8.2.2 两角和与差的正弦、正切课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 两角和与差的正弦公式 1 两角和与差的正弦公式 6 2 两角和与差的正弦公式的结构特征 因此，两角和与差的正弦公式可以简记为“正余余正，加减相同”. （1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦. （2）“加减相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号 相同，即两角和用“”，两角差用“ ”. （3）两角和与差的正弦公式只有中间的连接符号不同. 7 特别提醒 两角和与差的正弦、余弦公式的异同与联系 （1）与一样，对任意角 ， 都成立，是恒等式. （2）明确与 的区别： ，（正弦乘余弦，符号相同） .（同名相乘，符号相反） 对比公式,注意形式与符号的特点. 8 典例详解 例1-1 [教材改编P99 T3]已知 为锐角，且,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 为锐角，且 , , . 9 例1-2 [教材改编P99 T2]求下列各式的值： （1） ; 【解析】 . （2） 【解析】 . 点评 , . . . . . 10 知识点2 两角和与差的正切公式 1 公式推导 （1）当时， . 当时，将上式的分子、分母分别除以 ，得 . 此公式称为两角和的正切公式，记作 . （2）在中以 代换 ，可得 . 此公式称为两角差的正切公式，记作 . 说明 POINT 和 的取值应使各项都有意义. . . . . 11 2 公式的结构特征 公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母为1与 的差或和,符号间的关系为： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 12 3 和角公式与差角公式 图8.2.2-1 公式，， 给出了任意角 ， 的三角函数（指正弦、余弦和正切函数） 值与其和角 的三角函数值之间的关系， 为方便起见，我们把这三个公式都称为和角公 式.类似地，公式，， 都称为差 角公式. 知识剖析 ，，,， ， 这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系（有时可以互相转化），这种 联系可用框图形式表示，如图8.2.2-1所示. 13 典例详解 例2-3 [教材改编P99 T4]已知，，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】， , . 例2-4 已知，则 ( ) B A. B. C. D.3 【解析】由，可得 ，故 , 则 . 14 例2-5 (2025·甘肃省嘉峪关市第一中学月考)设 , 是方程 的 两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系得, ，所以 . 15 重难拓展 知识点3 化一公式（辅助角公式） 形如,都不为零的式子引入辅助角可变形为 的形 式，有时也可变形为 的形式. . 令, , 则原式.其中 的值 由确定， 的终边所在的象限由点 来确定. . . . . 16 也可作如下化简： 令 , 或令 , 或令 . 因而,且都不为零 通过上述变换可转化为 或 的形式.具体变换成哪种形 式需要依题而定. 通过上述变换可转化成 或 的形式，由此可以很容易地解决它们的 周期性、最值、单调性等有关问题. 17 归纳总结 ; ; ; ; ; . 由以上不难发现，两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是化一公式的 运用，只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、特殊角. 18 典例详解 例3-6 [教材改编P100 T4（1）]函数 的最小正周期为( ) C A. B. C. D. 【解析】（ （后续熟悉后，此步可省 略）） ， 故函数的最小正周期为 . 点评 周期相同的正弦函数、余弦函数相加后所得函数的周期不变. . . 19 例3-7 (2025·北京市第五十五中学月考)为了得到函数 的图象，可 以将函数 的图象( ) A A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度 【解析】因为 ， 所以将函数的图象向右平移 个单位长度后可得到函数 的图象. 20 知识点4 两角和与差的正切公式的变形及常见结论 1 公式的变形 （1）两角和的正切公式的变形 由公式 ，可得以下常见变形： ; ; ③ （ ）（ ）. （注意变形的特点,在解题时要能根据式子特点（两正切之和、积），明确需利 用正切公式的变形） . . . . . . 21 （2）两角差的正切公式的变形 由公式 ,可得 ; . 22 2 公式的相关结论 （1） （2）由（1）易得（1的代换： ）,（注意此处隐藏 有一个1， ） . （3） . 23 典例详解 例4-8 已知,则 ___. 2 【解析】,（可解出 ，再求值） . . . 24 例4-9 (2025·四川省成都市期中) 的值是____. 【解析】 ， ， . 