27.2.1 相似三角形的判定同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(一) 易错点睛 如图,AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【点睛】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段才能成比例，弄错对应线段就容易出错. A基础题夯实 知识点1 相似三角形 1.如图,△ABC∽△AED,∠AED=40°,∠A=60°,则∠C 的度数为 . 2.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则 ；的值为 . 知识点2 平行线分线段成比例 3.(2025 乐山中考)如图,l₁∥l₂//l₃,AB=2,DE=3,BC=4,则EF 的长为 . 4.如图,AB∥CD∥EF,若 则 的值为 . 知识点3 平行于三角形一边的直线截三角形，对应线段成比例 5.(2025青海中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD=3,DB=2,则 的值是 . 6.如图,AB∥CD,BO=6,DO=3,CO=2,则AC 的长是 . 知识点4 用平行线判定三角形相似 7.如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,E 为OC 的中点,EF∥AB 交BC 于点F.若AB=4,则 EF 的长为 . 8.如图,在△ABC中,DE∥BC,AE=5,AD=3,CE=AB.求 的值. B中档题运用 9.(2025长春中考改编)将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开，则 的值是 . 10.如图,AB∥CD∥EF,AF 与BE 相交于点G,且 则 AG 的长为 11.在▱ABCD 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 BA，BC于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点O;③作射线 BO,交AD 于点E,交CD 延长线于点F.若CD=3,DE=2,则 12.(2025 湖北模拟)如图,E 是▱ABCD 的边AD 上一点,连接BE,AC 相交于点 F,过点 F 作AD 的平行线,交AB 于点G.若BF=2FE,FG=2,求 BC 的长. C 综合题探究 13.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,点E 在AD 上,射线BE 交AC 于点 F.若 求 AF 的长. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 相似三角形的判定(二) 易错点睛 在△ABC 与△DEF 中,AB=4,BC=5,CA=6,DE=10,则当 EF= ,FD= 时,△FDE∽△ABC. 【点睛】解决此题的关键是弄清楚对应边，否则容易出错. A基础题夯实 知识点1 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6 cm和10 cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为( ) A.3cm B.4 cm C.4.5cm D.5cm 2.已知△ABC 的三边长分别为2,5,6.若要使△DEF∽△ABC,则△DEF 的三边长可以是( ) A.3,6,7 B.6,15,18 C.3,8,9 D.8,10,12 3.有甲，乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为 ,1, ，乙三角形木框的三边长分别为 ,2, ，则甲，乙两个三角形( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 4.如图,O是△ABC 内部一点,D,E,F 分别是OA,OB,OC 的中点.求证:△DEF∽△ABC. 5.如图，已知 试判断∠BAD 和∠CAE 的大小关系，并说明理由. 知识点2 网格中相似三角形的判定 6.(2025莆田)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 和 的顶点都在网格线的交点上.求证:△ABC∽△DEF. B中档题运用 7.(2025大连)如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,点 F 在CD上，且CF=3FD.下列结论:①△ABE∽△EBF;②△ABE∽△DEF;③△EBF∽△DEF;④△EBF∽△CBF.其中结论正确的是 .(填序号) 8.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. 和 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点 F. (1)求证: (2)求证: 9.如图,在四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5.求证: C综合题探究 10.(2025襄阳)如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角形称为格点三角形.如图中的 为格点三角形. (1)D为小正方形的顶点，在所给的网格中画出格点. 使 且相似比为 (画出一个即可)； (2)直接写出所给的网格中与△ABC 相似且相似比最大的格点三角形的个数，并画出其中一个. 