8.1.3 向量数量积的坐标运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量数量积的坐标表示 设,,由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{, , 使得, ,因此 ,从而（该公式与 , 是两向量的数量积的不同表示形式）. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. . . 6 典例详解 例1-1 已知向量，.若,则 ( ) D A. B. C. D.1 【解析】, . 7 知识点2 向量模、夹角、垂直、平行的坐标表示 已知非零向量， ，则 概念 几何表示 坐标表示 模 夹角 , , 垂直 平行 8 知识剖析 1.当时，;当时， ；当 时， .因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角 形的形状等. 2.由于向量在向量方向上投影的数量为, ， 从而向量在向量方向上投影的数量的坐标表示为 . 9 典例详解 例2-2 [教材改编P86例1]已知向量,，则向量与 的夹角为_ _. 【解析】, . 又,，所以向量与的夹角为 . 例2-3 (2025·江苏省苏州市期中)已知向量，， ．若 ，，则 ( ) C A.14 B. C.10 D.6 【解析】，,解得， ， ，则， . 10 题型解析 03 题型1 向量数量积的坐标运算 1 常规求解 例4 [教材改编P89练习A T1]已知,,求 . 思路一 思路二 12 【解析】 . , , , . , , , ， . 13 2 建系求解 例5（1）(2025·河南省信阳市期中)如图8.1.3-1，在矩形中，， ， 点为的中点，点在边上.若，则 的值是____. 图8.1.3-1 14 图8.1.3-3 【解析】如图8.1.3-3，以点为坐标原点，所在的直线为 轴，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系（当图形中 存在直角时，通常以直角的两边所在直线分别为轴， 轴建 立直角坐标系）,则，， ， ， . 设，则, . , ,则 , . . . 15 图8.1.3-2 （2）在如图8.1.3-2 所示的矩形中，，， 为线段上的点，则 的最小值为( ) B A.2 B. C. D.4 16 图8.1.3-4 【解析】如图8.1.3-4所示，以点为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 ， .设，则, , ,又 ，故当时，取得最小值,为 . 名师点评 利用向量的坐标运算求数量积时，关键是要建立恰当的平面直角坐标系， 将有关向量坐标化.求数量积的最值或取值范围问题可转化为求函数的最值或值域问题. 17 向量数量积的坐标运算的两种常见类型 类型一：已知向量坐标，应用公式 可 求向量的数量积. 类型二：若题中涉及图形，则要先建立平面直角坐标系，然后充分利用图形中的条 件求出有关向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 18 【变式题】 1.已知向量,,，则 ( ) D A. B. C.6 D.12 【解析】由题意知.由 ,得 ,解得 . 19 2.(2025·浙江省温州市期中)已知正方形的边长为6，在边 上，且 ，为的中点，则 ( ) A A. B.12 C.6 D. 【解析】根据题意，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建 立平面直角坐标系，如图D 8.1.3-1所示，则,,, , ,, . 图D 8.1.3-1 20 题型2 向量坐标背景下的垂直、平行关系 例6 ［多选题］(2025·海南省海口市月考)已知向量， ，则下列 说法正确的是( ) AC A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 思路点拨 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质， 求向量的模的方法逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 21 【解析】由得， ,则A正确，B错误； 因为,，所以 ， 由,得 , 即 ,则C正确； 由,得 , 则 ,则D错误. 22 例7 (2025·湖南省长沙市期末)已知向量,.若向量 满足 ,，则 的坐标为( ) A A.， B. C. D.， 【解析】设的坐标为,则 . , ， 即 ①. 又, . 联立①②，得方程组解得 故的坐标为 . 23 名师点评 借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值是向量坐标运算的重要应用 之一，具体做法就是先借助, 或 （其中, ，列关于某参 数的方程（或方程组），然后解之即可. 24 【变式题】 3.(2025·辽宁省抚顺市六校协作体联考)已知向量,, ,若 ,则 ( ) C A. B. C. D.2 【解析】由题知 ， ， ， 解得 . 25 题型3 向量坐标运算背景下的角 1 求角 例8 (2025·山西省太原市期中)已知,,,若 ， 则与 的夹角大小为( ) D A. B. C. D. 【解析】 依题意得, . 设,， . 又 , , . 又, ,与的夹角为 . 26 , , , . 又, , 即 , , . 又, ,, . 27 2 已知角求参数 例9（1）设,，且，.若与 的 夹角为 ，则实数 的值为__. 28 【解析】由题意知， , . （向量数量积的两种表示方法.） ,且 （向量数量积 的两种表示方法.） , , 整理得解得 . 