2.5.2 二次函数与一元二次方程 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容为利用二次函数图象求一元二次方程近似根。课前通过回顾二次函数图象与x轴交点和方程根的关系搭建旧知支架，新知探究以具体函数实例展开，从观察图象确定根的范围到列表估算，再用求根公式验证，形成连贯的学习脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过图象观察确定根的范围培养几何直观，列表分析函数值变化发展数据意识，归纳步骤与公式验证强化推理能力。延伸拓展至二次函数与一次函数结合求不等式解集，助力知识迁移，学生能深化理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

课前回顾 1. 二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：___________、____________、____________.与此相对应，一元二次方程的根有三种情况：____________的实数根、_____________的实数根、_______实数根. 2. 二次函数的图象与x轴交点的____________就是一元二次方程的根. 3.一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与直线交点的____________. 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等 有两个相等 没有 横坐标 横坐标 Administrator (A) - 北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5.2二次函数与一元二次方程 学习目标 1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标. 3.积累用图象法求方程近似根的经验，进一步发展估算能力. Administrator (A) - 新知探究一 如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象. (1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1) 分析:(1)由图象可知方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在　　　　和　　　　之间(填两个连续整数).  ①先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索: 因此,x=　　　　是方程的一个近似根.  x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y         2 3 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 -4.3 Administrator (A) - 当x=-14.35时，y值是0.2225 ②另一个根可以类似地求出: 因此,x=_____是方程的另一个近似根. x 2.1 2.2 2.3 2.4 y         -1.39 -0.76 -0.11 0.56 2.3 如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象. (1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1) 新知探究一 Administrator (A) - 当x=2.35时，y=0.2225 探究新知一 (2)用一元二次方程的求根公式验证(1)中的结果. 如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象. (2)解: 这里a=1,b=2,c=-10, ∵b2-4ac=22-4×1×(-10)=44, (1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1) 归纳总结 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： (1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象; (2)确定图象与x轴的交点的横坐标在哪两个连续整数之间; (3)列表,在两个连续整数之间对x取一系列值,看y对应的哪 两个值由负变成正,或由正变成负,此时x的两个对应值之间 必有一个是近似根. 注:在取值时,由于方程的根在两个连续整数之间,所以应取函数值更接近于0时所对应的自变量的值. 跟踪练习一 1.已知二次函数y=x2-2x-2的图象如右图,则根据图象可得关于x的一元二次方程x2-2x-2=0的两个近似根的范围是_________和__________(左右两端为两个连续整数).  -1<x<0 2<x<3 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 2.根据下列表格中的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的一个根的范围是 (　　) A. 3<x<3.23 B. 3.23<x<3.24 C. 3.24<x<3.25 D. 3.25<x<3.26 C 探究新知二（54页做一做） (1)利用图①求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.（结果精确到0.1） 解: 一元二次方程可化简为x2+2x-13=0. 由图①可知此一元二次方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间. 先求-5和-4之间的根,利用计算器进行探索: 因此,x=-4.7是方程的一个近似根. x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 x2+2x-13 1.21 0.44 -0.31 -1.04 新知探究二 (1)利用下图①求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 然后求2和3之间的根,利用计算器进行探索: 因此,x=2.7是方程的另一个近似根. x 2.5 2.6 2.7 2.8 x2+2x-13 -1.75 -1.04 -0.31 0.44 所以x=-4.7和x=2.7是方程的两个近似根. 新知探究二 (2)你还能利用图②求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗? (结果精确到0.1) 解:能利用图②求出一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 在图②中作出直线y=3,可知抛物线y=x2+2x-10与直线y=3的两个交点的横坐标就是一元二次方程x2+2x-10=3的两个根.由图象可知一元二次方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.推断方法同(1). · · y=3 归纳总结 一元二次方程ax2+bx+c=h的解可以看成是二次函数y=ax2+bx+c-h的图象与x轴交点的横坐标，也可以看成是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h交点的横坐标. 延伸拓展 利用二次函数与一次函数图象求不等式的解集 (1)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,6)和点B(8,3),如右图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集为__________. x<-2 或 x>8 归纳总结 不等式ax2+bx+c>kx+m(a≠0)的解集即为二次函数y=ax2+bx+c的图象在直线y=kx+m上方的点的横坐标的取值范围; 不等式ax2+bx+c<kx+m(a≠0)的解集即为二次函数y=ax2+bx+c的图象在直线y=kx+m下方的点的横坐标的取值范围. 求出抛物线与直线的交点的横坐标是解题的关键. 跟踪练习三 （2）如右下图,二次函数y=ax2+c的图象与直线y=kx+b(k>0)交于N(-2,m),M(1,n)两点(mn<0),则关于x的不等式ax2-kx+(c-b)>0的解集为　　　　. -2<x<1 (1) 二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如右图所示,当y1<y2时,x的取值范围是　　　　_______ . 0<x<1 ┌ 1 课堂小结 一、利用二次函数的图象与x轴的交点解一元二次方程的近似值. 二、利用二次函数的图象与直线的交点解一元二次不等式的解集. ② 当堂检测 1.根据右边表格 的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3<x<3.23 B. 3.23<x<3.24 C. 3.24<x<3.25 D. 3.25<x<3.26 2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如右图的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 C D 当堂检测 3.如右图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是(　　) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为 －5和－1 C 4.利用二次函数 的图象，回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ x y O 2 4 8 x1=2, x2=4 x<2或x>4 2<x<4 ∴x==, ∴x1=-1+≈2.3,x2=-1-≈-4.3. $