第5章 4 第1课时 圆周角和圆心角、弧的关系-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

∠OKP=90°，∴△KOP是等腰直角三角形，PK= 4圆周角和圆心角的关系 OP-1.CK-FK-PC-CK+PK-+ 第1课时圆周角和圆心角、弧的关系 1.B2.D3.C4.B5.110°6.D 两个正方形的面积之和为16，.x2+(x十2)2=16，.x 7.D[解析]∠APQ=115°，∴.∠APQ对应优弧ABQ, =√7-1或x=-√7-1（舍去），∴.PC=x十2=√7+1， .优弧ABQ所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心 PH=x=√7-1，.PD=√2PC=√I4+√2，PG=√2PH 角∠AOQ=130°.：C,D为AB的三等分点，∴.∠AOD= 120°，故点Q应位于DB上. =√14-√2，∴.DG=PD+PG=2√14. 8.909.D10.A11.30 12.C[解析]如图，连接OA,OD.AC=BD,.AC=BD, AD=BC,∠ABD=∠BAC,.AE=BE.AC⊥ BD,AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=45°，.∠AOD= 2∠ABE=90°.OA=OD,AD=√2r.AD=2√2， E .r=2. 7.A[解析]如图，连接OD.:CD⊥OC交⊙O于点D, ∴△OCD是直角三角形.根据勾股定理得CD= √OD2-OC.半径OD是定值，当OC⊥AB时，线段OC 最小，此时D与B重合，CD=√OB2-OC.,OC⊥AB, AC--AB.CD-/0B- 13.60或120 14.(1)证明：连接OD.AB是⊙O的直径，AB⊥CD,BC ，即线段CD的最大值是 1 2 =BD,∴∠COB=∠D0B=3∠COD.又：∠CPD= 合∠c0D,÷∠CPD=∠00B. (2)解：∠CP'D与 ∠COB的数量关系是∠CP'D十∠COB=180°.证明如 下：CPD与CD的度数之和为360°，∴∠CP'D+ D 1 ∠CPD=2×360°=180.∠CPD=∠C0B, 8.C[解析]对于直线y=kx十2k一4，当x=一2时，y= ∴.∠CP'D+∠COB=180°. 一4，故直线y=kx+2k一4恒经过点(-2，一4)，记为点 第2课时圆周角和直径的关系 D.连接OB,OD,如图.由于过圆内定点D的所有弦中，与 1.C2.25°3.(1)B(2)C4.C5.示例：306.2 OD垂直的弦最短，即当DB⊥OD时，BC最短.D(一2， 7.C8.B9.B10.A -4),∴.0D=√22+4=2√5.⊙0经过点(0,10)， 11.D[解析]如图，延长CA交⊙O于点D,连接BC,BD. CD为直径，∴∠CBD=90°.∠CAB=90°，∴.∠D= ∴.0B=10,.BD=√OB2-OD=√102-(2√5)2= ∠CBA,∴.Rt△ABC∽Rt△ADB,∴.AB:AD=AC: 45.,DB⊥OD,.BC=2BD=8√5，∴.弦BC的最小值 是8√5. AB,即3：AD=5:3,AD=号cm,CD=5+号 cm)⊙0的半径长为17。 34 5 cm. 12.C[解析]由题意可得AB=4.,△ABC是等边三角形， 培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用 ∠BAC=60°.AB是⊙O的直径，∠APB=90°， 1.B2.B3.15 ∠ABP=30,AP=7AB=2.在R△APB中，AB 4.20[解析]连接BC,OC⊥AB,.∠COB=90°..OB= =4,AP=2,∴.PB=√AB2-AP=√/42-22=2√5， OC,.∠OBC=45°.，∠AEC=65°，.∠BCD=65°-45° =20°，.∠BAD=∠BCD=20°. 以BP为半径作弧交数轴于点Q,.BQ=PB=2√3， .点Q表示的数为2-23. 5.2√3 13.解：(1)连接AD.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. [解析]点M,N分别是AC,BC的中点，∴.MN= 又知AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”的性质，得 1 ∠DAC=7∠BAC=7X45=2.5,∴∠EBC AB,一当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB ∠DAC=22.5°.(2)由等腰三角形“三线合一”的性质， 是直径时，AB最大.连接AO并延长交⊙O于点B',连接 得BD=DC.,AB是⊙O的直径，.∠AEB=90°， CB.,AB是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°.∠ABC= ∠BC=90ED=2BC=2×6=3. 45°，.∠AB′C=45°，.AB′=√2AC=5√2， 14.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°，∴.AB MN大值=5Y2 21 为⊙P的直径，即P为线段AB的中点.(2)解：，P为 7.C y-2(x>0)上的点，设点P的坐标为(m,m),则m [解析]连接OC.,AB⊥CD,∠CHO=90°.在 12.如图，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点 Rt△COH中，CH=4,设OC=r,则OH=r-2,∴.r2=42 N,.点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n),且OM =m,ON=n.易得M为OA中点，OA=2m,N为OB中 十(r-2)2,.r=5.