第3章 3 垂径定理&4 圆周角和圆角的关系（小册子）-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

九年级数学下BS 同行学案学练测巩固练习 *3垂径定理 (教材P74~76练习) V知识梳理 位：cm),则液面宽度AB=() 垂径定理及其推论 A.8 cm B.4 cm C.4W3cmD.8√3cm (1)垂径定理： 弦的直径 这条 B B 弦，并且平分弦所对的 (2)推论：平分弦( )的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的 10 V当堂达标 第4题图 第5题图 1.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB,垂足 5.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则 为C,下面结论中不一定成立的是() △AOB的面积为 6.如图，圆拱门的拱顶到地面的距离CD=8m, 圆拱门半径OC=5m,则地面宽AB为 m. A.AC=BC B.AN=BN C.AM=BM 20 cm 120cm D.OC-CN 80cm 2.(黔东南州中考)如图，⊙O的直径CD=20, 第6题图 第7题图 AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M,OM: 7.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量 OC=3:5,则AB的长为( 球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球 的两侧（截面形状如图所示），他量了下两砖之 间的距离刚好是80cm,则图中截面圆的半径 是 cm. 8.如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点 O,E作直径AB(AE>BE),连接BD,过点C A.8 B.12 C.16 D.2√91 作CF∥BD交AB于点G,交⊙O于点F,连 3.如图，AB是⊙O的弦，AB长为4，P是⊙O 接AF.求证：AG=AF. 上一个动点（不与A,B重合），过点O作OC ⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长 为() B A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，一个纵截面上部为半圆的容器水平放 置，然后向其中倒人液体，测得数据如图（单 ·39· 九年级数学下BS 同行学案学练测巩固练习 4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论 (教材P78~80练习) V知识梳理 ∠OBC的度数是( 1.圆周角的概念 A.12° B.15° C.18° D.20° 顶点在 ,并且两边分别与圆还有另一 个交点，像这样的角叫作圆周角 2.圆周角定理及推论 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 0 度数的 第4题图 第5题图 推论：同弧或等弧所对的圆周角 5.如图，以AB为直径的半圆上有一点C,∠C V当堂达标 25°，则BC的度数为() 1.如图所示，能说明圆上一条弧所对的圆周角的 A.25° B.30° C.50° D.65 度数等于它所对圆心角度数的一半的图形 6.如图，在⊙O中，点A是CB的中点， 是() ∠AOB=40°，则∠ADC的度数是 D B D B 第6题图 第7题图 .0 7.如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大 正方形，A,B,C,D,O在小正方形的顶点上， D ⊙O的半径为1，E是CD的中点，则∠EAB 的度数为 2.(柳州中考)如图，在⊙O中与∠1一定相等的 8.(南京中考)如图，⊙O的弦AB,CD的延长线 角是() 相交于点P,且AB=CD.求证：PA=PC. A.∠2B.∠3 C.∠4 D.∠5 A D 0. 2 第2题图 第3题图 3.如图，点A,B,C均在⊙O上，若∠AOC= 80°，则∠ABC的大小是( A.30°B.35° C.40° D.50° 4.如图，点A,B,C在⊙O上，∠A=72°，则 ·40· 九年级数学下BS 同行学案学练测巩固练习 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 (教材P81~83练习) 知识梳理 ∠D=3∠B,则∠B的度数为() 1.圆周角定理的推论 A.30° B.36 C.45°D.60° 直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角 5.在圆内接四边形ABCD中，ADC与ABC的 所对的弦是 度数之比为3：2，则∠B的度数为() 2.圆内接四边形的定理及其推论 A.36° B.72° C.108°D.216° (1)如图所示，四边形ABCD A 6.如图，⊙O的直径AB=8,∠A=30°，点P在 的四个顶点都在⊙O上，我 线段AB上，则PC的最小值为() 们说四边形ABCD是⊙O 的 (2)推论：圆内接四边形的对 B 角 (3)圆内接四边形的任何一个外角都等于它 的 A.2 B.23 C.4 D.3 V当堂达标 7.如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上， 1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且 AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD= AC=6,BC=8,则⊙O的半径是() 126°，则∠AGB的度数为 A.10 B.5 C.7 D.27 B 0 第7题图 第8题图 8.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形， 第1题图 第2题图 AB是直径，DC=CB.若∠C=110°，则 2.如图，正方形ABCD的顶点都在⊙O上，点P ∠ABC的度数为 是CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC 9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 的度数是() BC的延长线与AD的延长线交于点E,且 A.45°B.60° C.75° D.90° DC=DE. 