8.2.2 第2课时 两角和与差的正切（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 又e(0,sim-cos0-. ∴√6cos0= .cos0=y ∴fF-0）-5sim(x-0)=n= 第2课时 两角和与差的正切 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切 根据两个角和与差的正切公式的推导 公式 及应用，培养学生数学抽象及数学运 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 算素养 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用 课前。预习学案 对应学生用书P73 [情境引入] ?思考1.两角和与差的正切公式中为什么限制a, L.如何化简tan(受一)呢？ Ba+,a一B都不等于x+受（∈？ 提示：因为an受的值不存在，不能利用公式T。-: 提示：这是由正切函数的定义域决定的 所以改用诱导公式来解. 2.你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(a十 3)与tan(a一B)吗？ tan (-8)= in(-B) cos B 2 cos( sin B' 提示：tan(a+B)=sin(a+ cos(a+B) sin a sin B 2.你能根据同角三角函数基本关系式tana=sina sin acos B+cos asin B cos a'cos B cos a cos acos B-sin asin B 1-sin asin B 从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 cos acos B a,B的正切值表示tan(a+)的公式吗？ tan a++tan B 1-tan atanB' 提示：当cos(a十3)≠0时， 类似地可以推导tan(a一3)，也可用一B代替tan(a tan(a)-sin(a)=sin acos B+cos asin 8 cos(a+B)cos acos B-sin asin B) +3)中的B,tan(a-B)=tan[a+(-B)]= 当cos acos B-≠0时，分子分母同除以cos acos B,得 tan a+tan(-B)tan a-tan B 1-tan atan(-B) 1+tan atan 8 tan(a十3)= tan a+tan B 1-tan atan B 3.对于两角和的正切公式你能写出它的几种常见变 [知识梳理] 形吗？ [知识点]两角和与差的正切公式 提示：它的常见变形主要有以下四种： 名称 简记符号 公式 使用条件 (1)tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); 两角和 a,B,a十≠ tana十tan3 (2)1-tan atan B=tan attanB. T(a+) tan(a十3) tan(a+B) 的正切 1-tan atan月 标十受，k∈Z (3)tan a++tan Btan atan B.tan(a)=tan(aB); 两角差 a,B,a-≠ 的正切 T- tan a-tan B tan (a-B)= (4)tan atan B=1-tan a+tan 1+tan atan B tan(aB) ·141 必修第三册 数学B [预习自测] 2.5-tan30 1.已知tan(a+3)=3,tan(a-B)=5,则tan2a的值 1+√3tan30° 为 解析：原式 tan60°-tan30° 1+tan60°tan30 =tan(60°-30) B 答秦9 解析：A[tan2a=tan[(a+B)+(a-3)] tan(a十)+tan(a-3) 3+58 3.已知tana=一 1-tan(a+)·tan(a-=1-3X5--l4-7 ，则an(受-)等于 答案：7 课堂。互动学案 对应学生用书P73 题型 三角公式的直接应用 ◇[变式训练] ,a∈(0，x),tan(a-g)= 4 1 1.求值tan15°= [例1]已知cosa= 解析：tan15°=tan(60°-45°)=tan60°_tan459 求(1)tanB的值； 1+tan60°tan45 (2)tan(2a-B). -B-12-5. [思路点拨](1)3=a-(a-3),(2)2a-3=a干 1+√ a). 答案：2-√3 [解] '.'cos a= 4 >0,a∈(0，x),.sina>0. 题型二 三角公式的逆用及变形用 sina=cosa1-(号= [例2](1)已知cos(a-B)=2,cos(a+)=子，求 5, tan atan B的值； 3 (1)tana=sin 5-3 (2)tan20°+tan40°+√3tan20°tan40° cos a 4 4 5 [思路点拔](1)考虑C+m与C。m的联系；(2) 'tan B=tan [a-(a-B)]= tan a-tan(a-B) 注意考虑T+的变形. 1+tana·tan(a-B) [解](1)由已知得 31 42 2 cos acos B+sin asin- ① ② (2)tana=4' cos acos-sin in=子 tan(2a-B)=tan[a+(a-B)] ①-②得sin asin B=-8, 1 31 tan a+tan (a-B) 4+2 =2 D+②得c0sac0sg=3 8· 1-tana·tan(a-3) 1- .∴tan atan B= sin asin B 1 规律方法 cos acos B 3 解给值（式）求值的策略 2am(20+46=2=m60 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两 =√5， 个“已知角”的和或差的形式. 去分母得tan20°+tan40°=√3-√3tan20°tan40. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角” 与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公 ∴.tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√3. 