3.3 垂径定理 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第三章圆 垂径定理 M C A ●0 D AB N 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单 的计算、证明和作图问题. (重点) 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. (难点) 导入新课 情境引入 问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长) 为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m, 你能求出赵州桥主桥拱的。 半径吗? 讲授新课 垂径定理及其推论 问 题 ：如 图 ，AB 是⊙0的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中： 有哪些相等的线段和劣弧?为什么? 线段：AP=BP C 弧：ACBC,AD=BD^ 理由如下： 只 把圆沿着直径CD折 叠 时 ，CD 两侧的两个半圆重合， 点A 与点B 重 合 ，AP 与BP 重 合 ，AC 和BC,AD 与BD 重合 . P D B A 已知：在⊙0中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD, AP=BP, AC=BC,AD=BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB, 则O A=OB. 即△AOB 是等腰三角形. ∵AB⊥CD, ∴AP=BP, ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD, AC=BC. 想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论? 试一试 D O A 尺 B 垂足为P. 求证： 归纳总结 ◆垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ◆推导格式： ∵CD 是直径，CD⊥AB, (条件) ∴AP=BP, AC=BC,AD=BD. (结论) 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化， 形成整体，才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是，请说明为什 么 ? D 是 不是，因为没 有垂直 是 不是，因为CD 没有 过圆心 归纳总结 >垂径定理的几个基本图形： D E 思考探索 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗? ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗? 举例证明其中一种组合方法 已 知 ： 求 证 ： D ② CD⊥AB,垂足为E ④ AC≥BC^⑤AD=BD 证明猜想 ① CD是直径 ③ AE=BE 证明举例 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD, 使AE=BE. (1)CD⊥AB 吗?为什么? (2)AC 与BC 相等吗? AD 与BD 相等吗?为什么? 思考： “不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能，请举出反例. 平分弦( 不 是 直 径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 归纳总结 ◆垂径定理的推论 (1)一条直线过圆心 (2)这条直线垂直于弦 (3)这条直线平分不是直径的弦 (4)这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 (5)这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 满足其中任两 条，必定同时 满足另三条 垂径定理的本质是： 典例精析 例1 如 图 ，OE⊥AB 于E, 若⊙0的半径为10cm, OE=6cm, 则AB= crh6 解析：连接OA,∵OE⊥AB, ∴AE=√OA²-OE² =√ 10²-6²=8 cm. ∴AB=2AE=16cm. E B 0 垂径定理及其推论的计算 二 A 例2 如图，◎0的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC-2cm,水 径OC 的长. 解：连接OA,∵CE⊥AB 于D, 设OC=xcm, 则 OD=x-2,根据勾股定理 , 得 x²=4²+(x-2)², 例3:已知：⊙0中弦AB//CD, 求证：AC=BD. 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB//CD,∴MN⊥CD. 则AM=BM,CM=DM (垂直弦的直径平分弦所对的弧) AM-CM=BM-DM M C A 0 N 然 D B 三 垂径定理的实际应用 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱 半径的问题吗? 解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为0,半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D, 与弧AB交于点C, 则D是AB的中 点 ，C 是弧AB的中点，CD 就是拱高. ∴AB=37m,CD=7.23m. ∴AD= AB=18 . 5m,OD=OC-CD =R-7.23. A B 0 ∵OA²=AD²+OD² R²=18.5²+(R-7.23)² 解得R≈27.3(m). 即主桥拱半径约为27.3m. 根据勾股定理，得 OC²=CF²+OF², R²=300²+(R-90)². 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD 的间 心),其中CD=600m,E 为弧CD上的一点，且OE⊥CD, 垂足为F ,EF=90m: 解：连接OC. 设这段弯路的半径为Rm, 则OF=(R-90)m. ∵OE⊥CD, 求这段弯路的半径 . 针对训练 如图a、b,一弓形弦长为 弓形的高为 . cm4 √弓形所在的圆的半径为7cm, 则 2cm或12cm A D B 图b 0 图a 弓形中重要数量关系 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d (圆心到弦的距 离) , 弓 形 高h的计算题，常常通过连半径或作弦心 距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弦a, 弦心距d, 弓形高h, 半径r之间有以 A 1.已知⊙0中，弦AB=8cm, 圆心到AB的距离为3cm, 则此圆的半 径为 5cm 2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°, 则弦AC=_ . 10√3 cm 3.如图，在⊙0中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODIAB 时 ， OE⊥AC于E, 求证四边形ADOE是正方形. 证明：∵ OE⊥AC OD⊥AB AB⊥AC ∴∠OEA=90° ∠EAD=90° ∠ODA=90° ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴AE=AD ∴四边形ADOE为正方形. AE=LAc,AD-AB 4.已知：如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C,D 两点。你认为AC 和BD 有什么关系?为什么? 解：AC=BD 理由：过O 作OE⊥AB, 垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 ∴AE一CE=BE 一DE 5.如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC 24 以 总 C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D, 则BD 的长为_ 2√3 A D B C 6. (分类讨论题)已知⊙O 的半径为10cm, 弦MN//EF, 且 MN=12cm,EF=16cm, 则弦MN 和EF 之间的距离为 14cm 或2cm 解：∵弓形的跨度AB=6m,EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB于F,∴AF=AB=3m, ∵设AB 所在圆O 的半径为r, 弓形的高EF=2m, ∴AO=r,OF=r-2, 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO²=AF²+OF², A< 7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m , 弓形的 高EF=2m, 现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆○的半径. 即r²=3²+(r-2)², 解得r= 即 ，AB 所在圆O的半径为 m. m. 13 13 4 E E O B D 拓展提升： 如 图 ，⊙ O 的直径为10,弦AB=8,P 为AB 上的一个动点，那么OP 长 的取值范围 3cm≤OP≤5cm 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧. 一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分 弦(不 是 直 径);④平分弦所对的优弧；⑤平 分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推 出 其 它 三 个 结 论 ( “知 二 推 三”) 条 辅 助 线 : 半 径 ， 作 弦 心 距 构造Rt△利用勾股定理计算或 建立方程. 基本图形及变 式 图 形 内 容 推 论 辅 助 线 垂径定理 课堂小结 两连 同学们再见! $$