8.2.3 倍角公式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍角公式 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦公式： ,记作 . 二倍角的余弦公式： ,记作 . 二倍角的正切公式：,记作 . 以上这些公式都称为倍角公式.（这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等 名词时，“三”等字不可省去）倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间 的关系. . . . . . . . . 6 2 推导过程 （1）利用 推导 ,即 . （2）利用推导 ,即 .又 ,所以 . （3）利用推导 ,即 .（也可以通过 推得） . . 7 特别提醒 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. （2）使用时，要保证分母0且 有意义，即 且 . （3）一般情况下， , , . 8 3 倍角公式的变形 （1）倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . （3）因式分解变形 . 9 （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ；（两式作商，即可得到下式） ； .（两式作商，即可得到下式） . . . . . . 10 拓展延伸 三倍角公式（不要求记忆） . . . . . 11 典例详解 例1 [教材改编P101例1]已知,,则___, ___, ___. 【解析】, , , . , , 于是， . 12 点评 本题在求解 的值时，也可用如下方法： ,,, . 13 例2 若，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 例3 [教材改编P103练习A T5]已知，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】将的两边同时平方，得 ， 所以,即 . 14 例4 若，则 ( ) D A. B.3 C. D. 【解析】 由，可得 ， . . 15 例5 已知,则 ____. 研究未知角与已知角的关系， ， . 【解析】 . 16 题型解析 03 题型1 利用倍角公式化简、求值、证明 1 化简 例6 化简： （1）,其中 ; 18 【解析】 （利用“1”的特殊性及二倍角的正弦公式，使被开方式转变为完全平方式，从而达到 消去根号的目的） . . . . . 19 （根据分类讨论去除绝对值号） ①当时， , 则 , 此时原式 . ②当时， , 则 , 此时原式 . 20 （2） . 【解析】 （从“角”入手，“倍角”变“单角”） 原式 . 21 （从“名”入手，异名化同名） 原式 . 22 （从“幂”入手，利用降幂公式降次） 原式 （从“形”入手，利用配方法，对二次项配方） 原式 . . 23 解答第（1）小题的关键在于使被开方式变为完全平方式（升幂），以便 去掉根号，且在去根号时，要注意符号的选取. 对于第（2）小题,观察式子可以发现：①涉及的角有 , , , （需要利用倍角 公式求解）；②函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；③ 最高次数为2（有降次的可能）；④有平方项（可以进行配方）.由于侧重角度不同， 出发点不同，所以本小题的化简方法不止一种. 名师点评 在对三角函数式进行变形时，第（2）小题中的四种方法提供了四种变形 的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异及“形”的特征四个方面着手 研究.这也是研究其他三角问题时经常要用的变形方法.此外要熟知化简的要求. 24 2 求值 例7 求下列各式的值： （1） ； 25 【解析】原式（化同角，利用诱导公式将 与 进行 关联） . . . 26 （2） . 【解析】原式 . 27 名师点评 对于本例第（2）小题，因为 ,所以 ,这是二倍角的正切公式的变形.第（2）小题也可由 求出 的值，再代入求解，只是此种方法运算量较大. 28 3 证明 例8 证明： . 【解析】 因为左边 右边, 所以原式成立. 因为左边 右边， 所以原式成立. 29 左边 右边, 故原式成立. 名师点评 以上几种方法大致遵循以下规律：第一，从复杂端化向简单端;第二，化 倍角为单角；第三，注意对数字的处理，尤其是“1”的妙用. 【变式题】 1. ___. 1 【解析】原式 . 31 题型2 用倍角公式处理连乘式 致敬经典 倍角公式在解决连乘式求值问题中的妙用 例9 _ __. 【解析】 原式 . 32 原式 . 令 , , 则 . , . 从而有 . 名师点评 本题是倍角公式应用的经典题型，经常出现在各类考试卷中.方法1和方法 2通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使 得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分 子、分母中的角是互补（余）的关系，从而求得最终的结果. 此外，对于方法3，利用构造对偶式解题，更具有一般性.事实上，有些数学问题， 可根据本身的特点，相应地构建与其“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系 进行求解，这种思想我们称为“配对”. 35 教材深挖 连乘式求值问题的一般结论 利用上述思想，我们把问题推广到一般结论： 若,则 . 