第3章 3 垂径定理-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

/同行学案学练测九年级数学下BS 米3 垂 (教材P74 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>[难度等级基础题 知识点一：垂径定理及应用 1.(张家界中考)如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则 AE=( A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm D D 第1题图 第2题图 2.[推理能力]如图，已知⊙O的直径AB⊥CD 于点E,则下列结论可能错误的是( A.CE=DE B.AE=OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE 3.(长沙中考)如图，A,B,C是 ⊙O上的点，OC⊥AB,垂足为 点D,且D为OC的中点，若 OA=7,则BC= 知识点二：垂径定理的推论及其应用 4.（永州中考)如图，⊙O是一个盛有水的容器 的横截面，⊙O的半径为10cm,水的最深处 到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽 度为 cm. 0 B 第4题图 第5题图 5.(青海中考)如图是一个隧道的横截面，它的 形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C 是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交 ⊙O于点D,并且AB=4m,CD=6m,则 ⊙O的半径长为 m. 70做神龙题得好成绩 径定理 ~76练习) 知识点三：平行弦所夹的弧相等 6.如图，已知AB和CD为⊙O B 的两条直径，弦CE∥AB,弧 CE的度数为40°，则∠BO℃= 易错点：求两条平行弦的距离忽视分类讨论 7.已知⊙O的半径为10，弦AB/CD,AB=12, CD=16,求AB与CD之间的距离. 即能力提升 >>>>>>>>难度等级中等题 8.(安顺中考)已知⊙O的直径CD=10cm,AB 是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为点M,且 AB=8cm,则AC的长为( ) A.25 cm B.4v√5cm C.2√5cm或4w5cmD.2W3cm或4vW3cm 9.[应用意识]若小明同学掷出的铅球在场地上 砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小 坑，则该铅球的直径约为() A.10 cm B.14.5cm C.19.5cm D.20 cm 10.(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水 利灌溉工具，如图①.简车盛水桶的运行轨 道是以轴心O为圆心的圆，如图②.已知圆 心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 AB长为6米，⊙O半径长为4米.若点C为 运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直 线的距离是( 水面 ② A.1米 B.(4-√7)米 C.2米 D.(4十√7)米 11.(宁夏中考)我国古代数学经典著作《九章算 术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一 寸，锯道长一尺.问：径几何？”意思是今有一 圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯 去锯这根木材，锯口深ED=1寸，锯道长 AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的 直径是 寸 0 D 第11题图 第12题图 12.如图，AB,AC是⊙O的弦，OE⊥AB,OF⊥ AC,垂足分别为点E,F.如果EF=3.5,那 么BC= 13.(梧州中考)如图，在半径为√13的⊙O中，弦 AB与CD交于点E,∠DEB=75°，AB=6, AE=1,则CD的长是 D 第三章圆☑ 即培优创新>>>>> 难度等级综合题 14.[应用意识]（荆州中考）如图，将一个球放置 在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm, 底面直径BC=l2cm,球的最高点到瓶底面 的距离为32cm,则球的半径为 cm. (玻璃瓶厚度忽略不计) 32 cm 20 cm 12 cm 15.