式把“所求角”变成“已知角” ·142· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 规律方法 规律方法 对于和、差角的正弦、余弦、正切公式除了正用、逆 1.给值求角问题的步骤及选取函数的原则 用外，还要注意利用它们的变形公式来解题.对公 (1)给值求角问题的步骤. 式的变形应用既要考虑到不同公式之间的联系， ①求所求角的某个三角函数值. 也要考虑公式自身的变形应用， ②确定所求角的范围（范围过大或过小，会使求出 ⊙[变式训练] 的角不合题意或漏解)，根据范围找出角. 之化简：0把清： (2)选取函数的原则. ①已知正切函数值，选正切函数 (2)an吾+an5+5am于tan π 9 ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的 解：(1)tan74°+tan76° 范围是(0，)，选正弦或余弦函数均可：若角的范 1-tan 74 tan 76 =tan(74°+76)=tan150°=- 国是(0，π)，选余弦函数：若角的范围是（一受 3 (2)tan否+tam25+tan否tam号 受)，选正弦函数。 2.给值求值问题的两种变换 =m(+.-tm晋mhanam音 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合 =3(1-tan哥tan +5an舌am否-5 两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待 求式子间的联系以实现求值 题型三 给值求角（值） (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析 [例3](2020·洛阳高一检测)已知tan(平十a)=2, 已知角与待求角间的关系，如用a=B-(B-a)、2a =(a十B)十(a一B)等关系，把待求的三角函数与 tan(a-m=2a∈(0，F),e(- 4,0). 已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. (1)求tana的值； ⊙[变式训练] (2)求2a-3的值. 3.已知tana= 3,an9=7且a,8e(0,受)，求2a+月 [思路点拨]()利用两角和的正切公式求解； 的值. (2)由2a一B=a十(a一B),用两角和的正切公式求 值，再根据角的范围确定角的大小。 解：tana=子tan月=7且a,8e(0,受， [解](1)tan(空十a)= 1十tana=2, ∴.tan(a十B)= tan a+tan B 1-tan a 1-tan atan B 得tana=3 11 37 >0 (2)因为tan(2a-B)=tan[a+(a-B)] 1-3×7 =tana+tama-》=l, 1-tan atan(a-B) ∴a+8c(0,受)，2a+月∈(0，x), 又a∈0，平)，8e(-平0， ∴.tan(2a+3)=tan[(a十3)+a] 111 得2a-90,3平. tan(a十3)+tana_2T3 =1, tama+0ma1-2x 所以2a-月=至。 ..2a+8- ·143· 必修第三册 数学B 题型四和（差）角的正切公式的综合应用 antan B-5tanB 3 [例4]已知△ABC中，tanB+tanC+√3 tan Btan C =√3，且√3tanA+√3tanB=tan Atan B-l,试判 B-吾A-要 断△ABC的形状. △ABC为等腰钝角三角形， [思路点拨] tan(A+B)=tan A+tan B 规律方法 1-tan Atan B →tanA 三角形中的问题，A十B十C=π肯定要用，有时与 +tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B) 诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减 [解]：√tanA十√3tanB=tan Atan B-l, 少角 .'.3(tan A+tan B)=tan Atan B-1, ◇[变式训练] 4.已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角，求证：tanA 31 +tan B+tan C=tan Atan Btan C. ..tan(A+B)=- √3 证明：A+B十C=元，.A+B=π-C 31 又：0<A十B<元，A十B=5π，C= tan(A+B)=,tanA十tanB -tan C. 1-tan Atan B 6 6 .tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C. .'tan B+tan C+3tan Btan C=3,tan C= 3, tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 随堂。步步夯实 对应学生用书P75 1.tan a=2,tan B=3,tan(a-B)= 解析：A[由已知，得tanA十tanB=√3(tan Atan B-l), A.-7 B号 即tanA十tanB 1-tan Atan B =-E,an(A+B)=-5, 1 C.- D-7 ∴.tanC=tan[π-(A十B)]=-tan(A+B)=√3， 2-3 解析：D[tan(a一)=1十tana·tang1+2X3 tan a-tan B C-吾] 4.计算：tan22°+tan23°(1+tan22)= 解析：tan22°+tan23(1+tan22) 2.若tana= an(a十)=弓，则anA=( 1 =tan22°+tan23°+tan22°tan23 =tan(22°+23)(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°= 号 &号 tan45°(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1. c n号 答案：1 5.已知tana,tan3是方程.x2+3√5.x十4=0的两根， 解析：A[tanB=tan[(a+B)-a] 11 且-受<a<受，-2<B受求角a十R tan(a+B)-tan a 2 3 1+tan atan (a+B) 0141.17· 解：由已知得tana十tan9=-35. (tana·tanB=4, 3.