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长 (1)求证：∠A=∠AEB. 线上一点，∠ADE=110°，则∠B=() (2)连接OE,交CD于点F,且OE⊥CD.求 A.80° B.100°C.110°D.120° 证：△ABE是等边三角形 0 第3题图 第4题图 4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若 ·41√22+4=2√5.四边形OABC是正方形，∴.AC= OB=2√5. a-b+1=4 a=1 15.解：(1)①由题意，得 如+26+1=1解得 6=-2 ∴.二次函数的表达式是y=x2-2x十1.②，y x2一2x+1=(x-1)2,∴.抛物线开口向上，对称轴为 直线x=1,.当x≤1时，y随x的增大而减小. (2),x=0和x=2时的函数值都是1，.抛物线的 对称轴为直线x=一品=1(1，n)是顶点，（-1， m)和(3，p)关于对称轴对称，若在m,n,p这三个实 数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m <0.-名=1,6=-2，二次函数为y= ax-2ax十1，m=a+2a+1<0,∴a≤-子 16.解：(1)根据题意，得抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴 为直线x=1.设y关于x的函数表达式为y=a.x2十 (c=10 a=-1 bx+c,.. 9a十36+c=7,解得b=2,∴y关于x b二1 2 c=10 的函数表达式为y=一x2十2x+10.(2)在y= -x2+2x+10中，令y=0,得0=-x2+2x+10,解 得x=√11+1或x=-√11+1（舍去），∴.运动员 从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 (√1Π+1)米. 17.解：(1)-260(2)当1≤x<20时，W=q= (-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600.当20≤x ≤30时，W=g=30(x+10)=30x+300.因此，W= 1-2x2+40x+600(1≤x<20) （3)在W= 30x+300(20x30) 6 -2x2+40x+600中，令W=1000,得一2x2+40x+ 600=1000,整理得x2-20x+200=0,方程无实数 根由30x十30>100得x>23子”x为整数， .x可取24,25,26,27,28,29,30，.销售额超过 1000元的共有7天. 第三章圆 1圆 知识梳理 1.(1)所有点半径⊙0 (2)线段圆心 (3)两点间 (4)弧小于大于 (5)互相重合 2.(1)>(2)=(3)< 当堂达标 1.B2.B3.B4.D5.C6.B 7.80° 2圆的对称性 知识梳理 (1)任意一条过圆心的直线 (2)圆心 (3)相等相等 (4)相等相等 当堂达标 1.C2.B 3.184.40°5.8π6.72° 7.证明：C是AB的中点，AC=BC,AC=BC. .AC=OB,∴.OA=OB=BC=AC,∴.四边形 OACB是菱形 *3垂径定理 知识梳理 (1)垂直于平分弧 (2)不是直径弧 当堂达标 1.D2.C3.B4.D 5.126.87.50 8.证明：AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点， AB⊥CD,.AD=AC,∠B=∠F.CF∥ BD,.∠AGF=∠B,.∠AGF=∠F,.AG =AF. 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 1.圆上 2.一半相等 当堂达标 1.A2.A3.C4.C5.C 6.20°7.67.5° 8.证明：连接AC.AB=CD,.AB=CD,AB十 BD=BD+CD,即AD=CB,∴.∠C=∠A, ∴.PA=PC. 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 知识梳理 1.直角直径 2.(1)内接四边形(2)互补(3)内对角 当堂达标 1.B2.A3.C4.C5.C6.B 7.108°8.55° 9.证明：(1)，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠DCE.,DC=DE,∴∠DCE=∠AEB, .∠A=∠AEB.(2)∠A=∠AEB,∴.△ABE 是等腰三角形.OE⊥CD,.CF=DF,∴.OE是 CD的垂直平分线，.ED=EC.又DC=DE, .DC=DE=EC,∴.△DCE是等边三角形， .∠AEB=60°，.△ABE是等边三角形 双休作业6 1.D2.A3.C4.D5.D6.C7.B8.B 9.半径 6 10.60°11.2012.513.< 14.3v⑩ 10 15.75 16.圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形 17.解：AB=AC,∠A=40,∠ABC=号× (180°一40)=70°.，四边形ABED是⊙O的内 接四边形，.∠ADE十∠ABE=180°， ∴.∠ADE=110°..∠A+∠ADF+∠F=180°， ∴.∠F=180°-∠A-∠ADF=180°-40°- 110°=30°. 18.(1)证明：如图，连接BC.,AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC.又AC=CD,.AB=BD,∴.∠A= ∠D.(2)解：，AE的度数为108°，∴.∠EBA= 54°.又∠EBA=∠A+∠D,∠A=∠D,.∠A= 3∠EBA=27∠E=∠A=2 D 19.(1)证明：MC是⊙O的直径，∴.∠MAC=90°， ∴.MA⊥AC..BE⊥AC,.BE∥AM. (2)解：如图，连接MB.,MC是⊙O的直径， ∴.∠MBC=90°，∴.MB⊥BC..AD⊥BC,.BM∥ AD.,BEMA,∴.四边形AMBH是平行四边形， .AH=MB..⊙O的半径是2，BC=3,.MC=4, ∴.MB=√MC-BC=√42-32=√7，∴.AH=√7. 5确定圆的条件 知识梳理 1.三 2.(1)外接圆三边垂直平分线外心 (2)相等