第3章 8 圆内接正多边形&培优专题15：正多边形的性质及其应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

√同行学案学练测九年级数学下BS 8 圆内接 (教材P97 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：与圆内接正多边形有关的计算 1.(青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于 ⊙O,点M在AB上，则∠CME的度数为() A.30° B.36° C.45 D.60° 第1题图 第2题图 2.(青岛中考)如图，五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是 3.如图，P,Q分别是⊙O的内接正五边形的边 AB,BC上的点，BP=CQ,则∠POQ= D B B 第3题图 第4题图 4.(雅安中考变式)如图，已知⊙O的内接正六 边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的 内接正三角形ACE的面积为 知识点二：圆内接正多边形的作法 5.如图，已知⊙O,用尺规作⊙O的内接正方形 ABCD.(不写作法，保留作图痕迹) 0 90 做神龙题得好成绩 正多边形 98练习) 6.已知A,B两点，求作：过A,B两点的⊙O及 ⊙O的内接正六边形AEFBCD.(要求用直尺和 圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明) 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>>难度等级中等题 7.(德阳中考)半径为R的圆内接正三角形、正 方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a, b,c的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 8.(凉山州中考)如图，等边三角形ABC和正方形 ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=() A.22:√3 B.√2：√3 C.√5：2 D.√5：2√2 0 B 第8题图 第9题图 9.[几何直观]（福建中考）我国魏晋时期数学家 刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆 术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法 来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所 失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这 种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416. 如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内 接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π 的钻计值为35，考用圈内接正十二边形作 近似估计，可得π的估计值为( ) A.√3 B.2√2C.3 D.23 10.如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF,圆 内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步 骤如下： ①作出半径OF的中点H; ②连接AH,以点H为圆心，HA为半径作 圆弧，交直径MF于点G; ③连接AG,AG长即为正五边形的边长、在 圆周上，作出各等分点B,C,D,E 已知⊙O的半径R=2,则AB2= (结果保留根号) 第10题图 第11题图 11.[运算能力]如图，①将半径为2的⊙O六等 分，依次得到A,B,C,D,E,F六个分点； ②分别以点A,D为圆心，AC长为半径画 弧，G是两弧的一个交点；③连接OG,则OG 的长是 12.(宜宾中考变式)如图，⊙O的内接正五边形 ABCDE的对角线AD与BE相交于点G, AE=2,求EG的长. 第三章圆☑ 13.(金华中考)如图①，正五边形ABCDE内接 于⊙O,阅读以下作图过程，作法如图②. 1.作直径AF 2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O 交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA. 解答下列问题. (1)求∠ABC的度数， (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由， (3)从点A开始，若以DN长为边长，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到 正n边形，求n的值. ② 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 14.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB= AD,∠C=120°，点E在AD上，连接OA, OD,OE,AE,DE. (1)求∠AED的度数， (2)当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内 接正n边形的一边，求n的值. 做神龙题得好成绩91 J同行学案学练测九年级数学下BS 必 培优专题15：正多边形的性质及其应用 1.如图所示，用扳手上螺帽，已知正六边形的螺 6.如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它 帽的边长为a,这个扳手的开口b最小应 的内切圆与外接圆所围成圆环的面积 是() 为 抽象能力 运算 H 能力 A.√3a B.2a D③ 2.(株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条 第6题图 第7题图 何直观 边所对的圆心角最大的图形是( 7.如图，在正方形ABCD中画一个最大的正六 A.正三角形 B.正方形 空 边形EFGHIJ,则∠BGF的度数是 C.正五边形 D.正六边形 3.如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形， 8.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含 推 然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切 了一种特殊的平面图形—一正八边形.如 圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆， 图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作 它的半径是( ⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作 念 法，保留作图痕迹) 模型 应用 A多R B(分R 识 )"R ③ D.()R 意识 4.