第3课时 相似三角形的判定(三) 易错点睛 如图,D为△ABC 的边AB 上一点,AB=12,AC=15,AD=8,在AC边上取一点E，使 A，D，E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长是 【点睛】 易漏解,注意分类:(1)AD 与AB 对应;(2)AD 与AC 对应. A基础题夯实 知识点 利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似 1.(2025福建模拟)如图,在△EOF 中,OE=4,OF=6,下列阴影部分的三角形与△EOF 是否相似，说法正确的是( ) A.只有甲相似 B.只有乙相似 C.甲，乙都不相似 D.甲，乙都相似 2.如图,点 D,E 分别在AB,AC上,若AB=2AE,AC=2AD,DE=5,则BC的长为 . 3.(2025杭州)如图,已知OA·OC=12,OD=3,当OB= 时,△AOB∽△DOC. 4.如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,AD=3,BD=2,当AC= 时,△ACD∽△ABC. 5.如图,AD⊥BC 于点D,BD=2CD,AE=ED,AB=2,则EC 的长为 . 6.(2025湖北中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC,点 A 的对应点D 落在边AB 上,连接BE.求证:△BCE∽△ACD. 7.(2025广州模拟)如图,在△ABC 中,点 D 在AB 边上,连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证:△ACD∽△ABC. B中档题运用 8.如图,在△ABC中,CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求证:△ABD∽△ACE. 9.如图,在四边形ABCD 中,∠ACB=∠ADB=90°,AC,BD 交于点E,且∠AEB=120°. (1)求证:△DCE∽△ABE; (2)求 的值. 10.(2025黄冈)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点 P 在BD 上移动,当以P,C,D 为顶点的三角形与△ABP 相似时,求 PB 的长. C综合题探究 11.(2025武昌区)如图,点E 在△ABC内,∠ABC=∠EFC=90°,BC=2BA,FC=2FE. (1)求证:∠ACE=∠BCF; (2)若∠CAE+∠CBE=90°,且BE=6,AE=3 ,求 EF 的长. 第4课时 相似三角形的判定(四) 易错点睛 如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,D 为AB 边上一点,过点 D的直线与边AC 交于点E.若△ADE 与△ABC 相似,则∠ADE 的度数为 【点睛】根据△ADE 与△ABC 相似的对应情况,分类讨论:∠ADE 与∠B 对应,或∠ADE 与∠C 对应. A基础题夯实 知识点 1 利用两角相等判定两个三角形相似 1.(2025 黄冈)在△ABC 与△A₁B₁C₁中,∠A=50°,∠B=60°,∠A₁=50°,当 时,△ABC∽△A₁B₁C₁. 2.如图,点 D,E 分别在△ABC 的边AB,AC 上,且∠AED=∠ABC,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE 的长为 . 3.(2025宜昌)如图,F是△ABC 的BC 边上一点,且AC=2CF=2,∠CAB=∠CFA,则BF= 4.(2025河北中考)如图,在五边形 ABCDE 中,AE∥BC,延长 BA,BC,分别交直线 DE 于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( ) A.∠B+∠4=180° B. CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 5.(2025盐城)如图,在△PAB 中,点C,D 在AB 上,PC=PD,∠A=∠BPD.求证:△APC∽△PBD. 知识点 2 两直角三角形相似的判定 6.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高. (1)求证:△ABD∽△CBA; (2)若AB=6,BC=10,求 BD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 B中档题运用 7.如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC 于点H.若AC=10,AH=8,⊙O 的半径为7,则AB 的长为 . 8.已知∠ACB=90°,将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中,若点 A(0,2),点C(1,0),点 B的横坐标为4，求点 B 的纵坐标. 9.如图,四边形ABCD 为菱形,点 E 在AC 的延长线上,且∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时,求 AE 的长. C综合题探究 10.(2025连云港中考改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB,BE⊥AD,E 为垂足. (1)若∠CAB=45°,则 的值为 ； (2)若∠CAB=30°,求 的值. 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(一) 易错点睛 A 基础题夯实 1.80°2. 3.6 4. 5. 6.6 7.1 8.解:设CE=AB=x, ∵DE∥BC, 解得x=7.5, ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, 中档题运用 9. 