1.5 三角函数的应用 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第6课 三角函数的应用 　　1． 如图，射线OA的方向是 ⁠度． 北偏东60 　　2． (1)如图，抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看 点A的仰角为 °； 　　(2)如图，低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B 的俯角为 ⁠°. 33 70 　　知识点1 解决与方位角有关的问题 　　1． 【例1】(人教九下P76【例5】)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多 远？(结果取整数)提示： sin 25°≈0. 42， cos 25°≈0. 91， sin 34°≈0. 56， cos 34°≈0. 83. 　　解：由题意，得∠APC＝90°－65°＝25°，∠B＝34°，PA＝80 n mile. 　　在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∴ cos ∠APC＝ . 　　∴PC＝PA· cos 25°≈80×0. 91＝72. 8(n mile)． 　　在Rt△BPC中，∠BCP＝90°，∴ sin B＝ . 　　∴PB＝ ＝ ≈130(n mile)． 　　答：B处距离灯塔P大约130 n mile. 　　2． (2024大庆)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直 的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续 行驶1 500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南 偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1米，参考数据： ≈1. 73) 　　解：如图，分别过点C，D作l的垂线，垂足分别为F，E. 　　∴四边形CDEF是矩形． 　　∴CF＝ED，CD＝EF. 　　依题意，得∠CBE＝60°，∠CAB＝30°. 　　∴∠ACB＝∠CBE－∠CAB＝30°. 　　∴∠CAB＝∠ACB. ∴AB＝BC＝1 500米． 　　在Rt△BCF中，CF＝BC· sin ∠CBF＝1 500× ＝750 (米)， 　　BF＝BC· cos ∠CBF＝1 500× ＝750(米)． 　　在Rt△BED中，BE＝ ＝ ＝ED＝CF＝750 (米)． 　　∴CD＝EF＝BE－BF＝750 －750≈750×(1. 73－1)≈548(米)． 　　答：大桥CD的长度约为548米． 　　知识点2 解决与仰角、俯角有关的问题 　　3． 【例2】(人教九下P75【例4】)如图，热气球的探测器显示，从热 气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球 与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)提示： ≈1. 73. 　　解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝120 m． 　　在Rt△ABD中，tan α＝ ，∴BD＝AD·tan α＝120× ＝40 m． 　　在Rt△ACD中，tan β＝ ，∴CD＝AD·tan β＝120× ＝120 m． 　　∴BC＝BD＋CD＝40 ＋120 ＝160 ≈277(m)． 　　答：这栋楼高约277 m． 　　知识点3 解决与坡度、坡角有关的问题 　　4． 【例3】如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯形，坝顶BC＝6 米，坝高BE＝9米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1∶ ， 求斜坡CD的坡角及坝底AD的长． 　　解：如图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE＝9，EF＝BC＝6. 　　∵斜坡CD的坡度为1∶ ，∴tan D＝ . ∴∠D＝30°. 　　∵tan D＝ ＝ ＝ ，∴DF＝9 . 　　∵∠A＝45°，BE＝9，∴AE＝BE＝9. 　　∴AD＝AE＋EF＋DF＝9＋6＋9 ＝15＋9 (米)． 　　答：斜坡CD的坡角为30°，坝底AD的长为(15＋9 )米. 　　1． 如图，有一斜坡AB的长为60 m，坡顶离地面的高度为30 m，则 斜坡的倾斜角是 ⁠． 30° 　　2． 如图，从地面上的点C看树顶的仰角为37°，BC＝20米，则树 的高AB约为 米．(参考数据： sin 37°≈0. 60，tan 37°≈0. 75) 15 　　3． 如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC， 并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一 水平面上，其长度为75 m，请求出热气球离地面的高度．(参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ) 　　解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ACD中，tan ∠ACD ＝ ， 　　∴CD＝ ＝AD. 　　在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝ ， 　　∴BD＝ ≈ AD. 　　由题意，得AD－ AD＝75. 解得AD＝300. 　　答：热气球离地面的高度是300 m． 　　4． (2025上海市模拟)如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地 面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好 铺满整个台阶(含各级台阶的高)，那么斜坡AB的坡比是(　B　) A． i＝1∶1. 5 B． i＝1∶2 C． i＝1∶3 D． i＝1∶3. 5 B 　　5． (北师九下P21习题T3改编)某燕尾槽示意图如图所示，它是一个轴 对称图形，AE＝50 mm，则燕尾槽的里口宽BC的长 为 ⁠mm. 188+ 　　6． 创设情境 如图，小明家C楼在小区东门A点南偏西25°方向160 m处，小明从东门A点出发沿南偏西55°方向到快递点B取快递后，沿南 偏东20°方向直接回家，若小明从小区东门A点回到家总共用时6 min(其 中包含取快递用时1 min)，则小明回家行走过程中的平均速度约 为 m/min. (结果取整数．参考数据： ≈1. 73， ≈1. 41) 40 $$