[应用意识]一次综合实践的主题：只用一张 矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯 口的直径？小明所在的学习小组想到了如 下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条 的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm, AB=3cm,CD=4cm,并且用刻度尺找出 线段CD,AB的中点M,N,连接MN.请你 计算出纸杯的直径 做神龙题得好成绩71第2课时利用图象法求一元二次方程的近似根 十285=0，解得x1=15,x2=19.,4y≤12，即4≤-x十 1.C2.C3.D4.C 24≤12，.12≤x≤20，.此时的售价为15元/件或19元/件 5.解：(1)x2-3(2)图象如图所示. ②设利润为w万元，当4≤y≤12时，即12≤x≤20，则w =xy-10y=(x-10)y=(x-10)(-x+24)=-x2+ 6 34x-240=-(x-17)2+49..-1<0,∴.当x=17时， w有最大值，最大值为49.当12<y≤19时，把y=12,P =120代入P=-号y+6y+c,得-号×12+6X12+ c=120,解得c=96,P=32+6y十96dw=y 由图象得出方程的近似解为x1=一1.4，x2=4.4. p=w-(-3y2+6y+96）=(24-y+3,2-6 章末复习 96=号(-罗)°+只.”-号<0当y=号时，w 1.B2.2或43.D4.C5.A6.C 7.解：(1)①：b=4,c=3,.y=-x2+4x+3=-(x-2)2+ 有最大值，大值为号此时=21-号-号签上所述， 7,.顶点坐标为(2,7).②，一1≤x≤3中含有顶点(2， 当售价为17元时，利润最大，最大利润是49万元. 7),.当x=2时，y有最大值7.：2-（-1)>3-2， 12.解：(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),∴.c=4.对称轴为 .当x=一1时，y有最小值为-2，∴.当-1≤x≤3时，一2 ≤<7。(2)由题意，得抛物线的对称轴直线x=名在y 直线x=一号一乌2=一是6=-3抛物线的表达 式为y=一x2-3x十4.(2)如图①，点B'在对称轴直线 轴的右侧，∴.b>0.,抛物线开口向下，且当x≤0时，y的 最大值为2，c=2.又：4X1)×c-b x=-名上，令-父2-3x十4=0，解得1=1,4=-4， 4×(-1) =3,b=士2. .A(-4,0),B(1,0),AB=1-(-4)=5.由翻折可得 ,b>0,.b=2..二次函数的表达式为y=一x2十2x +2. AB'=AB=5:对称轴为直线z=一号AH=-号 8.B9.C -(-4)=5, ,.AB=2AH,∠AB'H=30,∠B'AB 10.解：(1)，抛物线C1:y=a(x-3)2+2,.C1的最高点坐 标为(3,2).点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2 =60°，∠DAB= 2∠B'AB=30.在Rt△AOD中，OD 上，1=a(6-3)2+2,a=-号，抛物线C1:y= =0A·tan30=分3，∴D(0,33） 4 4 -}x-3)+2,当x=0时，c=1.(2)由题意，得嘉嘉 (3)如图②，设PF交x轴于Q,设BC所在直线的表达式 为y1=1x十b1,把B,C坐标代人直线的表达式，得 能接到沙包的坐标范围是(5,1)~(7,1).当经过(5,1)时， |k1+b1=0 1=-日×25+号X5+1+1,解得m号当经过(， (b1=4 解得飞，一4 6,=4y=-4x+4.:04= ×49+号×7+1+1，解得n=号，号≤≤ 时，1=一1 OC,∴∠CAO=45.∠AEF=90°，.直线PE与x轴 7…5 所成夹角为45°，即∠PQ0=45°.设P(m,-m2-3m+ 号为维数符合条件的元的整数值为4和5 4),设PE所在直线的表达式为y2=一x十b2,把点P代 入，得b2=-m2-2m+4,∴.y2=-x-m2-2m+4.令 11.解：(1)根据表格中数据，可知y与x是一次函数关系.设 y1=y2,则-4x十4=-x-m2-2m+4,解得x= y关于x的函数表达式为y=kx十b,将(10,14)，(12,12) 10k+b=14 m十2m,G=e=二4m+2m）+4,v2FP= 代入表达式，得 2+6=12解得/=1， 6=240关于x 3 3 的函数表达式为y=一x十24.(2)①设4≤y≤12时， E0-.