故实数的值为 . . . . . 29 （2）[教材改编P90 T3](2025·四川省绵阳市丰谷中学入学考试)已知向量 ，,且与的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 _ ________________. 【解析】与的夹角为钝角， ， 即 ， . 又当与反向时，夹角为 ， 即 ， 则，解得 . . . 30 由于与 的夹角为钝角， 故应排除与反向共线的情况，即排除，则实数 的取值范围为 . 易错点 POINT 当与的夹角为时，也满足 ，但不符合题意，应舍去. 31 易错警示 依据两向量夹角 的取值情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为 时,，当夹角为 时, ,这些是容易忽略的特殊情况. 32 求向量夹角的思路 1.通常情况下，可利用向量坐标求向量夹角，解决方法是利用公式 , 求解.另外，由,求, 时，需注 意, . 2.特别地，对于非零向量,,当时，, . 33 题型4 向量坐标运算背景下的长度 例10（1）设,，则 的值为_____. 【解析】 , . 又, . . 设, . , . 34 , , . . 35 （2）若向量,，，则 _____. 【解析】 设，由，知 ①. 由题意知 ②. 由①②组成方程组,解得或 当,时，，则;当, 时， ,则 . 故 . 由题意知，就是以, 对应线段为邻边的正方形的对角线长， 因为，所以 . 36 求向量长度的公式有两个：（1）若,则; . 37 【变式题】 4.(2025·广东省部分名校入学模拟)设向量, ,且 ,则 ( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】由得， , ,,得 .故选D. 38 题型5 坐标法的应用 1 解决平面几何问题 例11 在等腰直角三角形中，是直角，，是的中点，是 上一点，且．求证： ． 思路点拨 要证明，只需证明 ，因此可结合图形结构特征，选 择恰当的基底将，线性表示出来，然后计算 即可；也可建立平面直角 坐标系，利用向量的坐标运算求解． 39 图8.1.3-5 【解析】 （基底法） 如图8.1.3-5所示， 设，，则且 ． 为 的中点， ， . ， ， . , , . 40 图8.1.3-6 （坐标法） 建立如图8.1.3-6所示的平面直角坐标系， 设，则，，，设 . 为的中点， ． ， , , 解得 . , ， ． 41 名师点评 利用向量证明垂直问题的关键就是利用数量积的性质： ．在几何问题的证明过程中，相关向量的线性表示要结合几何图 形的结构特征选择恰当的基底或建立平面直角坐标系求解． 42 用向量的坐标表示解决平面几何问题的基本思路 利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于 把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题． 常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问 题来解决．一般步骤为：①建系；②设点；③求出有关向量的坐标；④利用向量的 坐标运算计算结果；⑤得到结论. 43 2 求最值 图8.1.3-7 例12 (2025·江苏省南京市期中)如图8.1.3-7，在四边形 中， ，，，．若点 为边 上的动点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 44 图8.1.3-8 【解析】如图8.1.3-8所示,以为原点，以所在的直线为 轴， 以所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系． 连接,过点作轴，交轴于点，过点作 轴， 交轴于点 ． ,,， , 平分，即 ， ,， , ,,, . 设 , 则, ， 故 . 45 致敬经典 命题探源 奥妙的向量思想 已知向量, . 由，即得 . 根据上述结论我们可以借助向量思想解决下面的问题： 46 例13（1）已知实数,满足,求 的最小值. 【解析】令向量, . , , 即， , 故 的最小值是8. 47 （2）已知实数,满足,求 的最大值. 【解析】令向量,, . 由,得 , 即，解得 . 故的最大值是 . 48 名师点评 当然我们也可以利用其他方法来求解，此处之所以利用了向量坐标法求解， 是因为重在向量工具性的体现. 49 例14 新情境 费马点 (2025·上海市川沙中学期中)17世纪法国数学家费马曾提出这样 一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证 明：在中，若三个内角均小于 ，当点 满足 时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和 是平面内 两个互相垂直的向量，，，则 的最小值是 ( ) B A. B. C. D. 50 【解析】设,, , 则 , 图8.1.3-9 即为点到，和点 三个点的距离 之和，则 为等腰三角形，如图8.1.3-9， 由费马点的性质可得:要保证 ,则 , 因为,则,所以点的坐标为时，点 到 三个点的距离之和最小，为 . 51 题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇 例15 (2025·湖北省襄阳市第四中学月考)已知对任意平面向量，把 绕 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，即 点绕点沿逆时针方向旋转 角得到点.