第1章 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 培优专题3：解直角三 学 模型一：如图①②③等 a+x 3045° 30° 609 450 609 a a D Aa Dx 抽象能力 ① ② ③ 1.(济宁中考)如图，在一笔直的海岸线1上有相 运算 距2km的A,B两个观测站，B站在A站的正 能力 东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向 上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则 何直观 船C到海岸线1的距离是 km. 北 千东 间观 30 609 4 推理 第1题图 第2题图 能力 2.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角 数 为a,且tana=0.7,向前行进3米到达B处， 念 从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同 一平面内，点A,B,C在同一条直线上，CD⊥ AC),则建筑物CD的高度为 米. 3.如图，飞船点火发射，在发射的过程中，飞船 应 从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位 识 于地面C处的雷达站测得AC的距离是 8km,仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时 意识 测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO. (2)求飞船从A处到B处的平均速度.（结果 精确到0.1km/s,参考数据：W3≈1.73) A 45°3B0> 26 做神龙题得好成绩 三角形的几种基本模型 模型二：如图①②等 C A301 45>B 60 45 a-x D x a-x D x B a ① ② 4.（黄石中考)如图，无人机在空中C处测得地 面A,B两点的俯角分别为60°，45°，如果无人 机距地面高度CD为100√3米，点A,D,B 在同一条水平直线上，则A,B两点间的距离 是 米.（结果保留根号） 60°y1 459 5.（东营中考)如图，C处是一钻井平台，位于港 口A的北偏东60°方向上，与港口A相距 60√2海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东 航行至B时，改变航向以每小时50海里的速 度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西 45°方向，从B处到达C处需要多长时间？ 60° 模型三：如图①②③等 D D 30° D 45 B E 30° B E e 450 a 660° e 660° a+x ① ② ③ 6.(成都中考)某校学生开展综合实践活动，测 量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已 知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置 测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与 点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测 得点M的仰角∠MEC=45°（点A,D与N 在一条直线上)，则电池板离地面的高度MN 约为 米.（结果精确到1米，参考数据： sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65) M 45 0 CIE-B 7.（黄冈中考)如图，两座建筑物的水平距离BC 为40m,从A点测得D点的俯角a为45°，测 得C点的俯角3为60°.求这两座建筑物AB, CD的高度.（结果保留一位小数，参考数据： √2≈1.414，√3≈1.732) 第一章直角三角形的边角关系☑ 模型四：如图①②等 数 B 学 D 养 b 60 4530° Ax ① ② 8.如图是两幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD ⊥BD,AB=15m,CD=20m,AB和CD之 力 间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处 E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为 能 45°（点B,E,D在同一直线上），则两幢建筑物之 间的距离BD约为 m.(结果精确到 0.1m,参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈ 0.74,tan42°≈0.90) 45o 429 推 能力 9.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF, 从楼顶A处经过树顶E恰好看到塔的底部D 点，且俯角a为45°.从距离楼底B点1米的 P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角B为30°.已知树高EF=6米，求塔 CD的高度.（结果保留根号） 识 做神龙题得好成绩27培优专题2：走进四边形解直角三角形 ∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE.设BD 1.B2B3244A59 =x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,.AC= 6.C7.80 AD十DE+CE=2√3x+2x.'AC=30,.2√3x+2x= 8.（1)证明：△ABF≌△CBE,∴.