总结 当,时，有 ①； 当,时，有 ②； 当，时，有 ③； ③式整理可得 ④. 25 题型解析 03 题型1 三角函数式的化简 例10 化简下列各式： （1） ; 【解析】 .（公式的正用） （2） ; 【解析】 .（公式的逆用） 27 （3） ; 【解析】 （特殊角的三角函数值） . （4） . 【解析】原式 . （公式的变形应用,注意公式的活用） 28 三角函数式化简的要求、方法、技巧 （1）化简三角函数式的标准和要求： ①能求出值的应求出值； ②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； ③使三角函数式的次数尽可能低； ④使分母中尽量不含三角函数式和根式. （2）化简三角函数式的常用方法： ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． 29 （3）化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进 行约分； ③注意利用角与角之间的隐含关系; ④注意利用“1”的恒等变形． 30 题型2 利用两角和差公式求三角函数式的值 1 给角求值 例11 求下列各式的值： （1） ； 【解析】原式 . 31 （2） ； 【解析】 , , ． 32 （3） ; 【解析】原式 . 33 （4） . 【解析】 . 由 ， 得 , , 同理可得 ， 原式 . 34 35 36 名师点评 本例第（4）小题所得结论可以推广到一般情形：若 ,则 ；若,则, . 37 子题 子题1 你能求 的值吗？ 【解析】由上面的结论可知， ，故 . 子题2 你能求 的 值吗？ 【解析】 ，则 ，变形得 ， 即 ，同理， ，故原式 . 38 解给角求值问题的基本思路 给角求值问题中，所给角往往都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值． 39 解决三角函数式求值的四个切入点 （1）观察角的特点．充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待 求角． （2）观察函数特点．向同名函数转化：弦切互化，通常是切化弦． （3）利用辅助角公式：，其中 ． （4）观察结构特点.从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些 公式． 40 【变式题】 1.(2025·广东省深圳市期中)设 ， ，，则,, 的 大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ， ， ， ,故选A． 41 2 给值求值（条件求值） 例12（1）已知,,则 _____. 【解析】,, , . . 42 （2）已知,,则 ___. 【解析】由题意知 得 , 即 . 43 （3）(2025·山东省淄博第七中学检测)已知， , ,则 _____. 【解析】, , , . 又, ， . . 44 （4）已知,,则 __. 【解析】 . 45 （1）由 的值及 的取值范围能否求出 ？ （2）观察已知式子的结构特征，将两式两边平方后再相加又会有什么新的发现？ （3）由 及 怎么得到 ？ （4）由 及怎么得到 ？ 46 解决给值求值问题的基本思路及常用技巧 1.根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函 数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到 求解的目的. 2.当角之间符合规律 , 时，要配合使用诱导公式. 3.在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围. 47 【变式题】 2.(2025·湖南省衡阳市月考)已知，且 ， ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 48 【解析】由题意知，， ， 因为，所以 ， 所以 , ，所以 ． 49 3 给值求角 例13（1）(2025·广东省佛山市检测)已知,,且 和 均为钝角， 则 的值为( ) D A. B. C.或 D. 50 【解析】 和 均为钝角, , . （【想一想】为什么选择而非或 ?） . 由 和 均为钝角,得 , . . . 51 （2）已知,,且 ,,则 的值为_____. 【解析】 , 而, . ，, , . 而， ， ， 又, . 52 （3）(2025·云南省昆明市第一中学月考)已知,，且 , 是方程的两个根,则 的值为_ ____. 【解析】 , 是方程 的两个根, , ， 易错点 POINT 由此可知,的值均为负数，故 . , ， , , . 又 , . . . 53 名师点评 对于第（1）题，由于当 时，其正弦值是负值，选正弦时 我们还需要进一步确定 是第三象限角还是第四象限角，选正切时运算量偏大， 选余弦时根据可直接得出 是第四象限角，从而避免了讨论，注 意体会选取公式的技巧.对于第（3）题，要注意根据题干条件，进一步缩小角的范围. 54 给值求角问题的求解步骤 第一步：根据题设条件，求角的某一三角函数值. 第二步：讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定 角的大小． 