3.9弧长及扇形的面积 课后培优提升训练2025—2026学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积课后培优提升训练北师大版2025一2026学年九年级下册 一、选择题 1.若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为() A.4 B.4V5 C.4W2 D.2√2 2.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三 段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”，若等边三角形ABC的边长为1，则该“莱洛三 角形”的周长为() A.元 B C.2π D.3元 3.如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型， 设圆的半径为”，扇形半径为R,则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为() 图1 图2 A.R=2r B.R=3 C.R=4r D.R=5r 4.如图，以AB为直径作半圆O,C是半圆上一点，以点A为圆心，AC的长为半径画弧交 直径AB于点D,若∠CAB=45°，AB=4,则图中阴影部分的面积为() C 0 D A.π-2 B.2π-4 C.2 D.4-π 5.如图，在正五边形ABCDE中，连接BD、BE,以点B为圆心，BD长为半径作圆弧，得 到DE,若BD=3,则DE的长为() A. 3π 10 B.3元 5 C. 元 D.0 二、填空题 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2V3,以B为圆心，AB长为半径画弧交边CD于 点E,连结BE,则图中阴影部分的面积为 (结果保留刀). D 7.如图，正方形的边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积 为 8.如图，在扇形BAC中，∠ABC=30°，以BA为直径在AB上方作半圆，交BC于点D, 若AB=4,则阴影部分的面积是 C D B 9.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=3,将Rt△ABC绕A点顺时针 旋转90°得到RtaADE,则BC扫过的面积为一· D 10.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形 的半径为5，扇形的圆心角等于90°，则该圆锥底面圆的半径为 三、解答题 11.如图，BE是OO的直径，A和D是OO上的两点，延长BE到点C,连接DE，AE, AC,且∠EAC=∠ADE. D (1)求证：AC为⊙0的切线. (2)已知B0=CE=2. ①求阴影部分的面积（结果保留π）. ②连接DC,若∠ADC=90°，求AD的长. 12.如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O是边AB上一 点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，OO恰好经过点D,交AB于点E. (1)求证：直线AC是⊙0的切线； (2)若点E为A0的中点，AD=3,求阴影部分的面积. 13.如图，己知ABC是等腰三角形，其中AC=BC,以BC为直径作⊙O,Q0交AC延 长线于点D,交AB边于点E,过点E作EF⊥AC于点F, D B (1)判断EF与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若点C为DE的中点，CD=6. ①求∠A的度数； ②求由线段CF,EF与CE围成的阴影部分的面积. 14.如图，ABC是⊙O的内接三角形，AC是直径，D是BC的中点，DE∥BC交AC的 延长线于E. E B (I)求证：DE是⊙O的切线； (②)点F是OO上一点，连接AF,CF,以F为圆心，AF长为半径画圆弧，使点C在该圆弧 上，再将O0分别沿AF,CF向内翻折，若AC=2,求图中阴影部分的面积和.（结果保留 刀) 15.如图，点A在⊙0上，点B在⊙0外，线段OB与⊙0交于点C,过点C作⊙0的切线交 直线AB于点D,且AD=CD. A D B 0 (1)判断直线AB与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若∠B=30°，CD=5,求图中阴影部分的面积. 