已知平面内点，点 ， 把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 52 【解析】因为， ， 所以 . 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转，得到 . 记坐标原点为0，则 ， 所以点坐标为 . 53 例16 已知，，且 ． （1）用表示数量积 ； 【解析】由 ， 得 , , . 又,，故 , , . 54 （2）求的最小值，并求出此时与 的夹角． 【解析】由（1）得 . 由函数的单调性，得在上单调递减，在 上单调递增， 当时， . 设此时与的夹角为 ,则 , 又, . 55 思路点拨 本题是平面向量的数量积与三角函数的综合问题，由 ，易知 ，根据所给模的等式，两边平 方就可以解决问题． 名师点评 将所给的向量的线性组合的模进行平方是常见的解题方法，求夹角的时候， 直接套用公式，需要先将公式中所要求的条件（数量积和模）都算出来. 56 解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面 向量模与夹角 的坐标表示、平面向量平行与垂直条件的坐标表示等），将问题转化为三角函数的 有关问题，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题 目中的隐含条件，使问题得到快速解决. 57 【变式题】 5.(2025·四川省成都市期中)已知为坐标原点，向量 ， ，，且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意知 ,即 ,等式两边同时除以 ,得 ,由于,所以,解得 . 58 高考考向分析 04 考情揭秘 本节以向量的坐标表示为基础，研究向量的坐标运算，实现了数与形的沟通，为向 量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运算 往往作为基础题出现，主要考查向量共线、垂直、数量积等，而当向量作为工具形 态解决几何问题的时候，则体现的是综合性的要求.高考中常以选择题、填空题的形 式出现,试题难度为低、中档. 核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）. 60 考向1 向量数量积的坐标运算 例17 (全国Ⅱ卷)已知,,,则 ( ) C A. B. C.2 D.3 【解析】因为 ， 所以，解得 ， 所以，所以 ． 61 考向2 平面向量垂直条件的坐标表示 例18（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量,,若，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】 因为,,所以 ，又 ，所以，解得 . ， 解得 . 62 （2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量，.若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为,，所以 ， ，因为，所以 ， 所以，整理得 . （3）(2025· 全国二卷)已知平面向量,,若 ，则 ____. 【解析】，由 ，得 ，所以，所以 . 63 考向3 向量的模与夹角的坐标运算 1 求模 例19 (2022·全国乙卷)已知向量，,则 ( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】由题意知 ，所以 . 64 2 求夹角 例20 (2023·全国甲卷)已知向量，，则， ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知，，，所以 ， . 65 例21 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量,,,若,, , 则 ( ) C A. B. C.5 D.6 从向量的夹角相等可以联想到向量夹角的余弦值相等，要得到 的值，可 以联想到利用向量的夹角公式建立方程求解． 【解析】由题意，得 ，所以 ，．因为 , ,，所以,,，即，即，解得 ． 66 考向4 平面几何中的向量问题 例22 (2023·全国乙卷)正方形的边长是2，是的中点，则 ( ) B A. B.3 C. D.5 【解析】 由题意知， ， ，所以 ，由题意知 ，所以 . 以点为坐标原点，,的方向分别为, 轴的正方向建立平面直角坐 标系，则，，，则， ， . 67 高考新题型专练 1.[多选题](2025·福建省三明市期中)已知向量，， ，则 下列说法正确的是( ) AC A.与能作为平面的一组基底 B.若，则 C.在上的投影向量为， D.若，则 68 【解析】因为，所以与不共线，故与 能作为平面的一组基 底，A正确； ，因为，所以，解得 ，故B错误； 设与的夹角为 ，则， 方向上的单位向量为 ， 故在上的投影向量为,， ，故C正确； ，由，得，得 ，故D错误．故 选 ． 69 2.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形中， 在正方形（含边） 内，满足 ，则下列结论正确的是( ) AD A.若点在上时，则 B.的取值范围为 C.若点在上时，则 D.当在线段上时，的最小值为 70 图D 8.1.3-2 【解析】如图D 8.1.3-2，以为坐标原点，所在直线为 轴， 所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则， ， ， . 设，,， ， ， 对于A，由题意可得线段的方程为， ， 点在上， ， ， ，故A正确. 71 对于B，， ， ,，， ，故B错误. 