第5章 1～4节阶段测试-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第五章圆☑ 1~4节阶段测试 一、选择题（每小题6分，共78分） 7.如图，点C(4,0),D(0,3),O(0,0)在⊙A上， 1.下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径 BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=() 相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧 yt 是等弧；⑤在同圆中，任意两条直径都互相平 分.其中正确的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知⊙0的半径是3cm,则⊙0中最长的弦 B 长是() A.3 cm B.6 cm C.1.5cmD.√3cm A司 c 3.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP 8.如图，AB是⊙O的直径，弦AC,BD相交于 的长可能是() DE 点E,则AE 可能是() A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD,若 ∠BOD=84°，则∠ACO的度数为() A.42° B.44° C.46° D.48° A号 B.1 3 9.图①是木马玩具，图②是木马玩具底座水平 第4题图 第5题图 放置的示意图，点O是所在圆的圆心，点A, 5.如图，△ABC的顶点A,B,C均在⊙O上， B离地高度均为15cm,水平距离AB= ∠BAC+∠BOC=84°，则∠BOC为() 90cm,则OA的长为( A.56° B.60 C.62° D.28 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图①，点 M表示筒车的一个盛水桶.如图②，当筒车工 作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心， ① ② 5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被 A.60 cm B.65 cm C.70 cm D.75 cm 水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时， 10.如图，在⊙O中，∠A=30°，劣弧的度数是 盛水桶在水面以下的最大深度为( () -0 0 ① ② A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 A.30° B.60° C.90° D.120° 做神龙题得好成绩 19 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 11.如图，以O为圆心的MN被点C,D三等分， 期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的 连接MN,CD,下列结论错误的是() 时长为多少分钟？ B A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20° C.MN //CD D.MN=3CD 12.如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC 的垂线交AC于点E,与圆交于点D.若 ∠BDC=60°，且AE=3,则圆的半径为() 15.(12分)如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆 上的两点，OC∥BD,弦AD,BC相交于 点E. (1)求证：AC=CD A.23B.3 C.3√2 D.3√3 (2)若CE=1,BE=3,求⊙O的半径. 13.如图，△BCD的顶点都在⊙O上，点B是弧 CD的中点，CD是⊙O的直径.∠ABC= 60°，AC=4√3，则BC的长为( ) D A.5 B.4√3 C.4√2 D.5√2 二、解答题（共22分） 14.(10分)某游乐园的摩天轮采用了国内首创 的横梁结构，是市民周末休闲的好去处.如 图，如果该摩天轮主视图的直径为88米，最 高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的 时间是18分钟.但受周边建筑物影响，如果 乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景 20做神龙题得好成绩∠OKP=90°，∴△KOP是等腰直角三角形，PK= 4圆周角和圆心角的关系 OP-1.CK-FK-PC-CK+PK-+ 第1课时圆周角和圆心角、弧的关系 1.B2.D3.C4.B5.110°6.D 两个正方形的面积之和为16，.x2+(x十2)2=16，.x 7.D[解析]∠APQ=115°，∴.