参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 二、填空题 6.65-等 7.18π-36 8.2π-2V5 三、解答题 11.【详解】(1)证明：如图，连接OA, :0A=0B, .∠OBA=∠BAO, AE=AE, .∠OBA=∠ADE, .∠BAO=∠ADE, .:∠EAC=∠ADE, ∠BAO=LEAC, :BE是直径， .∠BAE=90°， .∠BA0+∠EA0=90°， .LEAC+∠EA0=90°， ∠0AC=90°， .OA⊥AC, .AC为O0的切线： (2)①解：：B0=CE=2, 0A=0E=CE=2, .0C=0E+CE=4, .:∠0AC=90°， :AE=0C=0E=2, 2 .AC=V0C2-0A2=V42-22=25, :0A=2,AE=0E=2, :.OA=OE=AE, △A0E是等边三角形， .∠A0E=60°， S阴影=S.o4c-S扇形40E 14COA-6z22 360 方2x25-号 3 =25号 ②解：作OP⊥AD于点P,并延长OP与AC交于点Q, 则OP平分AD,∠APO=∠APQ=90°， :AP=AD,:∠4DC=90°， 2 PQ∥CD,.△APQ∽△ADC, :AO:OC=AP:PD=1, :4A0=AC=x25=5, 2 00=0A+A0=V2+(=万， :∠OAQ=90°， ∠APO=∠OAQ=90°， ∠AOP=∠AOQ, △AOP△Q0A, :.0A:00=AP:A0, .2:V万=AP:5, ·AP=22 ,4D=2AP=42 7 7 12.【详解】(1)证明：连接0D,如图所示： D B :BD是∠ABC的平分线， :ZOBD ZCBD OD=OB .∠ODB=LOBD .∠ODB=∠CBD .OD∥BC .∠AD0=∠C=90°. ∴OD⊥AC 直线AC是00的切线： (2)解：设O0的半径为R, .OD=OE=OB=R, :点E是A0的中点， :AE =OE=R, .A0=2R, 由(1)可知：OD⊥AC, .在Rt△AOD中，sinA= OD R 1 A02R2 .LA=30°， LA0D=60°， AD=3, ∴.tanA= OD AD .OD=AD.tanA=3×tan30°=√5， SA400-TAD.OD=x3x3= 1 0zx3)2 2 2 2，S扇形EOD三 360 2 :.阴影部分的面积为：S&AOD-S扇形EoD= 35-π 2 13.【详解】(1)解：EF与o0相切，理由如下： 如图，连接OE, B AC=BC, .LA=∠CBE, OE=OB, :ZOEB ZCBE ∠A=LOEB, .AC∥OE, :EF⊥AC, .EF⊥OE, 又：OE是⊙0的半径， .EF与O0相切； (2)解：①如图，连接BD, E B :BC为⊙0的直径， .∠D=90°， :点C为DE的中点， CE=CD .∠CBE=LCBD, 由(1)得，LA=LCBE, 设∠A=∠CBE=a,则LCBD=Q, 在△BAD中，∠A+∠ABD+∠D=180°， .2a+a+90°=180°， 解得a=30°， .∠A=30°； ②如图，连接CE, D B :BC为O0的直径， .∠BEC=∠BDC=90°， :点C为DE的中点， CE=CD .CE=CD=6, :EF⊥AC, ∴.∠AFE=∠CFE=90°， 由①得，∠A=∠CBE=∠CBD=30°， .BC=2CD=12,∠AEF=90°-30°=60°， .BE=VBC2-CE2=6V5,∠CEF=90°-60°=30°， SCEE-x6x63-183.CF-CE-3, 2 ∴EF=VCE2-CF2=3V5, 5.w.cF :0C=BC=6, 2 5.co-. :∠C0E=2∠CBE=60°， .S扇形ocE= 60π×62 =6π， 360 :.阴影部分的面积=S.cBr+S.coE-S层形ocE _93 +9√5-6元 2 =275 -6π. 2 14.【详解】(1)证明：如图，连接0D, F B :△ABC是OO的内接三角形，AC是直径， :∠ABC=90°， 在ABC中，LBAC+∠BCA=180°-∠ABC=90°， :D是BC的中点， :CD=BC,0D是o0的￥径， 2 根据圆周角和圆心角定理得LDOC=∠BAC, :DE∥BC交AC的延长线于E, .∠E=∠BCA, .LD0C+∠E=LBAC+∠BCA=90°， 在a0DE中，∠0DE=180°-LD0C+∠E)=90°， OD⊥DE, 又：0D是⊙0的半径， :DE是OO的切线： (2)解：如图，连接0F, F