第1章 4 第3课时 解简单的斜三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系☑ 第3课时 解简单的斜三角形 (教材P16~17练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点三：构造直角三角形求面积 知识点一：在三角形内部构造直角三角形解斜三 7.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 角形 和△DEF,数据如图，如果把小敏画的三角形 1.等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm,则它 面积记作S△ABC,小颖画的三角形面积记作 的底边长是( S△DEF,那么你认为( ) A.√3cm cn D C.2 cm D.2√3cm /50° 130 E 4 2.如图，在△ABC中，AB=6,AC=5√3，∠A= A.S△ABC>SADEF B.S△ABC<S△DEF 30°，则B点到AC的距离为 tanC C.SAAIC-SADEF D.不能确定 的值为 8.小明用一块含30°角的直角三角尺在已知线 段AB上作出△ABC,如图①②所示.若AB= 6,则△ABC的面积为 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，AC=2,∠A=45°，tanB= 是，则BC的长为 ① ② 9.某零件的截面如图所示（阴影部分），已知四 知识点二：在三角形外部构造直角三角形解斜三 角形 边形AEFD为矩形，点B,C分别在EF,DF 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=15°，BC= 上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm, BC=6cm,求该零件的截面面积.（参考数据： 22,则AB的长是( sin53°≈0.80，cos53°≈0.60) A.√2 B.2 C.4 D.6 5.在△ABC中，∠A=120°，AB=4,AC=2,则 sinB的值是() A招 R C.v 7 D.V2 14 6.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4,tanB 日则BC的长为 做神龙题得好成绩 15 了同行学案学练测 九年级数学下BS 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 思想3：建模思想 12.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点 素养提升微专题 【数学思想在解直角三角形中的应用】 C,使DC-BD,连接AC,若anB= 3, 思想1：分类讨论思想 求tan∠CAD的值. 10.在△ABC中，AB=12√2，AC=13,cosB= 号求BC的长 思想2：转化思想（将非特殊角转化为特殊角） 思想4：方程思想 11.[创新意识]如图，在四边形ABCD中，对 13.[运算能力]如图，在△ADC中，∠A=30°， 角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°， ∠ACD=90°，点B在AC上，∠DBC= ∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=√2，BE= 45°，点E在BC的延长线上，且AB=2, 22.求CD的长和四边形ABCD的面积. CE=3,过点E作EF⊥AE于点E,交BD 的延长线于点F,求EF的长， 16做神龙题得好成绩 第一章直角三角形的边角关系☑ 即培优创新 >>>>》>》>>>难度等级综合题 15.一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延 14.[应用意识]阅读下面材料： 长线上，AB∥CF,∠F=∠ACB=90°，∠E 小红遇到这样一个问题：如图①，在四边形 30°，∠A=45°，AC=12W2,求CD的长 ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB= 4√3，BC=√3，求AD的长.小红发现，延长 AB与DC相交于点E,如图②，通过构造 D C Rt△ADE,经过推理和计算能够使问题得到 解决，过程如下： 在△ADE中，∠A=90°，∠D=60°，∴.∠E= 30°. 在Rt△BEC中，∠BCE=90°，∠E=30°， BC=√3，∴.BE=2BC=2√3，∴.AE=AB+ BE=4√3+23=6√3. 