∠APQ对应优弧ABQ, =√7-1或x=-√7-1（舍去），∴.PC=x十2=√7+1， .优弧ABQ所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心 PH=x=√7-1，.PD=√2PC=√I4+√2，PG=√2PH 角∠AOQ=130°.：C,D为AB的三等分点，∴.∠AOD= 120°，故点Q应位于DB上. =√14-√2，∴.DG=PD+PG=2√14. 8.909.D10.A11.30 12.C[解析]如图，连接OA,OD.AC=BD,.AC=BD, AD=BC,∠ABD=∠BAC,.AE=BE.AC⊥ BD,AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=45°，.∠AOD= 2∠ABE=90°.OA=OD,AD=√2r.AD=2√2， E .r=2. 7.A[解析]如图，连接OD.:CD⊥OC交⊙O于点D, ∴△OCD是直角三角形.根据勾股定理得CD= √OD2-OC.半径OD是定值，当OC⊥AB时，线段OC 最小，此时D与B重合，CD=√OB2-OC.,OC⊥AB, AC--AB.CD-/0B- 13.60或120 14.(1)证明：连接OD.AB是⊙O的直径，AB⊥CD,BC ，即线段CD的最大值是 1 2 =BD,∴∠COB=∠D0B=3∠COD.又：∠CPD= 合∠c0D,÷∠CPD=∠00B. (2)解：∠CP'D与 ∠COB的数量关系是∠CP'D十∠COB=180°.证明如 下：CPD与CD的度数之和为360°，∴∠CP'D+ D 1 ∠CPD=2×360°=180.∠CPD=∠C0B, 8.C[解析]对于直线y=kx十2k一4，当x=一2时，y= ∴.∠CP'D+∠COB=180°. 一4，故直线y=kx+2k一4恒经过点(-2，一4)，记为点 第2课时圆周角和直径的关系 D.连接OB,OD,如图.由于过圆内定点D的所有弦中，与 1.C2.25°3.(1)B(2)C4.C5.示例：306.2 OD垂直的弦最短，即当DB⊥OD时，BC最短.D(一2， 7.C8.B9.B10.A -4),∴.0D=√22+4=2√5.⊙0经过点(0,10)， 11.D[解析]如图，延长CA交⊙O于点D,连接BC,BD. CD为直径，∴∠CBD=90°.∠CAB=90°，∴.∠D= ∴.0B=10,.BD=√OB2-OD=√102-(2√5)2= ∠CBA,∴.Rt△ABC∽Rt△ADB,∴.AB:AD=AC: 45.,DB⊥OD,.BC=2BD=8√5，∴.弦BC的最小值 是8√5. AB,即3：AD=5:3,AD=号cm,CD=5+号 cm)⊙0的半径长为17。 34 5 cm. 12.C[解析]由题意可得AB=4.,△ABC是等边三角形， 培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用 ∠BAC=60°.AB是⊙O的直径，∠APB=90°， 1.B2.B3.15 ∠ABP=30,AP=7AB=2.在R△APB中，AB 4.20[解析]连接BC,OC⊥AB,.∠COB=90°..OB= =4,AP=2,∴.PB=√AB2-AP=√/42-22=2√5， OC,.∠OBC=45°.，∠AEC=65°，.∠BCD=65°-45° =20°，.∠BAD=∠BCD=20°. 以BP为半径作弧交数轴于点Q,.BQ=PB=2√3， .点Q表示的数为2-23. 5.2√3 13.解：(1)连接AD.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. [解析]点M,N分别是AC,BC的中点，∴.MN= 又知AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”的性质，得 1 ∠DAC=7∠BAC=7X45=2.5,∴∠EBC AB,一当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB ∠DAC=22.5°.(2)由等腰三角形“三线合一”的性质， 是直径时，AB最大.连接AO并延长交⊙O于点B',连接 得BD=DC.,AB是⊙O的直径，.∠AEB=90°， CB.,AB是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°.∠ABC= ∠BC=90ED=2BC=2×6=3. 45°，.∠AB′C=45°，.AB′=√2AC=5√2， 14.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°，∴.AB MN大值=5Y2 21 为⊙P的直径，即P为线段AB的中点.(2)解：，P为 7.C y-2(x>0)上的点，设点P的坐标为(m,m),则m [解析]连接OC.,AB⊥CD,∠CHO=90°.在 12.