6.1.3基本初等函数的导数（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其运用 6.1 导数 6.1.3基本初等函数的导数 学 习 目 标 1 2 经历问题探究，认识与理解导函数的概念，并能求解简单函数的导函数（数学抽象、数学运算、•重点）. 经历问题探究，理解与掌握基本初等函数的求导公式，并能运用其求解基本初等函数的导函数，进而求解相关的实际问题（数学运算•难点）. （一）问题探究 一、导函数的定义 已知函数,任取一实数,判断在处是否可导,如果可导,求出,并观察与的关系. 探究：设自变量在附近的改变量为,则函数在以 为端点的闭区间上的平均变化率为 可以看出,当无限接近于0时,平均变化率无限接近于, 因此 处可导,而且 显然,随的变化而变化,而且的值确定之后,也就 确定了. 例如,当时,;当时,.这就说明,是的函数. （二）导函数的定义 一、导函数的定义 一般地,如果函数在其定义域内的每一点都可导,则称可导,此时,对定义域内的每一个值,都对应一个确定的导数.于是,在的定义域内,是一个函数,这个函数通常称为函数的导函数,记作(或),即 【温馨提示】导函数通常也简称为导数,本书后续内容中,除了特别声明指的是求某一点的导数之外,"求导数"均指的是"求导函数". （1）如果已知函数的导函数是,那么可以方便地求得这个函数在处的导数:只要将代人导函数的表达式即可. （2）如果函数的导函数存在,那么曲线在每一点处的切线都存在. 例如:前面的问题探究中,当时,其导函数为. 为了求得的值,只要将代人导函数的表达式即可,即 （三）实例运用 一、导函数的定义 例1 分别求出下列函数的导数： (1)，其中是常数； (2)； 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】 （1）解：根据定义可知 . （2）解：根据定义可知 1.   （三）实例运用 一、导函数的定义 例1 分别求出下列函数的导数： (3)； (4)； (5).   【详解】 （3）解：根据定义可知 . （4）解：根据定义可知 =. （5）解：根据定义可知 =.   （一）问题探究 二、常数函数与幂函数的导数 观察上述实例运用导函数的结论,归纳出常数函数（其中是常数）与幂函数的导函数具有什么样的形式？ 探究（1）由上实例运用可知 ，即常数函数的导数为0. 探究（2）由上实例运用可知 ，，， ， . ∵,∴可以改写为, 又∵,，∴ 可以改写为. 由探究（2）可以归纳得出幂函数的导函数形式为 二、常数函数与幂函数的导数 （二）常数函数与幂函数的导函数 由上探究可知,常数函数（其中是常数）与幂函数的导函数具有如下的形式 （1），即常数函数的导数为0. （2）. 二、常数函数与幂函数的导数 （三）实例运用 例2 已知，求以及曲线在点处的切线的方程.   【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据，求导，进而求得，，写出切线方程. 【详解】因为， 所以， 所以. 又因为， 所以所求切线方程为， 即.   三、基本初等函数的求导公式 （一）基本初等函数的求导公式 在科学研究和工程计算中,经常要使用一些初等函数的导数,为了方便并减少重复的劳动,数学工作者制作出了常用函数的求导公式表,供大家使用,下表列出了一些常用函数的求导公式,其中均为常数,切. （1）常数函数求导：，其中其中是常数. （2）幂函数求导：. （3）指数函数求导： , 特别地. （4）对数函数求导： , 特别地. （5）三角函数求导：, , . 三、基本初等函数的求导公式 （二）实例运用 例3 已知函数，求.   【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的基本公式，分别计算即可. 【详解】在中令 可得， 因此. 在中令可得， 即， 因此.   三、基本初等函数的求导公式 （二）实例运用 例4 求曲线在处的切线方程.   【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据求导，进而求得曲线在处的导数，写出切线方程. 【详解】 因为， 所以， 所以所求切线的斜率为， 又因为， 所以所求切线方程为， 即. 三、基本初等函数的求导公式 （二）实例运用 例5 已知函数，而是曲线的切线，且经过点. (1)判断是否是曲线上的点； (2)求的方程. 【详解】（1）解：因为， 所以点不是曲线上的点. （2）解：设切点为. 因为 ， 所以切线的斜率为，又因为， 所以直线的方程为， 将代入上式并整理，可得， 由此可解得或. 因此，切点为或， 切线方程为或. 即的方程为或.   四、提升演练 练习1 曲线在点处的切线平行于直线. (1)求切点坐标； (2)求切线的方程.   【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两平行线的性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】 （1）因为点处的切线平行于直线， 所以过该点的曲线的切线的斜率， 由，所以，因此， 所以切点坐标为：； （2）由直线的点斜式方程可知：.     四、提升演练 练习2 已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程.   【详解】（1）易知的定义域为， 由可得， 又，可得，解得； 因此在点处的切线的斜率为，又此时， 所以切线方程为，即. （2）由（1）可得的定义域为，且，则； 设切点坐标为， 所以切线斜率为，此时切线方程为， 又点在切线上，即， 整理可得，即，解得或（舍）； 当时，切线方程为； 综上可得过点的切线方程为.   今天我们都学习了什么知识？ 1.经历问题探究，认识与理解导函数的概念，并能求解简单函数的导函数（数学抽象、数学运算、•重点）. 2.经历问题探究，理解与掌握基本初等函数的求导公式，并能运用其求解基本初等函数的导函数，进而求解相关的实际问题（数学运算•难点）. 五、课堂小结 感谢聆听! $