该结论是对教材第103页【练习B】第3题的一个拓展. 36 利用倍角公式化简、求值的常用方法及技巧 （1）化简、求值三角函数式的常用方法： ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次. （2）化简、求值三角函数式的常用技巧: ①特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进 行约分； ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等； ⑤利用“1”的恒等变形，如, 等. 37 【变式题】 2. ___. 【解析】原式 . 38 题型3 条件求值 例10（1）若,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】将等式左边分子、分母同时除以 （显然 ）， 得,解得 , 所以 . 39 （2）(2025·江西省南昌市期中)已知 为第二象限角， ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】将 两边同时平方， 得,则 ， 所以 . 因为 是第二象限角，所以,，所以 ，所以 . 40 41 例11 已知,,求 的值. 【解析】 ，其中 , ， , .（注意“ ”的范围） , . 又，（将角 视为整体，利用倍角公式 表示出 ） 原式 . . . . . 42 （注意到分母中含有“ ”，联想到式子 ，而其中的角正是“ ”） . , . , , . 又 , 故原式 . . . 名师点评 整体思想是三角函数求值中的常见思想.解决本题的关键是抓住角“ ”与 角“ ”的特殊关系进行转化，即 ，这种变换方法还有其 他的形式： ① ； ② ； ③ . 此外在解本题的过程中，要特别注意条件 的应用，否则，在上述方法中 很容易得到与 的错误结果. 44 例12 已知函数 ． （1）求 的值； 【解析】 ． 45 （2）设，若，求和 的值． 【解析】因为 ， 所以，即 ①. 又 ②, 联立①②，解得 ． 因为 ， 所以， ， 所以 ， ． 46 条件求值的思路 1.已知 或的某个三角函数值，求 或 的三角函数值,常见解法是：先根据角 或的取值范围，确定 或 的取值范围;再根据已知的某个三角函数值和倍 角公式，求得 或 的三角函数值. 2.利用倍角公式可以求一些非特殊角的三角函数值，对于给角求值问题,需观察题中 角度间的关系,发现特征,并能根据式子的特点构造出二倍角的形式,正用、逆用倍角 公式求值. 3.给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，关键在于“变角”， 使“目的角”变成“目标角”，然后选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的 范围，然后求出角，确定角的范围是关键的一步. 解题时，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式进行转化.#2.1.4 47 【变式题】 3.(2025·广东省广州市期中)已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，即 ，平方可得 ，，则 . . 48 题型4 与倍角公式相关的交汇问题 1 与三角形的交汇问题 例13 已知的三个内角为，， ， . 49 （1）若，求 的大小； 【解析】 . , , 即 ， , . 又 , . 50 （2）若恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】 恒成立， 即恒成立.（求出的最小值，只需 小于这个 最小值即可） , , , , . . . 51 思路点拨 （1）的式子过于烦琐，需将其化简，在求 的大小时应考虑其在三 角形中，所以角的范围为（0，）．（2）将化简得到的 代入不等式中，即可 求得 的取值范围． 反思总结 若恒成立，则;若恒成立，则 . 52 2 与三角函数的交汇问题 例14 求函数 的最小值，并判 断其单调性. 53 【解析】 （拆分，消去多余项） . 因为，所以，所以，，当 ， 即时，取得最小值，其最小值为 . 因为在，上单调递增，所以在， 上单调递减. 54 例15 设,其中 . （1）求函数 的值域; 【解析】 . 因为,所以函数的值域为 . 55 （2）若在区间上单调递增,求 的最大值. 【解析】因为在每个闭区间 上单调递增,所以 在每个闭区间 上单调递增. 依题意知对某个成立,此时必有 ,则 解得,故 的最大值为 . 56 57 要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和（差）角公式、诱导公式、倍角公 式等化为或 的形式，进而依据 或的性质对函数 进行性质方面的研究. 58 【变式题】 4.已知函数，且满足 的图象过点 ． （1）求函数 的解析式及最小正周期； 【答案】因为的图象过点 ， 所以，所以 ， 所以 ，最小 正周期为 ． . . . . 59 （2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数 的取值范围． 【答案】由，整理得 . 因为，所以 ， 由于在区间 上有两个不同解， 所以，，（注意区间左闭右开，此时的两个解分别为 , ） 即， ． . . . . 60 5.(2025·天津市第一中学月考)设函数 的图象关于直线 对 称，其中 , 为常数，且 . （1）求函数 的最小正周期； 【答案】 . 由直线 是函数图象的一条对称轴，可得 所以 ,即 . 又,,所以,故 . 所以的最小正周期是 . 61 （2）若的图象经过点，求函数在区间, 上的值域. 