已知三角函数值求角，选函数时可按照下列原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； ③若角的范围是 ，可以选正弦函数，也可以选余弦函数或正切函数； ④若角的范围是， ，选正弦函数或正切函数比选余弦函数好； ⑤若角的范围是 ，选余弦函数比选正弦函数好． 55 【变式题】 3.(2025·山东省胶州市月考)已知 , 均为锐角，且, ， 则 __. 【解析】 ,, , . , . . 又 ,,故 . 56 题型3 利用两角和差公式证明三角恒等式 1 三角恒等式的证明 例14 已知不是直角三角形，求证： . 57 【解析】在中， ,又 不是直角三角形，则 , , 即 , , 故 . 58 解题技巧 （1）三角形的内角和等于 . （2）创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式. （3）记住以下常用结论： 在中，,, , ;在非直角三角形中, . 59 证明三角恒等式的常用方法 （1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等．在证明的过程中，应时刻 “盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去． （2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． （3）作差法，证明左边-右边 ． 60 2 条件恒等式的证明 例15 已知 ,, ,求证： . 61 【解析】 由条件得 ,即 . 由得,（为消 作准备） 由条件 即 , 整理得 , 由,知，, , 所以 . 所以 . 62 证明条件恒等式的基本思路 证明条件恒等式时要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理 切入，然后用证明恒等式的一般方法处理． 63 题型4 利用辅助角公式研究三角函数 例16 (2025·安徽省亳州市期末)函数 具有性质( ) D A.最大值为2，图象关于 对称 B.最大值为，图象关于 对称 C.最大值为2，图象关于直线 对称 D.最大值为，图象关于直线 对称 64 【解析】，所以的最大值为 ， 故A,C均错误； 令 ，，所以 ，，所以函数 的对称中心为 ， ，故B错误； 令 ，，所以 ， ， 所以函数的对称轴方程为 ， ，故D正确． 65 例17 (2025·湖南省永州市第一中学月考)已知函数的图象是由函数 的图象经如下变换得到：先将 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 （横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度. （1）求函数 的解析式，并求其图象的对称轴方程. 【解析】将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 得到的图象，再将的图象向右平移 个单位长度得到 的图象,故 . 从而函数的图象的对称轴方程为 . 66 （2）已知关于的方程在内有两个不同的解 , . （ⅰ）求实数 的取值范围； 【解析】 （其中, ）. 依题意,在 内有两个不同的解 , ,所以,故的取值范围是 . 67 （ⅱ）证明： . 【解析】因为 , 是方程在 内的两个不同的解，所以 , . 当时，，即 ; 当时，，即 . 所以 . 所以 68 . 【变式题】 4.若函数为奇函数，且在 上单调递减， 则 的一个值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 为奇函数，故有 ，即 ，可排除A，D选项;将B选项代入检验，易 知当时，在区间 上单调递增，可排除B.选C. 70 新考法 数学文化 例18 新情境 赵爽弦图 赵爽弦图（如图8.2.2-2（1））中的大正方形是由4个全等的直角三角 形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为,,斜边长为 , 由大正方形 面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 . 仿照赵 爽弦图构造如图8.2.2-2（2）所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而 成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角 ，另一对直角三角形含有 锐角 （位置如图8.2.2-2（2）所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论 ( ) B 图8.2.2-2 A. B. C. D. 71 图8.2.2-3 【解析】如图8.2.2-3，由题意得， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，则 ， ， ． ， 72 高考考向分析 04 考情揭秘 和上一节提到过的一样，和（差）角公式是高考考查的热点，利用公式化简、求值 需要能够灵活正用、逆用公式，其中辅助角公式更是常结合三角函数性质进行考查. 题型以选择题、填空题为主,试题难度中等. 核心素养：逻辑推理（由前后角间关系选择合适的公式），数学运算（求三角函数 式的值）. 74 考向1 公式的应用 例19（1）(2024·全国甲卷)已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意有，即，所以 ，所以 . 