∠ABF=∠CBE ,∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°， 30,解得z=15W5-D≈5.49，即海岛B离此航线的最 2 即∠EBF=90°.(2)解：，△ABF≌△CBE,∠AFB 近距离约为5.49海里. =∠CEB.·∠FGA=∠EGB,∴.∠FAC=∠EBF=90°， 10.解：(1)BG/CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又，∠GBE 正方形ABCD的边长为1，CE=2,∴.AC=√2，AF= =15°，.∠ABE=45°.∠EAD=60°，∠BAC=30°， CR-2nAPC-怨-号 ,.∠BAE=90°，∴.∠AEB=45°，，∴.AB=AE=10W3.故 AE的长为10W3米.(2)在Rt△ADE中，sin∠EAD= 5三角函数的应用 第1课时三角函数在实际问题中的应用(1) DE=103× 2=15.又DF=1,.EF= 1.D 14 14,0.5-28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒， 2.(403+120)3.A 4.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由 第2课时三角函数在实际问题中的应用(2) 题意，得∠CDF=37°，CD=200米，在Rt△CDF中， 1.A2.A sinCDF--需-sn7r=0.60,o∠CDF-2S-as7 3.D 4.(4√3-4) ≈0.80，.∴.CF≈200×0.60=120（米），DF≈200X0.80= 5.3.75[解析]如图，连接BD,作OB A 160(米).AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴.∠B= ⊥CD于点O.∠BCD=60°，AB C ∠DFB=∠DEB=90°，.四边形BFDE是矩形，.BF= 长为4m,C为AB的中点，∴.QC= 0 DE,BE=DF=160米，∴.AE=AB-BE=300-160= 1 140(米).在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE BC=1 m,OB-/30C-/3m.CD AE =tan65°≈ 为xm,则OD=DC-QC=(x一1)m, 地面 2.14,.DE≈140×2.14=299.6（米），∴.BF=DE=299.6米， BD=CD-0.5=(x-0.5)m,OB=√3m,由勾股定理，得 ∴.BC=BF+CF=299.6+120≈420（米），故革命纪念碑 (x-0.5)2=(x-1)2+(W3)2,解得x=3.75.故立柱CD 与党史纪念馆之间的距离约为420米. 的长为3.75m. 门口 6.解：(I):点B为AD'的中点，∴AB=号AD.:AD' 659 40cm,.AB=20cm.(2)如图，过点B作BE⊥AD于 E D人民英雄雕塑 点E.由题知AB=BD,.AD=2AE.,AP平分∠BAC, 37°↑ Bh ∠BAC=140,i∠BAE-号∠BAC=70:在RAABE中，本 革命纪念碑 F 党史纪念馆 AB=20cm,.AE=AB· cos70°≈20×0.34=6.8(cm), 5.D6.(2√3-2√2) .AD=2AE=13.6(cm). 7B[解折]在R△ACD巾，：np-S:AD- AC sinB' 在 .AD'=40cm,.40-13.6 =26.4(cm).故伞圈D沿着 AC Rt△ABC中，，sina= ..AB= AC AC AB sina 伞柄向下滑动的距离约为 sina ,…ADAC 26.4cm sing 7.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,A 二，放选B 延长DE交AC于点M.由题意，得M9E 北 EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29° 8.(70-10√3) 9.解：如图所示，由题意知， 在RADFB中，sns0r-BS则Dr 80° ∠BAC=30°，∠ACB=15°，作 =BD·sin80°，AM=AC-CM= BD⊥AC于点D,以点B为顶 1790-1700×sin80°.在Rt△AME中，sin29°= AM AE,故 点，BC为边，在△ABC内部作 AE=A4=1790-1700×sin80°≈238(m.答：斜坡 sin29 sin29 RAB6r中，mBF-票P=-B装 0.75 AE的长度约为238m. =276.8(m).,CE=8×(15+50)=520(m),∴.AB=CF =CE-EF≈243(m).答：隧道AB的长度约为243m. 8.解：(l),新坡面的坡度为1：√3，.tana=tan∠CAB= 1 北 C160° YD 37°yE 一3，∴a=30.答：新坡面的坡角&为30，(2)文化墙 PM不需要拆除.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=6.:坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 B 1:3,..BD=CD=6,AD=6√3，.AB=AD-BD= 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型 6√5一6<8，.文化墙PM不需要拆除. 1.√52.7 M 3.解：(1)在Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC =8kmA0=号AC=号×8=4(km.(2)在 PAB D Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, 9.