【答案】由的图象过点，得 , 即，即 . 故,因为，所以 ,所以 , 故函数的值域为 . 62 3 与向量的交汇问题 例16 (2025·山东省潍坊市寿光市第一中学测试)设向量 , , . （1）若与垂直，求 的值; 【解析】因为与垂直，所以 , 即 , 所以 . 63 （2）求 的最大值. 【解析】由 ,得 . 当时,取得最大值，最大值为32，所以的最大值为 . 64 倍角公式与向量综合的题目的特点及求解方法 倍角公式与向量综合的题目一般都不是单纯的倍角公式的运用，还有对角的变换、 诱导公式、三角函数的性质等的综合考查. 涉及的向量问题一般为向量的夹角、向量垂直、向量共线等知识，解题时需准确写 出对应的坐标表示. 65 高考考向分析 04 考情揭秘 二倍角公式是三角恒等变换的重要工具，也是高考的必考点之一.考查内容主要涉及 利用二倍角公式进行化简、求值，且常与同角三角函数的基本关系以及三角函数的 图象、性质相结合进行综合命题.各种题型都会出现，试题难度中等. 核心素养：逻辑推理（以二倍角公式为依据研究三角函数的性质），数学运算 （求三角函数值）. 67 考向1 倍角公式的简单应用 例17（1）(2025·全国二卷)已知 ,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，因为 ，所以 ， 所以 . 68 （2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 , ,所以 , 故 , . 69 （3）(新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以 . 70 例18（1）(全国甲卷)若,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以 （等式右端为正弦、余弦，因此不选 用公式），所以 ，故 ，所以 ，所以 ，则 , 故 . . . 71 （2）(全国Ⅰ卷)已知,且,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由，得 ,即 , 解得或 （舍去）， 又, . 72 考向2 以倍角公式为工具考查三角函数的图象和性质 例19（1）(2022·北京)已知函数 ，则( ) C A.在上单调递减 B.在 上单调递增 C.在上单调递减 D.在 上单调递增 73 【解析】依题意可知 ，对于A选项，因为 ，所以，函数在 上单调递增， 所以A选项不正确； 对于B选项，因为，所以，函数在 上 不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为，所以，函数在 上单调递 减，所以C选项正确；对于D选项，因为，所以 ，函数 在 上不单调，所以D选项不正确.故选C. 74 （2）(全国Ⅲ卷)函数（注意分母是,而非 ）的最小正 周期为( ) C A. B. C. D. 【解析】，所以 的 最小正周期 . . . 75 命题探 源 本题组取材于教材第103页【练习B】第1,5题，主要考查同角三角函数的基 本关系式、倍角公式、三角函数的性质等基础知识. 素养探 源 素养 考查途径 数学运算 三角恒等变换. 逻辑推理 由的解析式判断 的性质. 76 变式探源(全国Ⅰ卷)函数 的最小值为____. 【解析】 ，（转化为二次函数） 因为 ， 所以当时，取得最小值， . . . 77 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·湖北省武汉市质检)在中，已知 ，则以 下四个结论正确的是( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值为1 C.的取值范围是 D. 为定值 78 【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以，由，得 ，所 以 . 对于A，，当且仅当 时等号成立，故A正确； 对于B，，因为 ，可得 ，，所以 ，可得 ，故B错误； 79 对于C， ，因为 ，，，所以 ，故C 正确； 对于D， ，故D正确．故 选 ． 2.新考法 结构不良 (2025·北京市房山区期中)已知函数 ． 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 存在且唯一确定，并解答下面的 问题． ； 为偶函数； 的最大值为1； 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ． 81 （1）求 的解析式. 【答案】因为 ， 所以 , 显然 为奇函数，故②不能选. 若选择①③，即 的最大值为1， 所以，解得，所以 , 又，所以，即 ， ，解得 , ， 故 不能唯一确定，故舍去. 82 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得 ，所以 , 又 ， 所以，解得，所以 . 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得 ， 所以 , 又 的最大值为1， 所以，解得，所以 . （2）设，求函数在 上的单调递增区间． 【答案】由（1）可得 ， 令，，解得， ， 所以函数的单调递增区间为， ， 又 ， 所以在上的单调递增区间有和（0， ． 84 知识测评 05 建议时间：15分钟 1.已知，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 86 2.已知,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】, , . 87 3.