第1章 6 利用三角函数测高-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

/同行学案学练测九年级数学下BS 6利用三 (教材P2 即基础闯关 >>>>>>>>>难度等级基础题 知识点一：测量底部可以到达的物体的高度 1.某校数学兴趣小组用测量仪器测量某大桥的 桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处， 测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）.已知 测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高 度约为()（参考数据：sin41.5°≈0.663， cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885) 45 50米B A.34米B.38米C.45米D.50米 2.[模型观念]（贵港中考）如图，某数学兴趣小 组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树 顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰 角为60°，且A,B,D三点在同一直线上，若 AB=16m,则这棵树CD的高度是( A.8(3-√3)m B.8(3+√3)m C.6(3-√3)m D.6(3+√3)m A459 60>B 4353 D D 第2题图 第3题图 3.(大连中考)如图，建筑物C上有一旗杆AB. 从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A 的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°， 则旗杆AB的高度约为 m.(结果取 整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33) 4.(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼 24做神龙题得好成绩 角函数测高 一23练习) 顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得 乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高度 AB是120m,则乙楼的高度CD是 m. (结果保留根号) B 45口 乙▣ 口 口 楼 楼口 D 300 A mnimmmmm77nmmn 5.（黄石中考)某校数学兴趣小组开展“无人机 测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为 30m,当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部 的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得 旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m.(结果保留一位小数，参考数据： √3≈1.732) B 30° 60 30m 知识点二：测量底部不可以到达的物体的高度 6.（日照中考)日照灯塔是日照的标志性建筑之 一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提 供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的 高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A 的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C 处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC= 15.3m,则灯塔的高度AD大约是()（结 果精确到1m,参考数据：W2≈1.41w3≈1.73) B A.31m B.36mC.42m D.53m 即能力提升>》》>>>>》>>难度等级中等题 7.[空间观念]（益阳中考）南洞庭大桥是南益高 速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践 活动中对此开展测量活动.如图，在桥外一点 A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α，大桥主架的顶端D的仰角为B,已知测 量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时 大桥主架顶端离水面的高度CD为( B A C A,a singfa sing B.a cosa+a cosB C.atana+atanB D.a十a tang tang 8.(孝感中考)如图，在P处利用测角仪测得某 建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的 仰角为45°，点P到建筑物的距离PD为 20米，则BC= 米 60 50°C p45公P M 第8题图 第9题图 9.(锦州中考)如图，山坡上有一棵竖直的树 AB,坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾 器CD,测倾器的顶部C与树底部B恰好在 同一水平线上（即BCMN),此时测得树顶 部A的仰角为50°.已知山坡的坡度i=1：3, 则树AB的高度约为 m.(结果精确 到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈ 0.64,tan50°≈1.19) 10.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形 建筑物ABCD的A,C两点处测得该塔顶端 F的仰角分别为a=48°，3=65°，矩形建筑物 宽度AD=20m,高度DC=35m.计算该信 第一章直角三角形的边角关系了 号发射塔顶端到地面的高度FG.(结果精确 到1m,参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7， tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，os65°≈0.4，tan65° ≈2.1) D B 即培优创新 >>>>>>>>难度等级综合题 11.(本溪中考)如图，某地政府为解决当地农户 网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通 一条东西方向的隧道AB.无人机从点A的 正上方点C,沿正东方向以8m/s的速度飞 行15s到达点D,测得A的俯角为60°，然后 以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达 点E,测得点B的俯角为37°. (1)求无人机的高度AC.(结果保留根号) (2)求隧道AB的长度.（结果精确到1m, 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75，w3≈1.73) 北 CP60%D 37 做神龙题得好成绩25培优专题2：走进四边形解直角三角形 ∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE.设BD 1.B2B3244A59 =x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,.AC= 6.C7.80 AD十DE+CE=2√3x+2x.'AC=30,.2√3x+2x= 8.（1)证明：△ABF≌△CBE,∴.∠ABF=∠CBE ,∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°， 30,解得z=15W5-D≈5.49，即海岛B离此航线的最 2 即∠EBF=90°.(2)解：，△ABF≌△CBE,∠AFB 近距离约为5.49海里. =∠CEB.·∠FGA=∠EGB,∴.∠FAC=∠EBF=90°， 10.解：(1)BG/CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又，∠GBE 正方形ABCD的边长为1，CE=2,∴.AC=√2，AF= =15°，.∠ABE=45°.