，求经过点D的“蛋形” 的接触，点为点C,则该量角器的直径是( 切线的解析式. ↑y B 609 A.3 B.3√3C.6 D.6√3 11.(安徽中考)如图，菱形ABOC的边AB,AC 分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB 的中点，则∠DOE= B 12.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切 线，点C在⊙O上，且BCOD,若AB=4, OD=6,则BC的长等于 B D 28做神龙题得好成绩=22米，OE=OD-ED=2米，OE=2OP. .MN=ON=6,.点M的坐标为(6,6). ∠0EP=90°，∴.∠OPE=30°，∠POE=90°-30°= 60°，∴.∠AOP=180°-∠POE=120°，.最佳观景位置的 圆心角为2×120°=240°，.在运行的一圈里最佳观景时 长为240°÷20°=12（分钟）. 3 2 B N C E 0123456T8x 12.解：(1)AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴.CD= 15.(1)证明：，OC∥BD,∴.∠AOC=∠ABD.由圆周角定理 VD-aC-52:D-%-∠D 得∠ABC=7∠A0C,∴∠ABC=2∠ABD,∠ABC 60°，由圆周角定理的推论，得∠B=∠D=60°， =∠DBC,“AC=CD.(2)解：如图，连接AC,由圆周 13.解：(1)连接OB,则OA=OB,∴.∠OBA=∠OAB=35°， 角定理得∠CAD=∠CBD,∴.∠ABC=∠CAE. .∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°，.B=∠C= ZACB=∠EA,△MCEo△CA,8-S, 2∠AOB=55°.(2)a与B之间的关系是a+B=90.证 BC 明：方法一：OA=OB,∠OBA=∠OAB=a, ∴C=解得AC=2.“AB为⊙0的直径， AC ∴∠A0B=180-2a,B=∠C=2∠A0B=7X ∴.∠ACB=90°，.AB=√AC+BC=√22+4= (180°-2a)=90°-a,a十B=90°.方法二：延长AO交 25,∴.⊙0的半径为5. ⊙O于点E,连接BE,则∠E=∠C=R.:'AE是⊙O的 直径，∠ABE=90°，∴∠BAE十∠E=90°，a十B =90°. 14.(1)证明：点E是AD的中点，.AE=DE.,OC是半 径，.AC=CD,∠CAD=∠CBA.(2)解：AB是直 5确定圆的条件 径，∠ACB=90°.AE=DE,.OC⊥AD,∴∠AEC 第1课时确定圆的条件 =90°，.∠AEC=∠ACB.又.∠CAD=∠CBA, 1.C2.D3.B4.D5.(1)(-1,-2)(2)5 △ABC△BCA,8是=G号=8CE= 6.8或107.238.2 3.6.:00=2AB=5,0E=0C-CE=5-3.6=1.4 教材深花，《吗 2号 (3)腰长 第2课时圆内接四边形 1.B2.B3.C4.70°或110° 9.D10.2 5.解：(1)：∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,∴∠ADB= 11.(6,6)[解析]如图所示，，⊙M是△ABC的外接圆， ∠CDB,.AB=CB.:BD平分∠ABC,∴∠ABD= ∴.点M在AB,BC的垂直平分线上，∴.BN=CN.,点 ∠CBD,AD=CD,BD是圆的直径，∠BAD=90. A,B,C的坐标分别是(0,4)，(4,0)，(8,0)，.OA=OB= (2).AD=CD,..AD=CD..AC=AD,..AC=CD= 4,OC=8,,BC=4,.BN=2,,∴.ON=OB+BN=6. AD,.△ACD是等边三角形，.∠ADC=60°，∴.∠ABC :∠AOB=90°，△AOB是等腰直角三角形.，OM⊥ =120°，.∠FBC=60°.CF∥AD,∠F+∠BAD= AB,∴.∠MON=45°，∴.