解：(1)如图①，过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ ⊥CP于点Q,则PQ=AB=50cm.:∠ABC=143°， 00-AC=45km在R△BC中，∠B0C=90, .∠CBQ=53°，.在Rt△BCQ中，CQ=BC·sin53°≈70 ∠BC0=45°，∴.∠B00=∠OBC=45°，.OB=OC=4W3km, ×0.8=56(cm).,CD∥l,.DE=CP=CQ+PQ=56+ ∴.AB=OB-OA=(4√5一4)km,∴.飞船从A处到B处的 50=106(cm).故手臂端点D离操作台1的高度DE的长 约为106cm.(2)能.理由如下：当点B,C,D共线且点D 平均建度为。a3m/。 在l上时，如图②，BD=BC+CD=70+60=130(cm),AB 4.(100+1003) =50cm.在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2,.AD=120cm 5.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,在点A的正北方向 >110cm,'.手臂端点D能碰到点M. 上取点M,在点B的正北方向上取点N,由题意，得 ∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60√2海里，∴.∠CDA=∠CDB=90°.，'在Rt△ACD .0Q 中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，.CD= ?AC=302海里，：在R△BCD中，∠CBD=∠NBD日 EM MD I ① ② ∠NBC=90°-45°=45°，.BC=√2CD=60海里.，60÷ 50=1.2(小时)，∴.从B处到达C处需要1.2小时. 6利用三角函数测高 M 1.C2.A3.34.4055.12.7 609 6.B7.C8.(20√3-20)9.5.7 10.解：延长AD交FG于H,则四边形ABGH是矩形，AB= CD=GH=35m,AH=BG.设FH=xm.在Rt△AFH 6.8 中，AH=器孟G=DH=击-20，在 7.解：如图，延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE.在 Rt△AED中，AE=BC=40m,∠EAD=45°，'.ED=40m.在 R△F0G中，s5r-器2.1≈+35，=8.7， Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，BC=40m,∴.AB= 1.120 x 403≈69.3(m),则CD=EC-ED=AB-ED=40√3-40 ≈29.3(m).答：这两座建筑物AB,CD的高度分别约为 .FG=FH十GH=84.7+35≈120(m).答：该信号发射 69.3m和29.3m. 塔顶端到地面的高度FG约为120m. 11.解：(1)由题意，得CD=8×15=120(m).在Rt△ACD 中，ADC=2SAC=CD·t6乙ADC=CD· tan60°=120X√3=120√3(m).答：无人机的高度AC是 1203m.(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F,则四边 形ABFC是矩形，∴.BF=AC=120V3m,AB=CF.在 B C 同行学案学练测·13· 8.36.7 P,BG⊥DF于点G,CH⊥BG于点H,则四边形PCHG 9.解：如图，连接EF交PG于点H.由题意，可知∠FED= 是矩形.，∠CBH=60°，∠CHB=90°，.∠BCH=30°. ∠ADB=45°，∴.FD=EF=6米.在Rt△PEH中，，EH .∠BCD=165°，∴.∠DCP=45°，.CH=BC·sin60°= =6-1=5米)，∴ta9-7-品，BF=PH=点 EH 5 10√3cm,DP=CD·sin45°=10√2cm,∴.DF=DP+PG 3 +GF=DP+CH+AB=(10√2+10√3+5)cm, 3 .DE-DF=20√5+5-10√2-10W5-5=10√3-10√2 5√5（米），.PG=BD=BF+FD=(5√+6)米.在 ≈3.2(cm),此时连杆端点D离桌面l的高度减少，减少了 R△P0G中，4-%aG=(65+6)×9-(5+ 3 约3.2cm. 23)米，∴.CD=CG+GD=5+2√3+1=(6+23)米. 答：塔CD的高度为(6十23)米. 田 ① ② 田 培优专题5：生活情境与解直角三角形 1.D[解析]如图，过点C作CO⊥DE于点O,,∠CDE= 培优专题4：生活物品与解直角三角形 B= 45,CD=1.2,.C0=CD·sin∠CDE=3y2 1.92.5cm MN+00+FG,∴FG=3-1.8-32_6_3 555 ,右侧 2.解：(1)如图①，过点C作CH⊥DE于点H.CD=80, ∠c0E-.o0-思--gcH-08 车门开至最大的宽度G的长为（号3号）米放选D 40×1.732=69.28.过点A作AM⊥DE交ED的延长线 于点M,过点C作CN⊥AM于点N,则四边形CNMH为 矩形，.MN=CH,∠NCD=∠CDE=60°.，∠DCB= 80°，.∠ACN=180°-80°-60°=40°.，sin∠ACN= AC,AC=AB-BC=80,…AW=80sin40°≈80X0.643= A A 51.44,.AM=AN+NM=51.44十69.28≈120.7.答：点 2.7[解析]如图，过点C作CH⊥MN于点H在Rt△BCH中， A到直线DE的距离约为120.7mm.(2),AB绕点C 逆时针旋转了10°，∴∠DCB=90°.当点B落在DE上时， :∠CBH=60,BH-号CH,在R△ACH中， 图@.