在Rt△ADE中，∠A=90°，∠E=30°，AE= 6/3,AD-AE.tanE-6/3x3-6. 3 参考小红思考问题的方法，解决问题：如 图③，在四边形ABCD中，tanA=2,∠B ∠C=135°，AB=9,CD=3,求BC和AD 的长 做神龙题得好成绩（17AB-//5(cm)sin 4W3.(2)∠C=90°，∠B=45°，∴∠A=90°-∠B=45. c=8,.a=b=c·sinB=8Xsin45°=4W2. 君-25A-是-2 15解：I):在R△ABC中，nC=号，nC= 4·又 10.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+十c2,所以△ABC为 ,AC=8,AB=6.(2)如图，过点D 直角三角形，且∠A为直角，所以sinB=b=12 作DE⊥BC于点E.,BD平分∠ABC, a13 DA⊥AB,DE⊥BC,.DA=DE.设 11.解：(1)在Rt△ABC中，c=√a2+b=√102+(103)2 DA=DE=x.在Rt△ABC中，：AB= =0mA=号-05-9A=30,∠B=w 6,AC=8,.BC=√62+82=10. B 1 1 -30°=60.(2)在Rt△ABC中，b=√c2-a= SM=2X6Xx+2X10Xx-2X6X8,..=3, √()-2-25.：s4-=22-5 3 c46 2， AD=8在R△ABD中，可得m乙ABD=铝=号 3 ∴.∠A=60°，∠B=90°-60°=30° 16.解：(1)①在△ABC中，，AD是BC边上的高，∴∠ADB 2得：在△MD中，m∠0-%-看=要 =∠ADC=90°.在△ADC中，：∠ADC=90°，∠C= 45°，AD=1,.DC=AD=1.在△ADB中，∠ADB= ∠CAD=30°，.∠CAB=60°，.∠B=30°.在 Rt△ACB中，AB=AC 6 90,sB=3,AD=1.AB=品=3，BD sinB 1 =12,.BC= 2 WAB2-AD=2√2，∴.BC=BD+DC=2√2+1. VAB2-AC=V√122-6=6√5. ②：AE是BC边上的中线，CE=合BC=E+2, 13.解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 6=35ae=号，7h- 23, aDE=cE-D=E-专im∠DAE=gS 4_35=3, (2)①如图，过点A作AE a=33,∴tanA=6=3 -合 B ∴∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=90°- ⊥BC于点E.:osC=2 2 60°=30°，.c=2b=6. ∴∠C=45°.在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1,∴.AE 14.解：如图，连接AC.在△ABC中，，∠B=90°，AB= 2√3cm,BC=2cm,.AC=√AB2+BC=4cm.在 =CE=1在AABE中，mB=日，即能-号BE △ACD中，AC2+CD2=42+32=25,AD2=25,.AC2+ =3AE=3,∴.BC=BE+CE=4.②：AD是△ABC的 CD2=AD2,.∠ACD=90°，A 中线，CD=号BC=2DE=CD-CE=1=AE.又 ∴.S四边形ABCD=S△AB十S△ACD= AB,BC+号AC.D=7× ·AE⊥BC,∠ADC=45,simn∠ADC= 第3课时解简单的斜三角形 2g×2+2×4×3= (2√3+6)cm2. 1.D2.33.而4C,D 第2课时已知一边一锐角解直角三角形 6.16一2√3[解析]如图，过点A 1.D2.D3.2√7 作AD⊥BC,交BC的延长线于 4.獬：∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=45°.在Rt△ABC中， 点D.在Rt△ADC中，AC=4,B ints sinA=a 8V2c0s45 a 8/a= b ∠ACD=30∴AD=2AC=2,CD=AC·cos30=4X b=8. 5.D6.207.662 -25.在R△ABD中，mB品-品=名BD 2 8.C9.610.2411.30°12.B13.12 =16,∴.BC=BD-CD=16-2√3. 14.解：(1)∠C=90°，∠A=30°，∠B=90°-∠A=60° 7.C a-4,c-品-是-86-云-v俗-平- 8.3√3[解析]如图，作CD⊥AB,垂足为D,由题意易知 ∠A=∠B=30°.又，CD⊥AB,.AD=DB.,AB=6, ·12·同行学案学练测 .AD=3.