1.5　三角函数的应用 1. 6　利用三角函数测高 课件 -2024-2025学年北师大版九年级数学下册

5　三角函数的应用 6　利用三角函数测高 基础· 主干落实 重点· 典例研析 素养· 思维赋能 基础· 主干落实 1.方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 2.利用三角函数测高 类型 关系 结论 测量倾斜角 ∠3=∠_____ 可测得∠3 底部可以到达的物体的高度 MN=AC+AN·_____________ 由AN,AC,∠MCE, 可得出MN 　1 　tan ∠MCE ‹#› 类型 关系 结论 底部不可以到达的物体的高度 MN=+AC 由∠MCE,∠MDE, AC,AB,可得出MN ‹#› 【小题快练】 1.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为( ) A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m D ‹#› 2.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为________米.  　50　 ‹#› 【重点1】与方向角有关的问题 【典例1】(教材再开发·P19“想一想”拓展) (2022·安徽中考)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离. 参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75. 重点· 典例研析 ‹#› 【自主解答】∵CE∥AD,∴∠A=∠ECA=37°, ∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°, ∴∠ABD=90°,在Rt△BCD中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90米,cos ∠BDC=, ∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(米), 在Rt△ABD中,∠A=37°,BD=72米,tan A=, ∴AB=≈=96(米). 答:A,B两点间的距离约为96米. ‹#› 【举一反三】 1. (2022·烟台中考)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B的南偏西40°方向, C在B的南偏东35°方向,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是( ) A.北偏东70° B.北偏东75° C.南偏西70° D.南偏西20° A ‹#› 2. (2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是_____________海里.  　(6+6)　 ‹#› 【技法点拨】 运用三角函数解决实际问题的三个步骤 ‹#› 【重点2】测量物体的高度 【典例2】(教材再开发·P23补充例题)如图,小明先在C处用测角仪测得建筑物AB上一点E的仰角∠EDF=22°,接着他沿着CB方向前进50米到达点G处,再用测角仪测得点A的仰角∠AHF=45°.若AE=100米,∠EFD=90°,CD=GH=1.4米,求AB的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40) ‹#› 【自主解答】由题意得,四边形DCGH和四边形BCDF是矩形, ∴BF=CD=1.4米,DH=CG=50米, 设EF=x米,则AF=EF+AE=(x+100)米, 在Rt△AFH中,∠AHF=45°, ∴∠FAH=45°,∴∠FAH=∠AHF, ∴FH=AF=(x+100)米, ∴DF=DH+FH=(x+150)米, 在Rt△DFE中,∠EDF=22°, ∵tan ∠EDF=tan 22°==, ∴x≈0.4(x+150),解得x=100,∴EF=100米, ∴AB=AE+EF+BF=100+100+1.4≈201(米). 答:AB的高度约为201米. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·岳阳中考)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是________米(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,tan 21.8° ≈0.400 0).  　9.5　 ‹#› 2.(2023·怀化中考)为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A,B,C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD.(≈1.732,结果保留一位小数) ‹#› 【解析】由题意得:AM=BN=CE=1.5 m,AB=MN=35 m,∠DEM=90°,∠DNE=60°,∠DME=30°, ∵∠DNE是△DMN的外角, ∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°, ∴∠DMN=∠MDN=30°, ∴DN=MN=35 m,在Rt△DNE中,DE=DN·sin 60°=35×=(m), ∴DC=DE+CE=+1.5≈+1.5≈31.8(m). 答:烈士纪念碑的通高CD约为31.8 m. ‹#› 【技法点拨】 测量物体高度常见的图形 图形 等量 关系 AE=BC·tan α+BD AG=+BE AD= ‹#› 【知识关联】——测量物体的高度 素养· 思维赋能 方法 关系 原理 测角仪测量法 AB=GE·tan α+FG-BE AB=EC·tan β+FG-BE 解直角三角形 ‹#› 方法 关系 原理 平面镜测量法 AB=-BE 三角形相似 ‹#› 方法 关系 原理 影子测量法 AB=-BE 同一时刻, 物体的高度 与影长成正比 ‹#› 【解决问题】 1.如图所示进行测量,计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度,为什么? 【解析】因为测量的CE和PM不是同一时刻的两个物体的影长. ‹#› 2. 如图测量的数据α为53°,β为45°,CD=FG=1.5米,BE=0.5米,CG=14.79米,请计算出旗杆的高度AB.(结果保留两位小数.参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60, tan 53°≈1.33) ‹#› 【解析】连接DF交AB于点H, ∵FG⊥CG,DC⊥CG,∴FG∥CD, ∵FG=DC,∴四边形FGCD是矩形,∴DF=CG,DF∥CG,∴DF⊥AB,在Rt△AHF中, ∵tan α=tan 53°=≈1.33, ∴FH≈0.75AH, 在Rt△ADH中,∵tan β=tan 45°==1, ∴DH=AH,∵CG=14.79米, ∴DF=FH+DH=0.75AH+AH=14.79,解得AH≈8.45, ∴AB=8.45+1.5-0.5=9.45(米), 答:旗杆的高度AB约为9.45米. ‹#› 本课结束 ‹#› $$