连接OD.AB⊥CD,AB是直径， 点，OB=2n,.S△A0B= 20A·OB=2mm=24. ∴AD=Ac=2D,∴∠A0c=2∠coD.:∠CMD= z∠COD,∴∠CMD=∠COA,.sin∠CMD=sin∠COA =00=51 0 [解析]：OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB,.AB 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用 =BC,.∠ADB=∠BDC.'AN=AM,∴.∠ANM= 1.D2.A3.1204.(1)70°(2)60 ∠AMN.:∠AMN=∠DMO,.∠DMO=∠DNA, 5.C6.C7.B 8.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B',则点B必在 ÷△DM0△DNM,÷8-88∠MoD=∠NAD, ⊙O上，且BN=B'N.连接OB,OB',由已知得∠AON= CD是直径，∴∠NAD=90°，∴.∠MOD=90°.，OA= 60°.，点B是AN的中点，∴.∠B'ON=∠BON= 号∠AON=30,∠AOB'=90.连接AB'交MN于点 0D△A0D是等聚直角三角形，小器-言-号 P',则点P即为所求的点.连接BP',此时AP'十BP'= 微 AP'+P'B'=AB'=√2OA=√2，即AP+BP的最小值 1~4节阶段测试 为√2. 1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.D 10.D11.D12.A13.C 14.解：如图，摩天轮每分钟转动360÷18=20°.由题意得AD ⊥PE,AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP =OD=44米，DC=AC-AD=12米，∴.ED=EC-DC 同行学案学练测·11·第五章圆☑ 4圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角、弧的关系 (教材P18~20练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 5.[推理能力]如图，AB,AC是⊙O的两条弦， 知识点一：圆周角及圆周角定理 OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别是E,F,若 1.如图，A,B,C三点在⊙O上，点D是⊙O内 ∠EOF=55°，则∠BOC的度数为 一点，点E是⊙O外的一点，则下列说法不正 确的是( ) A.∠AOB是圆心角 B.∠AEB,∠ADB,∠ACB都是圆周角 C∠ACB=号∠AOB 知识点二：圆周角定理的推论1、推论2 6.如图所示，已知⊙O的两条弦AC,BD相交于 D.∠AEB<∠ACB 点E,∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB的 值为() 第1题图 第2题图 2.(聊城中考)如图，在⊙O中，弦BC与半径 OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°， A ￡ 3 c D ∠ADC=85°，则∠C的度数是( ) 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D将AB分成 A.25° B.27.5°C.30° D.35 相等的三段弧，点P在AC上.已知点Q在AB 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 上且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是() E.如果∠OCE=50°，那么∠ABD=() C P A.50° B.60° C.70° D.80° A 0 B A.AP B.PC C.CD D.DB 8.(连云港中考)如图，AB是圆的直径，∠1， ∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上， 第3题图 第4题图 ∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+ 4.如图，在⊙O中，AB,AC是弦，圆心O在 ∠2+∠3+∠4= ∠BAC的内部，∠ABO=a,∠ACO=B, ∠BOC=0,则下列关系中，正确的是( A.0=a+3 B.0=2a+28 C.a+B+0=180° D.a+8+0=360° 做神龙题得好成绩 13 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 即能力提升 >》>>>>》>》> 难度等级中等题 13.[诊误区]如图所示，⊙O的半径是2，AB是 9.(绍兴中考)如图，点A,B,C,D,E均在⊙O ⊙O的弦，点P是弦AB上的动点（点P不 上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的 与点A,B重合)，且1≤OP<2,则弦AB所 对的圆周角的度数是 度数为() 视频讲解 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 A.45 B.60° C.75° D.90° 14.[推理能力]如图，在⊙O中，AB是直径，CD 素养提升微专题 是弦，AB⊥CD于点M, 【圆中平行四边形的真实身份】 (1)点P是CAD上一点（不与C,D重合）， 10.如图，点A,B,C是⊙O上的三点，四边形 求证：∠CPD=∠COB. ABCO是平行四边形，OD⊥AB交⊙O于 (2)点P在CD上（不与C,D重合），∠CP'D 点D,则∠BCD等于( 与∠COB有什么数量关系？请证明你的 结论. B A.15° B.20° C.25° D.30° 11.如图，点A,B,C,D在⊙O上，若四边形 ABCO为平行四边形，连接BD,CD,则 ∠BDC的度数为 12.如图，在半径为r的⊙O中，弦AC=BD,且 AC⊥BD于点E,连接AB,AD,若AD= 2√2，则半径r的长为() B A.1 B.√2 C.2 D.2√2 做神龙题得好成绩