巨-p)=号(m-mP心 P=my+n(m≠0)，将(4,40)，(12,120)代入表达式，得 +V2Fp=二40m+2m+4+20mgm-号(m+ 3 3 12m+m=120解得m=10, /4m+n=40 4n=0P=10gy,xy-10y= 多》+想：点P在直线AC上方，4-4<m<0当 (x-10)y=(x-10)(-x+24)=45,整理，得x2-34x ·18·同行学案学练测 m=一号时，FG+V厅FP的值最大，最大值为铝 90°-2∠A0B,在△c0D中，∠C=90-2∠C0D, ∴∠B=∠C 13.解：四边形OACB是菱形.理由如下：C为AB的中点， .BC=AC,∴.∠BOC=∠AOC.在△BOM和△AOM (OB=OA 中，∠BOM=∠AOM,.△BOM≌△AOM(SAS), A OM-OM ∴.∠OMB=∠OMA=90°，BM=AM.在Rt△AOM中， ① ② 18-9<<114215.C16-1或2或1 s∠A0M-8-号乙AaM-0∠M- .OA=OB=OC,∴.△BOC与△AOC都是等边三角形， 17.一1或5[解析]由二次函数表达式y=(x一h)2+1知， ∴.OA=AC=BC=BO,∴.四边形OACB是菱形. 其对称轴为x=h.当h<1时，在1≤x≤3时，y随x的 14.解：CD=AE=BF.理由：如图，连接AC,BD.在⊙O 增大而增大，所以当x=1时取得最小值y=5,即(1一h)2 +1=5,所以h=-1或3（舍去）：当1≤h≤3时，函数值 中，∠AOB=90°，C,D为AB的三等 y=(x一h)2+1的最小值为1，不符合题意；当h>3时， 分点∠A0C=吉∠A0B=言 在1≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x=3时取 90°=30°.OA=OB,.∠OAB= 得最小值y=5,即(3-h)2+1=5,所以h=5或1（舍 ∠OBA=45°.，∠AOC=∠BOD= 去).综上所述，h的值为-1或5. 30°，∴.∠OEF=∠OAB+∠AOC= 第三章圆 45°十30°=75°.同理，∠OFE=75°，∴∠AEC=∠BFD= 1圆 75°.，∠AOC=30°，OA=OC,∴.∠AC0=∠CA0= 1.D2.B3.D4.(1)C(2)A5.B 180°30°=75，∠AEC=∠AC0=75,AE=AC. 2 6.6.5或2.57.B8.B9.B10.D 同理，BF=BD.,C,D是AB的三等分点，AC=CD 11.证明：如图，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC. =BD,∴.CD=AE=BF ∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD,∴.OA=OB=OD= OC,∴A,B,C,D四个点在同一个圆上 “3垂径定理 1A2B3741659670 7.解：分两种情况：当AB,CD在圆心O的两侧时，如图①， 过点O作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F,连接 OD,OB.AB//CD,EF LAB,ED-CD,BF- 12.解：(1)在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=4,BC=5, 2AB.AB=12,CD=16ED=7×16=8,BF=号 ∴.AB=√JAC+BC=√42+5=√红.AB的中点 ×12=6.由勾股定理，得OE=√OD2-ED2=√102-8 为点MCM-=号AB-四.：以点C为圆心4为半 =6,OF=√OB2-BFz=√102-6=8，.EF=OE+ OF=6+8=14;当AB,CD在圆心O的同侧时，如图②，同 径作⊙C,AC=4点A在⊙C上.CM=四<，则点 理，得EF=OF-OE=8-6=2.综上所述，AB与CD之 间的距离为14或2. M在⊙C内；BC=5>4,则点B在⊙C外. r<5. D 2圆的对称性 1.B2.B3.B4.B5.C6.D ② 7.125°8.(1)C(2)B9.B 8.C9.B10.B11.2612.713.2√/1T14.7.5 10.示例：AB=CD,OE=OF 15.解：如图，MN⊥AB,MN过圆心，设圆心为点O,连接 11.4√6或4w2 OD,OB,.MN=3.5cm.CD∥AB,MN⊥CD, 12.证明：在⊙0中，AB=CD,AB=CD,∠AOB= ∠COD.OA=OB,OC=OD,∴.在△AOB中，∠B= DM=号cD=2×4=2(am,BN=号AB= 2X3= 1.5(cm).设OM=xcm,∴.ON=MN-OM=(3.5-x)cm 13.(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,..OM2+MD2 ∴∠ADE=∠ABC.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. =0N2+BN2,.x2+22=(3.5-x)2+1.52,∴.x=1.5, ∠ACB=∠ADB,∠ADB=∠ADE.