如图，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点 Rt△COH中，CH=4,设OC=r,则OH=r-2,∴.r2=42 N,.点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n),且OM =m,ON=n.易得M为OA中点，OA=2m,N为OB中 十(r-2)2,.r=5.连接OD.AB⊥CD,AB是直径， 点，OB=2n,.S△A0B= 20A·OB=2mm=24. ∴AD=Ac=2D,∴∠A0c=2∠coD.:∠CMD= z∠COD,∴∠CMD=∠COA,.sin∠CMD=sin∠COA =00=51 0 [解析]：OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB,.AB 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用 =BC,.∠ADB=∠BDC.'AN=AM,∴.∠ANM= 1.D2.A3.1204.(1)70°(2)60 ∠AMN.:∠AMN=∠DMO,.∠DMO=∠DNA, 5.C6.C7.B 8.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B',则点B必在 ÷△DM0△DNM,÷8-88∠MoD=∠NAD, ⊙O上，且BN=B'N.连接OB,OB',由已知得∠AON= CD是直径，∴∠NAD=90°，∴.∠MOD=90°.，OA= 60°.，点B是AN的中点，∴.∠B'ON=∠BON= 号∠AON=30,∠AOB'=90.连接AB'交MN于点 0D△A0D是等聚直角三角形，小器-言-号 P',则点P即为所求的点.连接BP',此时AP'十BP'= 微 AP'+P'B'=AB'=√2OA=√2，即AP+BP的最小值 1~4节阶段测试 为√2. 1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.D 10.D11.D12.A13.C 14.解：如图，摩天轮每分钟转动360÷18=20°.由题意得AD ⊥PE,AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP =OD=44米，DC=AC-AD=12米，∴.ED=EC-DC 同行学案学练测·11· =22米，OE=OD-ED=2米，OE=2OP. .MN=ON=6,.点M的坐标为(6,6). ∠0EP=90°，∴.∠OPE=30°，∠POE=90°-30°= 60°，∴.∠AOP=180°-∠POE=120°，.最佳观景位置的 圆心角为2×120°=240°，.在运行的一圈里最佳观景时 长为240°÷20°=12（分钟）. 3 2 B N C E 0123456T8x 12.解：(1)AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴.CD= 15.(1)证明：，OC∥BD,∴.∠AOC=∠ABD.由圆周角定理 VD-aC-52:D-%-∠D 得∠ABC=7∠A0C,∴∠ABC=2∠ABD,∠ABC 60°，由圆周角定理的推论，得∠B=∠D=60°， =∠DBC,“AC=CD.(2)解：如图，连接AC,由圆周 13.解：(1)连接OB,则OA=OB,∴.∠OBA=∠OAB=35°， 角定理得∠CAD=∠CBD,∴.∠ABC=∠CAE. .∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°，.B=∠C= ZACB=∠EA,△MCEo△CA,8-S, 2∠AOB=55°.(2)a与B之间的关系是a+B=90.证 BC 明：方法一：OA=OB,∠OBA=∠OAB=a, ∴C=解得AC=2.“AB为⊙0的直径， AC ∴∠A0B=180-2a,B=∠C=2∠A0B=7X ∴.∠ACB=90°，.AB=√AC+BC=√22+4= (180°-2a)=90°-a,a十B=90°.方法二：延长AO交 25,∴.⊙0的半径为5. ⊙O于点E,连接BE,则∠E=∠C=R.:'AE是⊙O的 直径，∠ABE=90°，∴∠BAE十∠E=90°，a十B =90°. 14.(1)证明：点E是AD的中点，.AE=DE.,OC是半 径，.AC=CD,∠CAD=∠CBA.(2)解：AB是直 5确定圆的条件 径，∠ACB=90°.AE=DE,.OC⊥AD,∴∠AEC 第1课时确定圆的条件 =90°，.∠AEC=∠ACB.又.∠CAD=∠CBA, 1.C2.D3.B4.D5.(1)(-1,-2)(2)5 △ABC△BCA,8是=G号=8CE= 6.8或107.238.2 3.6.:00=2AB=5,0E=0C-CE=5-3.6=1.4 教材深花，《吗 2号 (3)腰长 第2课时圆内接四边形 1.B2.B3.C4.70°或110° 9.D10.2 5.解：(1)：∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,∴∠ADB= 11.