(2025·天津市南开中学月考)已知，，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 由 ， 可得 ， 整理得 ①,（由弦到切） 解得或 ， 则 或 ．（单角到倍角） 88 反思：既然解出或 的结论是唯一的，并且四个选项也早有“结论 唯一”的暗示，所以，可以考虑由①直接求得 ,具体如方法2所示． 同方法1得，即 ， 显然，变形可得 ， 则 ． 由 ， 可得 ， 即 ，（单角到倍角） 即 ， 则 ．（由弦到切） 4.(2025·江苏省苏州市期末)设函数, ，则函数 是( ) A A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 【解析】 ，所以函数 是最小正周期为 的奇函数，故选A. 90 5.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)下列计算正确的是( ) ABC A. B. C. D. 91 【解析】对于选项A， ，即选项A正确； 对于选项B， ，即选项B正确； 对于选项C， ，即选项C正确； 对于选项D， ，则 ，即选项D错误，故选 ． 92 6.已知角 满足,则 的值为_______. 1或 【解析】 ,即 ,解得或 . 7.(2025·陕西省安康市期中)设，向量, ,若 ，则__， __. 【解析】, , . ,, ,则 . 则 . 93 8.(2025·广东省河源中学开学考试)已知 , 为锐角，， . （1）求 的值; 【答案】因为,，所以 . 因为,所以 , 因此， . 94 （2）求 的值. 【答案】因为 ， 为锐角，所以 . 又 , 所以 , 因此 . 因为,所以 , 因此， . 95 高考模拟 06 建议时间：25分钟 9.新考法 数学文化 (2025·江苏省海门中学检测)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国 现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用， 黄金分割比还可以表示成 ,则 ( ) D A.4 B. C.2 D. 【解析】 由题意可得 , . 97 10.新情境 弧田面积 (2025·甘肃省白银市期末)《九章算术》是我国古代数学成就的 杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田 面积的计算问题，书中写道:以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是：弧田面 积（弦×矢 矢×矢）.弧田是由圆弧（称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线 段（称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田 弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长 等于6米，其弧 所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 平方米，则 ( ) D A. B. C. D. 98 【解析】如图D 8.2.3-1，设，由题意可得，米,弧田面积 弦 矢矢 矢矢，解得矢或矢（舍去）.设 的半 径为,圆心到弧田弦的距离为,由解得 , . 图D 8.2.3-1 99 图8.2.3-1 11.(2025·上海市育才中学调研)如图8.2.3-1，圆的半径为1， 是 圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线 ，终边为射 线，过点作直线的垂线，垂足为.将点到直线 的距 离表示成的函数，则在 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知，，当 时， ；当时， ， 易知图象如B中所示. 100 图8.2.3-2 12.新情境 引葭赴岸 ［多选题］(2025·福建省南安市段考)《九章 算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭 赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方 （即 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1 ACD A.水深为12尺 B.芦苇长为15尺 C. D. 尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图8.2.3-2所示）．试问水深、芦苇的 长度各是多少？假设 ，则下列结论正确的是( ) 101 【解析】设，则，， ， ， 即水深为12尺，故芦苇长为13尺． ，由 ， 解得 （负值已舍去）. , . 102 13.已知,则 的值是__. 【解析】, , . 103 14.新考法 结构不良 在，， 中任 选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，____， . （1）求 的值； （2）求 . 104 【答案】选条件①，因为，所以 ．由平方关系 ，解得或 因为，所以 （1） . （2）因为，所以由 ，解得 ． 因为，所以，所以 ， 105 所以 , 由， . 选条件②,因为 ，所以 . 因为，所以，所以 ． 由平方关系，解得 ． 因为，所以 ． 以下同①的解法． 选条件③,因为，所以 ． 由平方关系，得 ． 因为，所以 ． 以下同①的解法． 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 108 $