△OMN是等腰直角三角形， 180°，.∠F=90°，∠BCF=30°.，BF=2,.BC=2BF= ·12·同行学案学练测 4.∠BCD=90°，∠BDC=30°，.BD=2BC=8,.此圆 13.解：(1)2(2)8(3)当0<r<2时，⊙0上没有点到直线 的半径长是4. 1的距离等于3；当r=2时，⊙O上有且只有一个点到直 6.(1)C 线1的距离等于3；当2<r<8时，⊙O上有且只有两个点 (2)52°[解析]，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 到直线1的距离等于3；当r=8时，⊙O上有且只有三个 ∴.∠ABC+∠ADC=180°.又.∠CDE+∠ADC=180°， 点到直线l的距离等于3；当r>8时，⊙O上有且只有四 ∴.∠ABC=∠CDE=52°，∴.∠AOC=2X52°=104°..AD 个点到直线l的距离等于3. =CD,∴.∠AOD=∠COD=104°÷2=52°. 第2课时圆的切线的性质 7.C8.B9.C10.C 1.D2.(1)A(2)D3.24024.C 11.解：如图，连接AC.BA平分∠DBE,∴∠1=∠2. 5.A[解析]如图，连接OC.,DB,DE分别切⊙O于点B, ∠1=∠CDA,∠2=∠3，∴.∠3=∠CDA,∴.AC=AD C,∠OBD=∠OCD=∠OCE=90°.∠ACE=20°， =5.:AE⊥CB,∴.∠AEC=90°，.AE=√WAC2-CE ∠O0CA=90°-20°=70°.，OC=OA,.∠OAC= =√52-（√13）2=2√3. ∠OCA=70°，∴∠B0C=2×70°=140°，.∠D=360°- 90°-90°-140°=40. 12 E B C 12.(1)证明：，BC=DC,.∠CBD=∠CDB.∠CDB= ∠BAC,∴.∠CBD=∠BAC.EC=BC,∴.∠CEB= 6.B7.58.23 ∠CBE.,∠CEB=∠BAC+∠ABE,∠CBE=∠CBD 9.D[解析]连接OB,利用切线的性质与OP⊥1，易证得 +∠DBE,∴.∠BAC+∠ABE=∠CBD+∠DBE, ∠ACP=∠CBA,即可证得AB=AC.设⊙O的半径为r, ∴∠ABE=∠DBE,.BE平分∠ABD. 利用勾股定理，分别表示出AB与AC,即可得方程(2√5)2 (2)解：：∠CBD=38°，∠CBD=∠BAC,∠CBD= -(5-r)2=52-r2,解得r=3. ∠CAD,∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠CBD=2X 10.D[解析]三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所 38°=76°. 示，连接OA,OB.根据题意，得AB=7-4=3,∠BAC= 6直线和圆的位置关系 180°-60°=120°.AB,AC分别与⊙0相切于点B、点 第1课时直线和圆的位置关系 C,AB⊥OB,∠OAB=∠OAC=号∠BAC=6 1.A2.C3.(1)D(2)相离4C5.C6.B7.D 8391C(2B10,5K≤12或，-器 11.4 ZA0=90,小9器=m∠0AB=a60=0B 12.解：如图，过点A作AC⊥BN于点C,则∠ACB=90°.又 =√3AB=√3×3=3√3，∴.该量角器的直径是6√3. :∠ABC=90-60=30,AB=40kmAC=号AB =200km<300km.∴.A城会受到台风影响.过点A作 AD=AE=300km,交BN于点D,E,∴.DC= √/AD2-ACz=√3002-2002=100√5(km).,DC= 11.609 CE,∴.A城受台风影响的时间为2×100√5÷30≈15(h). 4 12.3 [解析]由AB为直径可知∠C=90°，由AD为⊙O 即A城会受到这次台风的影响，A城受台风影响的时间 的切线可知∠DAO=90°，由BC∥OD,得∠B=∠AOD, 约有15h. 可证△ABC∽△DOA,最后利用相似三角形对应边成比 例求BC即可. 13.5 14.