(6,6)[解析]如图所示，，⊙M是△ABC的外接圆， ∠CDB,.AB=CB.:BD平分∠ABC,∴∠ABD= ∴.点M在AB,BC的垂直平分线上，∴.BN=CN.,点 ∠CBD,AD=CD,BD是圆的直径，∠BAD=90. A,B,C的坐标分别是(0,4)，(4,0)，(8,0)，.OA=OB= (2).AD=CD,..AD=CD..AC=AD,..AC=CD= 4,OC=8,,BC=4,.BN=2,,∴.ON=OB+BN=6. AD,.△ACD是等边三角形，.∠ADC=60°，∴.∠ABC :∠AOB=90°，△AOB是等腰直角三角形.，OM⊥ =120°，.∠FBC=60°.CF∥AD,∠F+∠BAD= AB,∴.∠MON=45°，∴.△OMN是等腰直角三角形， 180°，.∠F=90°，∠BCF=30°.，BF=2,.BC=2BF= ·12·同行学案学练测 4.∠BCD=90°，∠BDC=30°，.BD=2BC=8,.此圆 13.解：(1)2(2)8(3)当0<r<2时，⊙0上没有点到直线 的半径长是4. 1的距离等于3；当r=2时，⊙O上有且只有一个点到直 6.(1)C 线1的距离等于3；当2<r<8时，⊙O上有且只有两个点 (2)52°[解析]，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 到直线1的距离等于3；当r=8时，⊙O上有且只有三个 ∴.∠ABC+∠ADC=180°.又.∠CDE+∠ADC=180°， 点到直线l的距离等于3；当r>8时，⊙O上有且只有四 ∴.∠ABC=∠CDE=52°，∴.∠AOC=2X52°=104°..AD 个点到直线l的距离等于3. =CD,∴.∠AOD=∠COD=104°÷2=52°. 第2课时圆的切线的性质 7.C8.B9.C10.C 1.D2.(1)A(2)D3.24024.C 11.解：如图，连接AC.BA平分∠DBE,∴∠1=∠2. 5.A[解析]如图，连接OC.,DB,DE分别切⊙O于点B, ∠1=∠CDA,∠2=∠3，∴.∠3=∠CDA,∴.AC=AD C,∠OBD=∠OCD=∠OCE=90°.∠ACE=20°， =5.:AE⊥CB,∴.∠AEC=90°，.AE=√WAC2-CE ∠O0CA=90°-20°=70°.，OC=OA,.∠OAC= =√52-（√13）2=2√3. ∠OCA=70°，∴∠B0C=2×70°=140°，.∠D=360°- 90°-90°-140°=40. 12 E B C 12.(1)证明：，BC=DC,.∠CBD=∠CDB.∠CDB= ∠BAC,∴.∠CBD=∠BAC.EC=BC,∴.∠CEB= 6.B7.58.23 ∠CBE.,∠CEB=∠BAC+∠ABE,∠CBE=∠CBD 9.D[解析]连接OB,利用切线的性质与OP⊥1，易证得 +∠DBE,∴.∠BAC+∠ABE=∠CBD+∠DBE, ∠ACP=∠CBA,即可证得AB=AC.设⊙O的半径为r, ∴∠ABE=∠DBE,.BE平分∠ABD. 利用勾股定理，分别表示出AB与AC,即可得方程(2√5)2 (2)解：：∠CBD=38°，∠CBD=∠BAC,∠CBD= -(5-r)2=52-r2,解得r=3. ∠CAD,∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠CBD=2X 10.D[解析]三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所 38°=76°. 示，连接OA,OB.根据题意，得AB=7-4=3,∠BAC= 6直线和圆的位置关系 180°-60°=120°.AB,AC分别与⊙0相切于点B、点 第1课时直线和圆的位置关系 C,AB⊥OB,∠OAB=∠OAC=号∠BAC=6 1.A2.C3.(1)D(2)相离4C5.C6.B7.D 8391C(2B10,5K≤12或，-器 11.4 ZA0=90,小9器=m∠0AB=a60=0B 12.解：如图，过点A作AC⊥BN于点C,则∠ACB=90°.又 =√3AB=√3×3=3√3，∴.该量角器的直径是6√3. :∠ABC=90-60=30,AB=40kmAC=号AB =200km<300km.∴.A城会受到台风影响.过点A作 AD=AE=300km,交BN于点D,E,∴.DC= √/AD2-ACz=√3002-2002=100√5(km).,DC= 11.609 CE,∴.A城受台风影响的时间为2×100√5÷30≈15(h). 4 12.3 [解析]由AB为直径可知∠C=90°，由AD为⊙O 即A城会受到这次台风的影响，A城受台风影响的时间 的切线可知∠DAO=90°，由BC∥OD,得∠B=∠AOD, 约有15h. 可证△ABC∽△DOA,最后利用相似三角形对应边成比 例求BC即可. 13.5 14.解：：AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(2,0)，半