75 （2）(2024·新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， , ，则 _ _____. 【解析】由题知 ,即 ,由 ，可得 .由,,, ,得 ,.又 ，所以 是第四象限角，故 . 76 例20 (2025·北京)已知 ，，且 , ，写出满足条件的一组 _ ____________________. （答案不唯一） 【解析】因为 ，所以 ，移项可得 ，则 或 . 由，得 ， 移项可得，则且 . 综上，且 . 因为，所以 ，，又，所以或 . 因为,所以 ,,又,,所以 . 所以满足条件的一组可以是 ，答案不唯一. 77 例21 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 78 79 【解析】 由题意得 ， 整理得 ，即 ， 所以 ． ，则 . , 80 所以,则 （【扣选项】联系选 项，转化为正切间关系）,所以 , . 则 , , 所以 . . . 考向2 以两角和与差的公式为工具研究三角函数的性质 例22 (2025·全国一卷)已知函数, . （1）求 ； 【解析】因为,且 ， 所以 . 82 （2）设函数,求 的值域和单调区间. 【解析】 . 83 因为余弦函数 的值域是，令,那么函数 的值 域就是，所以的值域为 . 易知余弦函数 在 上单调递增，令 ，得，所以 的单 调递增区间为 . 易知余弦函数 在 上单调递减，令 ，得，所以 的单 调递减区间为 . （1） 围绕 “特殊点代入 三角方程求解”，利用余弦函数的图象与性质 求解. （2） 聚焦 “三角恒等变换（和角、辅助角公式） 余弦函数的性质（值域、单调 性）”，先化简为标准型，再应用三角函数的基本规律，可以通过“已知 公式 化简 性质”的逻辑链，逐步拆解复杂运算，实现从“未知”到“已知”的化归与转化思想方法. 踩步得分 第（1）问的关键是根据得出 的值.第（2）问化简得到 得1分，用辅助角公式化简正确得2分，求出值域得2分， 写出单调递增区间和单调递减区间各得2分. 85 例23 (2025·北京)设函数，若 恒成立， 且在,上存在零点，则 的最小值为( ) C A.8 B.6 C.4 D.3 【解析】 ， ，又恒成立，所以 是函数 的一个周期，即 ，所以 . 当时，,因为在上存在零点，所以 ， 即,又，所以 的最小值为4，故选C. 86 命题探 源 本题取材于教材第98页【例4】一道经典考题，解题的关键是灵活运用辅 助角公式将函数解析式换成“同一函数”的形式，这既是教材中的热点问 题，也是高考中的热点问题. 素养探 源 素养 考查途径 数学运算 三角函数解析式的化简. 87 变式探源 (2024·全国甲卷)函数在， 上的最大值是___. 2 【解析】由题意知，当 时， ， ,，于是, ， 故在， 上的最大值为2. 88 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·山西省朔州市期末)已知， ，其中 ， 为锐角，则以下命题正确的是( ) AB A. B. C. D. 89 【解析】由，可得 ，则 ， 故A正确； 由 ， 为锐角，可得 ，则 ， ，故B正确； 由， ，可得 ，， ，故C,D均错误．故选 ． 90 2.新考法 结构不良 (2025·北京市顺义区期中)已知函数 ，且的最小正周期为 ，再从条件 ①、条 件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，并解答下列问题. 【答案】由题意知 ，则 . （1）求 的解析式. 91 【答案】选条件①②，的最小值为，，则 . 由的图象经过点，，得， ， 又，， . 选条件①③，的最小值为， ， 则 . 直线是函数 图象的一条对称轴， ，，即 , ， 又，， . 选条件②③， 直线是函数 图象的一条对称轴． 92 ，，即 ， ， 又，， . 由的图象经过点，，得， ， . （2）设，若在区间上的最大值为2，求 的最小 值． 条件①：的最小值为 ； 条件②：的图象经过点， ； 条件③:直线是函数 图象的一条对称轴． 【答案】 ， 由，得， . 若在区间上的最大值为2，则 ， ，的最小值为 ． 94 知识测评 05 建议时间：20分钟 1.在中，若 ，则这个三角形一定是( ) D A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【解析】因为 , 所以 移项、整理，得 , 即.又 , ,所以 . 所以,即，所以 一定是等腰三角形. 96 2.新考法 数学文化 (2025·辽宁省鞍山市月考)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影 算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这 是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ．对同一“表高”两次测量，第一次和第 二次的太阳天顶距分别为 和 ，若第一次“晷影长”是“表高”的3倍，且 ，则第二次“晷影长”是“表高”的( ) B A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍 【解析】 第一次“晷影长”是“表高”的3倍， . ，,即 , ，故第二次“晷影长”是“表高”的 倍． 