对于C，，， ， ， ，假设 ，则 ， 不成立， 不成立，故C错误. 对于D， ，当且仅当 时取等号， 当在线段上时，的最小值为 ， 故D正确．故选 ． 知识测评 05 建议时间：25分钟 1.(2025·广东省湛江市月考)已知，，,则 ( ) A A.4 B.2 C. D. 【解析】由已知得,, , 则 . 75 2.已知向量,,，则 ( ) D A. B. C.6 D.12 【解析】,由得 ,则 ,即,解得 . 3.(2025·福建省福州格致中学月考)已知，，则, 夹角的余 弦值等于( ) C A. B. C. D. 【解析】设，则 ， 所以解得故 ， 所以, . 76 4.(2025·四川省成都市入学考试)已知向量,,且 ,则 ( ) D A.3 B.2 C. D. 【解析】,, ， 则 . 77 5.［多选题］(2025·安徽省铜陵三中月考)已知向量， ，则下列说 法正确的是( ) ABD A. B. C.向量在向量上的投影的数量是 D.与向量方向相同的单位向量是， 78 【解析】由题意，向量，，由 ，则 ，所以 ，故A正确； 由，则 ，故B正确； 由向量在向量上的投影的数量为 ，故C错误； 由，所以与向量方向相同的单位向量是， ，故D正 确．故选 ． 79 6.已知向量与的夹角为 ，且,,则 ____. 10 【解析】因为,所以,又，向量 与的夹角为 ，所以 . 80 7.在等腰三角形中，和是两腰上的中线，且，则顶角 的余弦值 为_ _. 图D 8.1.3-1 【解析】以的中点 为坐标原点，建立如图D 8.1.3-1所示的平 面直角坐标系，设，，则, , , . 和分别为, 上的中线， , 同理, , 又,,即, . . 即顶角的余弦值为 . 81 8.新考法 结构不良 (2025·北京市东城区期中)在 ; ; 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，并解答问题． 已知向量, ， 82 （1）若____，求实数 的值； 【答案】因为, , 所以, . 若选,则 , 解得 . 若选 , 则,解得 . 若选 ， 则,解得 . 83 （2）若,且,求 . 【答案】因为,且 , 所以所以,则 . 84 高考模拟 06 建议时间：35分钟 9.设,,,点是线段上的一个动点， ,若 ,则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 86 【解析】连接，.由题知，,, , ,, , .由 可得 , ,解得.又点是线段 上的一个动点, , .故选B. 87 图8.1.3-1 10.新定义 斜坐标系 (2025·湖南省常宁一中月考)如图8.1.3-1 所示，设,是平面内相交成 角的两条数轴， ，分别是与, 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐 标系为 斜坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向量的斜坐标，记为．在 的 斜坐标系中，，， ．则下列结论中， 错误的是( ) D ，；；；在上的投影的数量为． A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 88 【解析】对于①， ， 所以， ，故①正确； 对于②， ，故②错误； 对于③， ，故③错误； 对于④，在上的投影数量为 ，故④错误．故选D． 89 11.新情境 中国象棋 ［多选题］(2025·河北省保定市期末)中国象棋是中国发明的一 种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如 图8.1.3-2，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于 ， ，，四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则 的值可能为( ) ACD 图8.1.3-2 A. B. C. D. 90 【解析】建立如图D 8.1.3-2所示的平面直角坐标系，则， ， ，，由题意可知或或 . 图D 8.1.3-2 当时，，当 时， ，当时， ， 综上可得,的值可能为或或，故选 ． 91 12.［多选题］(2025·陕西省西安市铁一中学月考)已知平面向量 ， ， ，下列说法正确的是( ) ACD A.若，则 B. C.若，则， D.若，则 【解析】对于A，，，， ， ，，解得，故A正确.对于B，， ， 则， ，故B错误. 对于C，当时，，则，， ， ，故C正确. 对于D，，，，， ， ，解得，故D正确．故选 ． 92 13.已知,,,设是直线上的一点（其中 为坐标原 点）. （1）求取得最小值时 的坐标； 【答案】 点是直线上的一点， 向量与 共线， 设,则 . , , ,故 当时， 取得最小值， 此时 . 93 （2）对（1）中求出的点，求 . 【答案】当时，， ， ，， . . 94 14.(2025·吉林省长春市期末)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，， 三点满 足 . （1）求证：，，三点共线，并求 的值. 【答案】, , ,又，有公共点，，， 三点共线. ， . 95 （2）已知,, ，且函数 的最小值为，求实数 的值. 【答案】,, , . 又 , . 设,, , 原函数可化为 . ①当,即时， 无最小值，不合题意； 96 ②当，即时，当时， , ; ③当，即时，当时， , 此时 ,不合题意. 综上可知， . 97 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 98 $