在Rt△ACD中，CD= AB=3x,.'.CE= 3 AD·taA=3,:∴SAe=2AB· ,DE=点x ,AE=AD+DE= 1 CD=2×6x-3w5. x,…tan∠CAD=CE=1 15 A= D 13.解：设BC=x.∠DBC=45°，EF⊥AE,.EF=BE,BC 9.解：由题意知，AD∥EF,所以∠ABE=∠BAD=53°.因为 ∠ABC=90°，所以∠CBF=37°，所以∠BCF=53°.在 DC.AC=2+2.nA=AG2+x=3,= Rt△ABE中，AE=AB·sin∠ABE≈10×0.80=8，BE= 3+1,∴.EF=√3+4. AB·cos∠ABE≈10X0.60=6.在Rt△BCF中，BF=BC· 14.解：如图，延长AB与DC相交于点E.,∠ABC=∠BCD sin∠BCF≈6X0.80=4.8,CF=BC·cos∠BCF≈6X =135°，.∠EBC=∠ECB=45°， B 0.60=3.6,所以EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以 ∴.BE=CE,∠E=90°.设BE=CE= C S四边形ABD=S矩形AEFD一S△ABE一S△BF=AE·EF x,则BC=√2x,AE=9+x,DE=3+ A 3AE·BE-BF.FC=8X10,8-号×8X6-号× x.在Rt△ADE中，∠E=90°，tanA 1.DE1 4.8×3.6=53.76.故该零件的截面面积约为53.76cm2. =2AE2即=2，x=3.经检验，x=3 10解：o=号，i∠B=5当△ABC为钝角三角形 是所列方程的解，且符合题意，∴.BC=3√2，AE=12,DE =6,.AD=V√AE2+DE=√122+62=65. 时，如图①，过点A作AD⊥BC的延长线于点D.AB 15.解：如图所示，过点B作BH⊥FC于点H.AB∥CF, =122,∠B=45°，∴.AD=BD=12.AC=13,∴.由勾 ∠A=∠ABC=45°，∴.∠BCF=45°. 股定理，得CD=√AC-AD=5,.BC=BD-CD= AC=BC=12/2,..BH=HC=12. B 12-5=7;当△ABC为锐角三角形时，如图②，过点A作 在Rt△BHD中，∠BDH=6O°， AD⊥BC于点D.同理可得AD=BD=12,CD=5,.BC =BD+CD=12+5=17.综上所述，BC的长为7或17. :.DH-BH-12-43,:CD- tan60°√3 FH D C CH-DH=12-43, 培优专题1：求锐角三角函数值的常用策略 3 1. ① 2.解：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,OA=OC,OB= 11.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.·∠CED=45°， OD,.'.OA=OC=OB=OD..'BE=2,DE:BD=4:5, DH⊥AC,DE=√2，∴.DH ∴.DE=8,BD=10,.OE=3,OC=5.CE⊥BD, =EH=DE·cos45°=√2X ∠CEO=90°.在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE= 2 =1.又∠DCE=30°， V6-3=4aw-8器=是. B ..HC=DH tan30*=3,CD= 3号 4.D 2DH=2.,∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE= 5.解：如图，过点A作AE⊥L5,垂足为点E,交12于点F,则 2/2,..AB=AE=2,..AC=AE+EH+HC=2+1+ ∠AFD=∠AEB=90°.，直线L1∥L2∥L3L4∥L,相邻两 条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD的三个顶点 1 V3=3十V3,.S网边形AD=SAc十SAAc=2AB·AC 都在平行直线上，∠ABC=90°，∴∠BAE十∠EAD=90, +号A,DH=2×2×3+5)+7×(3+5)×1 ∠ADF+∠DAF=90°，∠Q=∠ADF,∴.∠BAE= -3V3+9 ∠ADF,△ABEO△DAP.:AB=3AD,铝-=3= 2 架设AE=,则DF=音，AF=y,AD= 12.解：如图，作CE⊥AD交AD √AF2+DF= 5 的延长线于点E,则∠CED= AF 3 ,sina-AD-5 90°.又∠BAD=90°， ∠ADB=∠CDE,.△CDE ∽△BDA.DC= 2 BD, 需器品公mB-号设A0-5则