(2)解：如图， .OM=1.5cm,∴.OD=√OMf+MD=√1.52+2= 连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,则∠FBC=90° 2.5(cm),.纸杯的直径为2.5×2=5(cm). 在R△BCF中，CF=4,BC=3,nF-器-是 '∠F=∠BAC,Sin∠BAC= 4 B 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.A3.70°4.13° 5.C6.28°7.60°8.C9.D10.B11.D12.4 13.30° 14.(1)证明：C是BD的中点，.CD=BC.AB是⊙0 14.(1)解：点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC= 的直径，且CF⊥AB,.BC=BF,.CD=BF,∴.CD BC.:∠ADC=30°，∴.∠AOC=∠BOC=2∠ADC= [∠F=∠CDG 60°，∴∠BOC的度数为60°.(2)证明：AC=BC, BF.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC, AC=BC.,∠BOC的度数为60°，BO=CO,∴.△BOC BF=CD 为等边三角形，.BC=BO=CO.AO=BO,.AO= ∴.△BFG≌△CDG(AAS).(2)解：方法一：如图①，连 BO=AC=BC,∴.四边形AOBC是菱形. 接OF,设⊙O的半径为r.在Rt△ADB中，BD2=AB2 15.(1)证明：如图，易知AB=AD,∠1=∠2，.在△ADF和 AD2,即BD2=(2r)2-22.在Rt△OEF中，OF2=OE2+ (AD-AB D △ABE中，∠1=∠2，∴.△ADF≌ EF,EF=r2-(r-2)2..CD=BC=BF,..BD= DE=BE CF,.BD=CF,∴.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即 △ABE(SAS).(2)解：由(1)知E (2r)2-22=4[r2-(r-2)2],解得r=1(舍去)或3， △ADF≌△ABE,.AF=AE,DF= B ∴.BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,.BF=23. BE,∠3=∠4.在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAF+∠3=90°，∠BAF+∠4=90°，.∠EAF= 90°，∴△EAF是等腰直角三角形，EF2=AE2+AF2, ∴.EF2=2AE2,.EF=√2AE,即DE-DF=√2AE, .DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE. 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 1.C2C3149m5安6B7A 0 ② 8.证明：A,D,C,B四点共圆，∴∠A=∠BCE.BC= 方法二：如图②，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于 BE,∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴AD=DE,即 点H,连接AC,BC.·CD=BC,∠HAC=∠BAC. △ADE是等腰三角形. CE⊥AB,.CH=CE.AC=AC,.Rt△AHC≌ 9.D10.45或135°11.C Rt△AEC(HL),∴AH=AE.,CH=CE,CD=CB, 12.解：如图，连接OA,OC.:∠ABC= .Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),.DH=BE=2,∴.AH= 45°，OA=OC=2,∴.∠AOC=90°，易 AE=2+2=4,∴.AB=4+2=6.AB是⊙O的直径， 得AC=2√2.过点A作AE⊥AC,交 ∴∠ACB=90°，∠CEB=∠ACB=90°.∠EBC= CD于点E,过点E作EA'⊥BC于点 A',过点A'作A'N'⊥AC于点N. ∠CBA.△BCn△BCA,÷-.BC ,CD平分∠ACB交⊙O于点D, D BA·BE=6X2=12,∴.BF-BC=2√3 ∴点A与点A'关于直线CD对称，A'N'的长即为MA 培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用 +MN的最小值，AC=A'C=2√2.，∠ACB=60°， 1.A2.A3.