97 3.已知函数,,若,则 的取值范围为( ) B A. ,} B. , } C.,} D., } 【解析】，因为,所以 ，即 ，由图象可知需满足 ，解得 . 98 4.(2025·广东省珠海市第二中学月考)设,，且 ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由条件得，即 ， . 因为， ， 所以 ，所以 . 99 5.［多选题］(2025·浙江省湖州市期末)已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的 正半轴重合，它的终边过点，将角 的终边逆时针旋转 得到角 ， 则下列结论正确的是( ) AC A. B. C. D. 100 【解析】由题意得,, ， 则 ,故A正确； ,故B错误； ,则 ,故C正确； ,则 , 故D错误.故选 . 101 6.［多选题］(2025·福建省漳州市月考)下列各式正确的是( ) ACD A. B. C. D. 102 【解析】对于A， ， 故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为 ， 103 所以 ,故D正确. 7.已知,,,,则 ___. 【解析】 由,,得, . 又,于是 . 由,,得,因此 . 由,，得 . 由,，得, , 所以 . 由,,得,因此 . 105 8.已知向量,,且 . 【答案】因为,所以 , 即 （1）若，求 的值； 【答案】若，则 , 即,所以 , 即,所以 . 106 （2）若,,求实数 的取值范围. 【答案】若，则,即 ,所 以 . 因为,所以 , 所以，即 . 故的取值范围为[-, . 107 高考模拟 06 建议时间：40分钟 9.(2025·湖南省永州市第一中学测试)已知,则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】, , 令 ,,则,整理得 , 解得,即 .故选D. 109 10.(2025·广东省揭阳市两校联考)已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得， , 则,故 , 从而有,即 .故选B. 110 11.［多选题］已知 ， ，，且 ，则( ) ABD A.若，则 B.若，则 C. ， 可能是方程 的两根 D. 111 【解析】 ， ，，且， .对于A，若 ，则，即，故 ，故A正确； 对于B，若，则， ，则 ，故B正确； 对于C，若 ， 是方程的两根，则 ， ，，但, , , ，故C错误； 对于D，，故D正确.故选 ． 112 12.［多选题］(2025·安徽省淮南市月考)设，其中 ， ，.若对一切 恒成立，则下列结论中正确的是 ( ) AB A. B. C.的单调递减区间是 D.存在经过点的直线与函数 的图象不相交 113 【解析】 （其中 , ）， 因为对一切，恒成立,所以 , 故或 . 故或 . 对于A，或 ，故A正确； 对于B， ， 114 ，所以 ，故B正确； 对于C，当时，是 的单调递 减区间，当时,易知不是 的单调递减区间，故C错误； 对于D，要使经过点的直线与函数的图象不相交，则此直线需与 轴平行， 且，此时平方得，这不可能，故不存在过点 的直线 与函数 的图象不相交,故D错误． 由题知，直线是图象的对称轴，且的周期 ， 对于A，，所以由图象知， ,故A正 确； 对于B，， ,故B正确； 对于C，当, 取得最大值时， 为的单调递减区间， 取得 最小值时，不是 的单调递减区间，故C错误； 同方法1知，D错误. 13.已知函数 有最大值1和最 小值，则__, ____. 【解析】 . 当时，的最小值等于，最大值等于 ， 依题意得解得 117 当时，依题意可得 解得（舍去）或 （舍去）. 故, . 14.(2025·江西省景德镇市期中)已知函数 ， ， ， 是常数，，, ， . （1）若,，判断 的奇偶性； 【答案】当, 时， ，所以 是偶函数. 119 （2）若，是偶函数，求 ； 【答案】由题意可知 ， . 当时， 是偶函数， 所以对一切恒成立，所以 , 即 , 即 , 则,因为,所以 . 当时， , 120 则 ， 所以对一切恒成立，所以 为偶函数． 综上， . （3）请根据问题 提出一个命题，使得所提命题是问题（1）或问题（2）的推 广，即问题（1）或（2）是该命题的特例．（不必证明命题） 【答案】（写出一个即可） ①是偶函数的充要条件是 ; ②是偶函数的充要条件是 . 122 15.新定义 互补函数 (2025·湖南省长沙市期中)已知函数 ，若函数在定义域内存在， ， 使 成立，则称该函数为“互补函数”． （1）若 ，函数图象的一条对称轴为，求函数在区间[-， 上 的值域； 123 【答案】由辅助角公式可得 ， 函数的对称轴为直线 ， ，即 ， 即，解得 ， ， 由，，得， ， ， ， 函数在区间[-，上的值域为 ． 124 （2）若，函数在 ，上为“互补函数”，求 的取值范围． 【答案】当时， ， 由“互补函数”的定义知，存在， ， . 令，则函数在区间， 上存在至少两个最大值点， 即 ，得 . 当 ，即 时，符合题意. 125 当 ，分以下两种情况讨论： 当，即时， ， 即， ， 当，即时，，即 ， ． 综上， 的取值范围为 ． 126 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 127 $