在△ABC中，tanA+tanB+√5=√3 tan Atan B, 则角C等于 ( ∴tana,anB均为负，-受<a<0,一受<K0. A B管 ∴am(a+)=ana+tamg=35-原. 1-tan atan B 1-4 c.君 D.牙 :-x<a+B<0,a十B= 2π 3 ·144· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课后。素养提升 对应学生课时P45 基础过关 A.①② B.③ JI CHU GUO GUAN C.①②③ D.②③④ 1.若tana= 1 3,tan(aB)=之，则tanB ( 解析：C[对于①利用正切的变形公式可得原式= A月 及骨 √3；对于②原式可化为2(sin35°cos25°+ cos35°sin25)=2sin60°=√5. C.- D-日 对于国质式=结=60= 解析：C [tan B--tan [(a-B)-a]-- tan(a-B)-tan a 对于④原式=1= 3,故选C] 1+tan(a-B)tan a 6.(多选题)已知α，3为任意角，则下列等式恒成立的 2.若tam(至-。小3，则tan的值为 是 ( A.sin(a++B)=sin acos B+cos asin B A.-2 B-司 B.cos(a+B)=cos acos B-sin asin B C. D.2 -sin a 解析：B [ama=a[昏-（至-a] -sin a 解析：ABC[由诱导公式及和差公式知A、B、C正 1-tan 1-3 1+tan 1+3 确.D中，显然a,9都不等于牙十π，k∈Z,故D不 4a 正确.] 3.设tana,tan3是方程x2-3x+2=0的根，则 tan(a十3)的值为 ( ) 7.1-3tan75 √5+tan75 A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析：原式=1】一tan60°tan75 tan60°+tan75°tan(60°+75) 解析：A[由题意知tana十tanB=3,tana·tan3 1 tan 135 =-1. =2,所以 3 答案：-1 tan(a十)= tan a+tan B 1-tana·tang1户2=-8.] 8.已知a、3均为锐角，且tang=cosa二sin ,则 cos a+sin a 4.已知tana+tanB=2,tan(a十)=4，则tan atan3 tan(a+B)= ( A.2 B.1 解析：：tang=osa一sina=1-tan& cos a+sin a 1+tan a' c D.4 .'tan B+tan atan B-1-tan a, .'tan a+tan B+tan atan B=1, 解析：C[:tan(a十B)= tan a+tan B 1-tan atan B' .'tan a+tan B=1-tan atan B, 小7-tan atan月4 ta atan9=] 2 六号1ma+8=1 答案：1 5.下列式子结果为√的是 ①tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°； 9,(多空题)已知an(a-)=号an9=-分，且a,A月 ②2(sin35°cos25°+cos35°·cos65°)； ∈(0，x). m10+m (1)则tana的值为 1+tan15: (2)则2a一B的值为 ·145· 必修第三册 数学B 解析：(1)tana=tan[(a-3)十] 又c0s2a=1-2sin2a= 告tan2a sin 2a cos 2a 11 tan(a-)十tanB_27_ 1-tan(a-B)tan B 3 2 1 1十14 3 4,,tan 4a= 2tan 2a 1- tan'2 4 (2)tan(2a-3)=tan[(a-3)+a] tan(a-)十tana=l. 能力提升 NENG LI TI SHENG 1-tan(a-B)tan a 12.已知tana,tan3是方程6x2-5x+1=0的两根， :tanB=-号<0受<gx 1 且0<a<受x<B<要，求an(e十A)及e十p 又：ama-}>00a<受 的值 ∴.-π<a-B<0. 解：，tana,tan3是方程6.x2-5x+1=0的两根， 而am(a-=子>0-<a一gK-受 .'tan a+tan B= 6,tan atan=6 ∴.2a-3∈(-元，0). 5 20-月=-要 tan(a+B)= tan a+tan B 6 1-tan atan B =1. 答案：片2) 4 又0a<受g<受a+2,a+p 10.求值：(1)十tan15 1-tan 155; =5π 41 (2)tan10°+tan35°+tan10°tan35°； 13.已知A、B、C是△ABC的三内角，向量m= (3)(1+tan18)(1+tan27). (-1,√3)，n=(cosA,sinA),且m·n=1. 解：(1)}十tan15=tan45°+tan159 1-tan 15 1-tan 15tan 45 (1)求角A:(2)若tan(年+B） =-3,求tanC. =tan(45°+15)=tan60°=√5. 解：(1)，m·n=1,∴.(-1，√3)·(cosA,sinA) (2)由tan(a十)=tana+tang的变形 =1, 1-tan atan B tana+tanB=tan(a+3)(1-tan atan3)得： 即5sinA-cosA=1,2sinA-吾=1， tan10°+tan35°=tan45°(1-tan10°tan35°) =1-tan10°tan35°， i.in 所以tan10°+tan35°+tan10°tan35°=1. 0<A<π，- <A-< (3)(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+ tan 27+tan 18 tan27=1+tan 45(1-tan 18'tan 27) A-吾-否即A= +tan18°·tan27°=2. 山.已知受<a<,ne-求na,na (2)由a(年+B-B片-3， 1-tan B 解得tanB=2. 解析：受<a<x且sina=cosa 10 又A=号tanA=5. 3w/10 ∴.tanC=tan[元-(A+B)]=-tan(A+B) √1-sina=- 10 tanA十tanB=3+2=8+53 ∴sin2a=2 sin cos-2X√×3）= -tan Atan B1-2√3 11 10 10 ·146·