：DC=80,CB=40,∴tan∠CDB=CD-80 '∠CAH=25,AH=CH am25≈2CL.AB=AH 0.5,∠CDB≈26.6°，60°-26.6°=33.4°，.CD旋转的 角度约为33.4°」 BH=2CH-有cH=10,∴CH≈7，点C距公路N 的距离约是7km. 250 60°2 H MD H B E B N ① ③ C 3.解：(1)如图①，作BO⊥DE于点O.·∠OEA=∠BOE= 3.5.5[解析]，四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形， ∠BAE=90°，.四边形ABOE是矩形，∠OBA=90°， ∴.∠M=∠N=∠BAD=90°.在Rt△AMD中，AD=2.5, ∴.∠DB0=150°-90°=60°，.OD=BD·sin60°= 203(cm),∴.DE=OD+OE=OD+AB=20W3+5≈ ∠ADM=35,sn∠ADM=AM=AD· 39.6(cm).故连杆端点D离桌面l的高度DE约为 sin∠ADM≈2.5×0.574=1.435.，∠ADM+∠DAM= 39.6cm.(2)如图②，作DF⊥l于点F,CP⊥DF于点 ∠BAN+∠DAM=90°，∴.∠BAN=∠ADM=35°.在 ·14·同行学案学练测 R△ABN中，AB=5,∠BAN=35,iO∠BAN-A8, 4.(1)520(2)4-41 5.26.A .AN=AB·cos∠BAN≈5×0.819=4.095，.MN= 7.y=4x2+260x+4000 AM+AN=1.435+4.095≈5.5，∴.停车场的宽度MN约 8.y=x(63-4x) 为5.5m 4.解：(1)如图，分别过点A,B作地面的垂线，垂足分别为点 -之nn≥3且为整数105 D,E.在Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.AD= 10.A11.B12.A 20Xsin60°=10√3≈17.32m.在Rt△BEC中，BC=24m, 13.y=2t2-40t+200 ∠BCE=45°，.BE=24×sin45°=12√2≈16.97m. 14.解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变 17.32>16.97,.风筝A比风筝B离地面更高.(2)在 1 化.由题意，得BP=12-2,BQ=4t,S△P=2(12- Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.DC=20X cos60°=10m.在Rt△BEC中，BE≈16.97m,∠BCE= 2t)X4t=-4t2+24t(0<t<6). 45°，∴.EC=BE≈16.97m,.ED=EC-DC≈6.97m,即 15.(1)证明：，矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，.ME 风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m =BE.,四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AD= 2S矩形MrN,.AM-2ME,AE=3BE.(2)解：·篱笆 总长为100m,.2AB+GH+3BC=100,即2AB+ 号AB+3C=10,AB=40-号3C.BC的长度为 45 !60° xm,矩形区域ABCD的面积为ym,y=BC·AB= AC mmmimmm E D (40-号x)=-号2+40z.:AB=AE+BE=4BE, 章末复习 BE=10- 1224等边56， 品>0，解得x<9“y=- 4 6.B7.C8.6.9 9.解：过点A作AF⊥MN,垂足为F,设BF=xcm.,BC= +40(0x<19) 9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF中， 2 二次函数的图象与性质 ∠ABF=∠DBN=35°，∴.AF=BF·tan35°≈0.7xcm. 第1课时二次函数y=士x2的图象与性质 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF=CF· 1.A2.D3.C4.y1<y2<ya5.06.B7.18.C tan22°≈0.4(x十9)cm,.0.7x=0.4(x+9),解得x=12, 9.解：由题意，得y=一2，即-x2=一2，解得x=土√2.√2 ∴.AF≈8.4cm,∴.新生组织处到皮肤的距离约为8.4cm. +|一√21=2√2，.水面的宽为2√2米. 10.解：如图，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作AF⊥CE 于点F,则四边形ABEF是矩形，AB=EF,AF=BE. 10.D11.212.(1)-1,-4(2)4,0 ∠BAC=150°，∠BAF=90°，∴.∠CAF=60°.设AF= 13.2514.22 15.解：(1)函数y=一x2的图象如图所示. x,则AC=2x,CF=√3x.在Rt△ABD中，AB=EF= 2,∠ADB=9°，.BD= AB 2 tan∠ADB-tan9,则DE-BD -3-2 一BE= tange-,CE=EF+CF2+3x. 2 Rt△CDE中，'tan∠CDE=CE, DE,tanl5.6°= 2+3x,解 2 tango 得x≈0.75,2x≈1.5，即保温板AC的长约是1.5米. 抛物线y=-x2与直线y=3x十m都经过点(2，n), .n=-22,n=3X2+m,即n=-4,m=-10.(2)存 「5.67- 在.联立方程组=一x y=3x-10解得 2或2 x=-5 y=-4 则另一个交点的坐标为(-5，-25). 第二章 二次函数 16.解：(1)点O到AB的距离为4m,A,B两点的纵坐 1二次函数 标都是一4，∴.一4=一x2,解得x=士2，.A点的坐标为 1.C2.D3.D (-2,一4)，B点的坐标为(2，一4)，.AB=4m,即城门最