∠EAD=60°，∠BAC=30°， CR-2nAPC-怨-号 ,.∠BAE=90°，∴.∠AEB=45°，，∴.AB=AE=10W3.故 AE的长为10W3米.(2)在Rt△ADE中，sin∠EAD= 5三角函数的应用 第1课时三角函数在实际问题中的应用(1) DE=103× 2=15.又DF=1,.EF= 1.D 14 14,0.5-28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒， 2.(403+120)3.A 4.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由 第2课时三角函数在实际问题中的应用(2) 题意，得∠CDF=37°，CD=200米，在Rt△CDF中， 1.A2.A sinCDF--需-sn7r=0.60,o∠CDF-2S-as7 3.D 4.(4√3-4) ≈0.80，.∴.CF≈200×0.60=120（米），DF≈200X0.80= 5.3.75[解析]如图，连接BD,作OB A 160(米).AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴.∠B= ⊥CD于点O.∠BCD=60°，AB C ∠DFB=∠DEB=90°，.四边形BFDE是矩形，.BF= 长为4m,C为AB的中点，∴.QC= 0 DE,BE=DF=160米，∴.AE=AB-BE=300-160= 1 140(米).在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE BC=1 m,OB-/30C-/3m.CD AE =tan65°≈ 为xm,则OD=DC-QC=(x一1)m, 地面 2.14,.DE≈140×2.14=299.6（米），∴.BF=DE=299.6米， BD=CD-0.5=(x-0.5)m,OB=√3m,由勾股定理，得 ∴.BC=BF+CF=299.6+120≈420（米），故革命纪念碑 (x-0.5)2=(x-1)2+(W3)2,解得x=3.75.故立柱CD 与党史纪念馆之间的距离约为420米. 的长为3.75m. 门口 6.解：(I):点B为AD'的中点，∴AB=号AD.:AD' 659 40cm,.AB=20cm.(2)如图，过点B作BE⊥AD于 E D人民英雄雕塑 点E.由题知AB=BD,.AD=2AE.,AP平分∠BAC, 37°↑ Bh ∠BAC=140,i∠BAE-号∠BAC=70:在RAABE中，本 革命纪念碑 F 党史纪念馆 AB=20cm,.AE=AB· cos70°≈20×0.34=6.8(cm), 5.D6.(2√3-2√2) .AD=2AE=13.6(cm). 7B[解折]在R△ACD巾，：np-S:AD- AC sinB' 在 .AD'=40cm,.40-13.6 =26.4(cm).故伞圈D沿着 AC Rt△ABC中，，sina= ..AB= AC AC AB sina 伞柄向下滑动的距离约为 sina ,…ADAC 26.4cm sing 7.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,A 二，放选B 延长DE交AC于点M.由题意，得M9E 北 EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29° 8.(70-10√3) 9.解：如图所示，由题意知， 在RADFB中，sns0r-BS则Dr 80° ∠BAC=30°，∠ACB=15°，作 =BD·sin80°，AM=AC-CM= BD⊥AC于点D,以点B为顶 1790-1700×sin80°.在Rt△AME中，sin29°= AM AE,故 点，BC为边，在△ABC内部作 AE=A4=1790-1700×sin80°≈238(m.答：斜坡 sin29 sin29 RAB6r中，mBF-票P=-B装 0.75 AE的长度约为238m. =276.8(m).,CE=8×(15+50)=520(m),∴.AB=CF =CE-EF≈243(m).答：隧道AB的长度约为243m. 8.解：(l),新坡面的坡度为1：√3，.tana=tan∠CAB= 1 北 C160° YD 37°yE 一3，∴a=30.答：新坡面的坡角&为30，(2)文化墙 PM不需要拆除.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=6.:坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 B 1:3,..BD=CD=6,AD=6√3，.AB=AD-BD= 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型 6√5一6<8，.文化墙PM不需要拆除. 1.√52.7 M 3.解：(1)在Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC =8kmA0=号AC=号×8=4(km.(2)在 PAB D Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, 9.解：(1)如图①，过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ ⊥CP于点Q,则PQ=AB=50cm.:∠ABC=143°， 00-AC=45km在R△BC中，∠B0C=90, .∠CBQ=53°，.在Rt△BCQ中，CQ=BC·sin53°≈70 ∠BC0=45°，∴.∠B00=∠OBC=45°，.OB=OC=4W3km, ×0.8=56(cm).,CD∥l,.DE=CP=CQ+PQ=56+ ∴.AB=OB-OA=(4√5一4)km,∴.飞船从A处到B处的 50=106(cm).故手臂端点D离操作台1的高度DE的长 约为106cm.(2)能.理由如下：当点B,C,D共线且点D 平均建度为。a3m/。 在l上时，如图②，BD=BC+CD=70+60=130(cm),AB 4.(100+1003) =50cm.在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2,.AD=120cm 5.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,在点A的正北方向 >110cm,'.手臂端点D能碰到点M. 上取点M,在点B的正北方向上取点N,由题意，得 ∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60√2海里，∴.∠CDA=∠CDB=90°.，'在Rt△ACD .0Q 中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，.CD= ?AC=302海里，：在R△BCD中，∠CBD=∠NBD日 EM MD I ① ② ∠NBC=90°-45°=45°，.BC=√2CD=60海里.，60÷ 50=1.2(小时)，∴.从B处到达C处需要1.2小时. 6利用三角函数测高 M 1.C2.A3.34.4055.12.7 609 6.B7.C8.(20√3-20)9.5.7 10.解：延长AD交FG于H,则四边形ABGH是矩形，AB= CD=GH=35m,AH=BG.设FH=xm.在Rt△AFH 6.8 中，AH=器孟G=DH=击-20，在 7.解：如图，延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE.在 Rt△AED中，AE=BC=40m,∠EAD=45°，'.ED=40m.在 R△F0G中，s5r-器2.1≈+35，=8.7， Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，BC=40m,∴.AB= 1.120 x 403≈69.3(m),则CD=EC-ED=AB-ED=40√3-40 ≈29.3(m).答：这两座建筑物AB,CD的高度分别约为 .FG=FH十GH=84.7+35≈120(m).答：该信号发射 69.3m和29.3m. 塔顶端到地面的高度FG约为120m. 11.解：(1)由题意，得CD=8×15=120(m).在Rt△ACD 中，ADC=2SAC=CD·t6乙ADC=CD· tan60°=120X√3=120√3(m).答：无人机的高度AC是 1203m.(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F,则四边 形ABFC是矩形，∴.BF=AC=120V3m,AB=CF.在 B C 同行学案学练测·13·