(1)70°(2)60 AN=AC,0=22X5=后，即MA+MN的最小值 4.C5.C6.B 2 7.解：作点B关于直线MN的对称点B',则点B'必在⊙O 是v6. 上，且BN=NB'.连接OB,OB',由已知得∠AON=60°， :点B是AN的中点，∠B'ON=∠BON=2∠AON 5确定圆的条件 =30°，∠AOB=90°.连接AB交MN于点P',则点P 1.D2.B3.(-1,-2)4.5 即为所求的点.此时AP'+BP'=AP'+P'B'=AB'= 5.解：(1)作法：如图，①连接AC;②作AC的垂直平分线，交 CD所在直线于点O,则点O就是此残片所在圆的圆心. √2OA,即AP十BP的最小值为√2. (2)连接OA,设OA=OC=xcm.,CD⊥AB,AB 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形 24cm,CD=8cm,∴.AD=12cm,OD=(x-8)cm.在 1.A2.22.53.30°4.4 Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2十OD2,即x2= 5.证明：(1)如图，连接BD.:AB=CD, 122+(x一8)2，解得x=13,.所作圆的半径为13cm. .∠ADB=∠CBD,.AD∥BC. (2)如图，设OC与BD相交于点F. .'BC=CD,..BC=CD,BF=DF.A ∠DFE=∠BFC,∠EDF=∠CBF, .△DEF≌△BCF(ASA),.DE=BC.由(1)知AD∥ BC,四边形BCDE是平行四边形.又·BC=CD,∴.四 6.A7.69°8.429.5√5或5√210.D 边形BCDE是菱形. 6.(1)解：四边形OBAD是菱形，理由如下：如图，作AS⊥ 1.C12B1B.8cm2或32cm21410,5 3 DE于点S,作AT⊥BC于点T.OP平分∠MON,∴.AS 15.(1)证明：AE=DE,OC是半径，∴.CD=AC,∴∠CAD =AT,∠AOD=∠AOB.在Rt△ASD与Rt△ATB中， =∠CBA.(2)解：：AB是直径，∴∠ACB=90 AD=ABR△ASD≌R△ATB(H,SD=TB. (AS-AT ,AE=DE,∴.OC⊥AD,.∠AEC=90°，.∠AEC= ∠ACB.又：∠EAC=∠CBA,.△AECD△BCA, 在Rt△AS0与R△A70中，AS=AT AO-AORAAS0 器-0号-8cR-60-AB=5 Rt△ATO(HL),∴.S0=TO,.SO-SD=TO-TB,即 ..OE=0C-CE=5-3.6=1.4. OD=OB.'AD∥OM,∴.∠AOB=∠OAD.∠AOD= 16解：602 (2)如图，Rt△ABC的外接圆是它的最小覆 ∠AOB,∠AOD=∠OAD,.AD=OD,∴.AD=AB= OD=OB,.四边形OBAD是菱形.(2)证明：如图，连接 盖圆。 ,(3)6 2 4 FE,'AS LDE,AT LBC,.SD-SE-DE,TB-TC -BC.SD-TB,.DE-BC.OD-OB,OD+ DE=OB+BC,即OE=OC.在△OEF与△OCF中， [OE=OC N ∠EOF=∠COF,.△OEF≌2△OCF(SAS),∴.∠OEF= 6直线和圆的位置关系 OF=OF 第1课时切线的性质 ∠OCF.CF⊥OM,∠OEF=∠OCF=90°.，AS⊥ 1.B2.C DE,DG⊥ON,∴.∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°，∴.DG 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在AN SA/E,S-梁=-1AG=AR Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=5cm. 根据三角形面积公式有CD=AC·BC AB 2.4cm,即圆心C到AB的距离C d=2.4cm.(1)当r=2cm时，有d>r,因此⊙C与AB 相离.(2)当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C与AB相 M 切.(3)当r=3cm时，有d<r<4,因此⊙C与AB相交. 培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用 4.A5.B6.C7.4-258.32°9.2√3 1.A2.A3.15°4.128°5.13°6.15 10.B11.C12.r=√3或2<r≤2√313.2√3 7.25829A10号 14.(1)证明：如图，连接AC,OC.CD为切线，∴.OC⊥CD. ,CD⊥AD,∴.OC∥AD,.∠OCB=∠E.,OB=OC, 同行学案学练测·19·