10. 11. 12.解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC, ∵AD∥FG, ∴FG∥BC, ∴△AFG∽△ACB, ∴BC=6. 综合题探究 13.解:如图,过点 D 作 DH∥BF,交AC 于点H, ∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴BD=DC, ∵DH∥BF, ∴FH=CH, ∵BF∥DH, ∴FH=2AF, ∴CH=FH=2AF, ∵AB=10=AF+FH+CH=5AF, ∴AF=2. 第2课时 相似三角形的判定(二)易错点睛 12 8 基础题夯实 1. D 2. B 3. A 4.证明:∵D,E,F 分别是OA,OB,OC的中点， ∴DE, DF,EF 分别为△ABO,△ACO,△BCO的中位线, 即 DE: AB=DF:AC=EF: BC=1:2, ∴△DEF∽△ABC. 5.解:∠BAD=∠CAE.理由如下: ∴△BAC∽△DAE. ∴∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE -∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 6.证明: ∴△ABC∽△DEF. 中档题运用 7.①②③ 8.证明: ∴△ACB∽△DCE; (2)∵△ACB∽△DCE, ∴∠A=∠EDC. 又∵∠E+∠EDC=90°, ∴∠E+∠A=90°, ∴∠EFA=90°,即EF⊥AB. 9.证明:∵AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5, ∴△ADB∽△BCD, ∴∠ABD=∠BDC, ∴AB∥CD. 综合题探究 10.解:(1)如图,△DEF 即为所求;(2)8个,如图,△A₁B₁C₁即为所求. 第3课时相似三角形的判定(三) 易错点睛 10或 基础题夯实 1. B 2.10 3.4 4. 5.1 6.证明:∵将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC,点 A 的对应点 D 落在边AB上, ∴AC=CD,CB=CE, ∠ACD=∠BCE, 学科网（北京）股份有限公司 ∴△BCE∽△ACD. 7.证明:∵点 D 在AB 边上,AC=4, AD=2,BD=6, ∴AB=AD+BD=2+6=8, ∵∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC. 中档题运用 8.证明:∵CD=CE, ∴∠CDE=∠CED, ∴∠ADB=∠AEC, ∵2AD=3AE,2BD=3CD, ∴△ABD∽△ACE. 9.解:(1)∵∠AEB=120°, ∠ADB=∠ACB=90°, ∴∠DAE=∠CBE=30°, 又∵∠DEC=∠AEB, ∴△DCE∽△ABE; (2)∵△DCE∽△ABE, 10.解:设 DP=x,则 BP=BD-x=14-x. ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, 当 时,△ABP∽△CDP, 即 解得 当 时,△ABP∽△PDC,即 整理得 解得. ∴BP=14-2=12或BP=14-12=2, ∴PB 的长为8.4 或2或12. 综合题探究 11.解:(1)∵BC=2BA,FC=2FE, 又∵∠ABC=∠EFC=90°, ∴△ABC∽△EFC, ∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ACE=∠BCF; (2)连接BF. 由(1)知△ABC∽△EFC, 又∵∠ACE=∠BCF, ∴△BCF∽△ACE, ∵FC=2FE,∠EFC=90°, ∵∠CAE+∠CBE=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°, ∴∠FBE=90°, 第4课时 相似三角形的判定(四) 易错点睛 60°或30° 基础题夯实 1.70°2.4 3.3 4. D 5.证明:∵PC=PD, ∴∠PCD=∠PDC. ∵∠ACP +∠PCD =∠PDC +∠PDB=180°, ∴∠PCA=∠PDB, 又∵∠A=∠BPD, ∴△APC∽△PBD. 6.解:(1)∵AD 是斜边BC上的高, ∴∠BDA=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BDA=∠BAC, 又∵∠B 为公共角， ∴△ABD∽△CBA; (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∴BD=3.6. 中档题运用 7. 8.解:过点 B 作BD⊥x轴于点 D,则CD=OD-OC=3, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠BCD=90°, 又∵∠ACO+∠OAC=90°, ∴∠BCD=∠OAC, 又∵∠AOC=∠CDB, ∴△AOC∽△CDB, 即 ∴点 B 的纵坐标为 9.解:(1)∵四边形ABCD 为菱形, ∴∠ACD=∠BCA, ∵∠ACD=∠ABE, ∴∠BCA=∠ABE, ∵∠BAC=∠EAB, ∴△ABC∽△AEB; (2)∵△ABC∽△AEB, ∵AB=6,AC=4, 综合题探究 10.解: (2)延长AC 与BE 相交于点 F. ∵∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∵∠ACB=∠BED=90°,∠ADC=∠BDE, ∴∠CAD=∠CBF, ∵∠ACD=∠BCF=90°, ∴△ADC∽△BFC, ∵AD平分∠CAB,BE⊥AD, ∴BF=2BE, $