解：：AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(2,0)，半 圆半径为4，∴.A(一2,0)，B(6,0).设抛物线的解析式为 ∠AFC=90°.，AB=AC,.∠BAE=∠CAE(三线合 y=a(x十2)(x-6),把D(0,-6)代入得-6=a×(0十 -).,OA=OE,∠OEA=∠OAE,∴.∠BAE= 2)×(0-6),解得a=名，∴抛物线的解析式为y=2女 1 ∠OEA,.AB∥OE..ED⊥AB,.ED⊥OE,即∠OED =90°.，OE为半径，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：设AF +2)ú-60，即y=合-2z-6,设经过点D的“蛋形” =a,则AB=AC=4a,可得BF=5a.在Rt△AFC中，CF 切线的解析式为y=x一6，根据题意，得方程组 =I6a-a=V5a.在R△BFC中，ianB- FC y--2- 只有一组解，一元二次方程 2x2 5a- y=kx-6 5a 5 2x一6=x一6有两个相等的实数根，整理得 2x2-(k 7.证明：(1)如图，连接OD,OE.AB=AC,∴∠B=∠C. 又.OE=OC,∴∠C=∠OEC,∴.∠B=∠OEC,.OE∥ 1 +2)x=0,4=[-(k+2)]2-4×2×0=0,解得k= AB.EF⊥AB,OE⊥EF.,OE是半径，.EF是⊙O 一2，.经过点D的“蛋形”切线的解析式为y=一2x一6. 的切线.(2)：OE∥AB,∴∠A=∠COE,∠DOE= 第3课时圆的切线的判定 ∠ODA.又：OA=OD,∴.∠A=∠ADO,.∠DOE= ∠COE,∴DE=EC,即点E是CD的中点. 1.B2.B A 3.证明：，BC平分∠ABD,∠OBC=∠DBC.:OB=OC, .∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. ,BD⊥CD,.OC⊥CD,.CD为⊙O的切线. 4.证明：连接OD,OA,作OF⊥AC于点F.,△ABC为等腰 E 三角形，O是底边BC的中点，∴.AO⊥BC,AO平分 8.(1)证明：连接OD..OA=OD,.∠OAD=∠ADO. ∠BAC.:AB与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AB,而OF⊥ ,AD平分∠CAB,.∠DAE=∠OAD,∴.∠ADO= AC,.OF=OD,∴点F在⊙O上，AC是⊙O的切线. ∠DAE,∴.OD∥AE.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°.DE/BC,∠E=∠ACB=90°，∠ODE=180°- ∠E=90°，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：AB是⊙O的 直径，∴∠ADB=90°.OF=1,BF=2,.OB=3,.AF =4,BA=6.DF⊥AB,∴.∠DFB=90°，∠ADB= 5.(1)证明：连接OB,如图所示.：AB=AC,∠ABC= ∠DFB.又：∠DBF=∠ABD,.△DBFD△ABD, ∠ACB.,∠ACB=∠OCD,∴.∠ABC=∠OCD.,'OD⊥ ÷盼那BD2-BF·BA-2X6-12,BD-25 AO,∠COD=90°，∴.∠D+∠OCD=90°..OB=OD, 9.(1)证明：连接OC.AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∴.∠OBD=∠D,∴.∠OBD+∠ABC=90°，即∠ABO= CE⊥AB,∠CEB=90,∠ECB+∠ABC=∠ABC 90°，AB⊥OB.:点B在⊙O上，.直线AB与⊙O相 +∠CAB=90°，.∠A=∠ECB.:∠BCE=∠BCD, 2号 ∴.∠A=∠BCD.:OC=OA,∴.∠A=∠ACO,∴.∠ACO =∠BCD,.∠BCO+∠ACO=∠BCO+∠BCD=90°， ∴∠DCO=90°，∴.CD是⊙O的切线.