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线 AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六 角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J, K,L,M,则图中等边三角形共有 第4题图 第5题图 5.(南充中考)如图，以正方形ABCD的AB边 向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则 ∠ADH= 度. 92 做神龙题得好成绩PB=-8(舍去)，则AP=2十6=8. 6.解：如图，⊙O及正六边形AEFBCD即为所求. ① ② 培优专题14：巧用三角形的中位线 7.A8.B9.C 求解圆的问题 10.10-2√511.22 1.C2.D3.B4.B5.1 12.解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x.易知 6.5[解析]如图，作直径DG,连接 ∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB= CG.DG为直径，∴.∠DCG=90°， .∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 72°，∴.AB=BG=AE=2.,∠AEG=∠BEA,∠EAG= ∠DAC+∠ADB=90°.：∠DAC ∠BA△ABG∽△BEA能-EAE=BG· =∠G,∴∠ADB=∠CDG,∴AB EB,∴.22=x(x+2),解得x=-1十√5或-1-√5（舍 CG,AB=CG.OF⊥CD,.DF =CF.,OD=OG,.OF为△DCG的中位线，.CG= 去)，∴.EG=√5-1. 20r=2X号-5，AB=-5. 13.解：(1)，五边形ABCDE是正五边形，.∠ABC= 7.4[解析]如图，延长ID到点M,使DM (5-2)×180°=108.(2)△AMN是正三角形，理由： 5 =ID,连接CM.,I是△ABC的内心， 连接ON,NF,如图，由题意可得FN=ON=OF, ∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，.∠NMA= ,∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI= 60°.同理可得∠ANM=60°，.∠MAN=60°，.△AMN ∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB, B 是正三角形.(3)连接OD,如图，：'∠AMN=60°， ∴∠DIC=∠DCI,.DI=DC=DM, D ∴∠ICM=90°，∴.CM=√IMP-IC= M ∠A0N=120.∠A0D-380X2=144,∠N0D 8..AI=2CD=10,..AI=IM..AE=EC,..IE =∠A0D-∠AON=144°-120°=24°.，360°÷24°= △ACM的中位线，∴IE=2CM=4 15,.n的值是15. 8.(1)证明：连接OD.AD=DC,AO=OB,.OD是 △ABC的中位线，OD/BC,OD=2BC.:DG⊥BC, ∴OD⊥HG.:OD是⊙O的半径，∴.直线HG是⊙O的 切线.(2)解：设⊙O的半径为x,则OH=x+3,BC= 2.:0D/BC,∠H0D=∠B,∴as∠H0D=号，即 8品与一号得-2BC-4,BH-27mB 14.解：(1)如图，连接BD.:四边形ABCD是⊙O的内接四 吾器-号即g号解得-兰0-C 边形，∠BAD+∠C=180°.∠C E 7 =120°，∠BAD=60°.AB= BG=4-146 AD,.△ABD是等边三角形， 55 .∠ABD=60°.四边形ABDE是 8圆内接正多边形 ⊙O的内接四边形，.∠AED十 1.D2.54°3.72°4.45 ∠ABD=180°，.∠AED=120° 5.解：如图，正方形ABCD即为所求， (2)∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°. :∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴.n =360° 30°=12. 培优专题15：正多边形的性质及其应用 1.A2.A3.A485.156.T7.15 8.解：如图所示. 8.解：如图，延长BO交CD于点F,连接OD.⊙O与 ∠MAN的边AN相切于点B,∴.OB⊥AB,∴.∠ABF= 90.∠A=0,∠AFB=0,BF-gAB-号X5E s56 .:OE1CD,DE=CE.在R△OEF中， 9弧长及扇形的面积 ∠EF0=60,i60-8器-复0F-20e OF 3 1.B2.20π3.4V2π4.B5.B6.A7.B 0B=50E50e+23oE-5 ,解得0E=2, 8.23-π ∴.OB=√3X2=√6，.OD=OB=√6.在Rt△DOE中， 9.B10.C11.D12.A DE=√OD2-OE=√(W6)2-(W2)2=2,∴.CD=2DE 3.灭[解析]如图，圆为心O,连接OA,OB,OC,0D, =4. 0 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算 1.C2.A O 3.解：如图，连接OM交AB于点C,连接 :OA=OB=0D=5,∠B0C=2∠BAC=45°，：.BC的 OA,OB.由题意知OM⊥AB,且OC= 长为5-要 1 41 MC=2,在Rt△A0C中，OA=1, 14.解：AB=AC,∠BAC=50°，.∠ABC=∠ACB=65°. BD=CD=BC,△BDC为等边三角形.∴∠DBC= F2cos∠A0C=0C=1 OA-2AC-0A-OC- ∠DCB=60°.∴.∠DBE=∠DCF=55.BC=6,∴.BD =CD=6.l金=1e-5XmX6_:DE,DF的长 ,∠A0C=60°，AB=2AC=3,∠A0B=2∠A0C 3 180 61 度之和为1r+11x_1x =120°，则S号形ABM=S赌形0AB一S△A0B 120mX1-×5 360 6+6=3, 1 15.(1)证明：如图，连接OC,则OC⊥AB.CD=CE,∴∠AOC ×分=号-9，Se=5m-2Sw=方xX1- (∠AOC=∠BOC =∠BOC.在△AOC和△BOC中，3OC=OC 2(骨9)-吾 ∠OCA=∠OCB=90 4.A5.6π ∴.△AOC≌△BOC(ASA),∴.OA=OB.(2)解：由(1)可得 6.解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2, AC=BC=号AB=25,在R△A0C中，0C=2, AC=2√3，AB=4.,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转 90得到Rt△ADE,∴.△ABC的面积等于△ADE的面积， ZA0C=∠B0C=60,∴Sar=2BC.0C=2× 2 ∠CAB=∠DAE,AE=AC=2√3，AD=AB=4, 23X2=25,.S形a0E 60XxX2=名元 ∴.∠CAE=∠DAB=90°，.阴影部分的面积S=S扇形AD 360 3π，S阴影= 十S△ABC一S期形CAE一S△ADE=S扇形BAD一S扇形CAE =90π×42 S△xc-S期形E=2/3- 360 3π 90πX(2√3)2 360 培优专题18：圆中的分类讨论 1.6或3 2.解：如图①，当点P在⊙O内时，过点O作OC⊥AB于C, 培优专题16：在圆中构造直角三角形 解决问题的方法 则AC=BC=2AB=4,连接OB,则OC=VOB-BC 1.102.√7-13.√/134.B5.√26.857.2√/10 =√52-4=3.在Rt△OPC中，OP=√PC2+OC= 同行学案学练测·21·