(2)解：∠A= ∠BCcE,amA-8%=am∠BCE-8器=子：∠D ∠D,∠D=∠A,△CBDD△ACD,g-0 6.(1)证明：连接AE,OE,CF.AC为直径，∴.∠AEC= :AD=8,CD=4 培优专题6：圆的切线的性质 =√52-4=3.，∠CAE=∠CEA,∠FAB=∠ACB= 1.(1)证明：如图，连接OC.,CD是⊙0的切线，OC为⊙0 90,△ACB△EAF,AC:AE=AB:EF,即号：3 的半径，∴.OC⊥CD.又AD⊥CM,.OC∥AE,∴∠OCB =∠E.OB=OC,∴∠OCB=∠B,∠E=∠B,∴.AB =AB:5AB=答BE=AB-AE-答-3=舌 7 =AE.(2)解：如图，连接AC.:AB为⊙0的直径， .∠ACB=∠ACE=90°.在Rt△ACB中，AB=10,osB =号CB=6AC=V0-6-8:∠DCE+∠E= ∠DCE+∠ACD=90°，∴.∠E=∠ACD,∴.cos∠ACD= cosE=sB=子.又AC=8,CD-24 5 D 4.解：(1)如图①，连接BC.∠ADC=25°，∴.∠B=∠ADC =25°.AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，∠BAC 65°.∠DPB=55°，∴.∠DAB=∠DPB-∠ADC=55° 25°=30°，∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC= 180°-25°-30°-65°=60°.(2)如图②，连接BC,OC. 2.(解：(1)∠BOE=128°，∴∠AOE=180°-∠B0E=52° :∠ADC=25°，.∠B=∠ADC=25°，∠QOC=2∠ADC 又OE⊥AC,∴.∠BAC=90°-∠AOE=38°.AB是 =50°.AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°，.∠BAC= ⊙O的直径，∴.∠ACB=90°，∴.∠ABC=90°-∠BAC= 65°.CQ是⊙0的切线，∴.∠QC0=90°，∠Q=40°. 52.又“∠ABE=合∠A0E=26,∠CBE=52- :Qp=Qc∠QPC=∠Qcp=2×180-40)=70, ∠ABE=26°.(2)如图，连接OC.由(1)知∠ACB=90°， ∴.∠DAP=∠QPC-∠ADC=70°-25°=45°，∴.∠CAD 又OE⊥AC,.∠ACB=∠OHA=90°，∴.BC∥OE.又 =∠BAC+∠DAP=65°+45°=110°. ,EC∥AB,∴.四边形OECB是平行四边形.，OB=OE, ∴.四边形OECB是菱形，则OB=OC=BC,∴.∠ABC= 60.:OE1AC,AE=CE,∠ABE=∠CBE= A ∠ABC=30BD切⊙0于点B,AB⊥BD, ∴.∠DBE=90°-∠ABE=60°. ① ② 培优专题7：切线的证明方法 1.解：(1)EF是⊙O的切线.证明：连接OD.OA=OD, ∠OAD=∠ODA.AD平分∠EAF,.∠DAE= 3.(1)证明：AP为⊙O的切线，.PA⊥AB,∴∠FAE= ∠DAO,∴.∠DAE=∠ADO,.OD∥AE.AE⊥EF, 90°.AC=CE,∠CAE=∠CEA.∠CAE+∠CAF .OD⊥EF,EF是⊙O的切线.(2)在Rt△ODF中， =90°，∠CEA+∠CFA=90°，∴.∠CAF=∠CFA,.AC OD=2,DF=4√2，∴.OF=√OD2+DF=6.:OD∥ =CF.(2)解：如图，连接CB.AB为⊙O的直径， AE,..OD_OF_DF ∴.∠ACB=90°，.∠CAB+∠ABC=90°.，∠FAC+ 器器-器是-音0A ∠CAB=90°，.∠FAC=∠ABC.:∠CAF=∠CFA, 号，ED-EAD-号 AE 2 ∠D=∠ABC,∴.∠D=∠CFA,.AF=AD=4.,AC= 2.(1)解：：AC=BC,AC=BC.:AB是⊙0的直径， 号EF=2AC=5在R△FAE中，AE=VEF-AP .∠ACB=90°，∴.∠CAB=∠ABC=45°.设∠ABD=x. 同行学案学练测·13·