1.4 解直角三角形 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.4解直角三角形》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线、交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某型号电动车开门时，车门与车身的最大展开度数，若车门宽度，则司机恰好进入车体时他身体的宽度的最大值约为（结果精确到0.1米，参考数据：，，）（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中,,,,则的长等于 ． 9．已知点P位于第一象限内，，且与y轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 ． 10．已知等腰三角形的底边长为12，一个内角的正切值为，此三角形的面积为 ． 11．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 12．如图，在菱形中，点分别是的中点，连接．且，，则的长为 ． 13．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 14．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ． 三、解答题 15．（1）在中，，，，求的三个三角函数值． （2）如图，在中，，，，求解这个三角形． 16．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（角度精确到）． 17．如图中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 18．月日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，．（参考数据：，，，，） (1)求机械臂端点C到工作台的距离的长；（结果精确到） (2)求的长．（结果精确到） 19．如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 20．如图，在中，，，；点为上的一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)的长 ； (2)当是等腰三角形时，求的面积； (3)当点到边的距离是点到边的距离的2倍时，直接写出的值； (4)作点关于边的对称点，连结，当垂直于的边时，请直接写出的长． 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是锐角三角函数，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义，结合已知条件求出边的关系． 【详解】解：如图，在中，， ， ， 故选：． 2．B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角比等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活应用． 利用菱形对角线的性质得出的度数，再利用特殊角的三角比求出长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故选：B． 4．D 【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得 ，进而根据得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵对角线的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， 解得：， 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是解题的关键． 5．D 【分析】过点作交于点，根据，得到，在直角中，根据锐角三角函数即可得到，进而得到． 【详解】解：过点作交于点，     ， 为等腰三角形， ， ， 在直角中， （cm）， （cm）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键． 6．D 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了坐标与平移，点的平移，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，再根据菱形的性质以及解直角三角形求出，然后再根据点的平移方式求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到， 故选：C． 8． 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形．从条件入手,熟知三角函数各边与正弦余弦的关系是解决本题的关键． 【详解】解:∵,, ∴设,则, ∵, ∴,即, ∴． 9． 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与y轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 10．48或72 【分析】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，根据题意画出草图，利用一个内角的正切值为，分以下两种情况讨论，①当这个内角为底角时，②当这个内角为顶角时，利用三角函数结合等腰三角形性质，以及勾股定理建立等量关系，求出三角形的底和高，即可解题． 【详解】解：设这个内角为， ①当这个内角为底角时，则，如图所示：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设，， ∵ ， 解得， ， 三角形的面积为：； ②当这个内角为顶角时，则，如图所示：过点作于点 ， 设，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 三角形的面积为：； 综上所述，三角形的面积为48或72． 故答案为：48或72． 11． 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 延长相交于点，过点作于点，设，则，证明和全等得，再证明和全等得，则，解得，进而得，然后在中由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：延长相交于点，过点作于点，如图所示： ∵点是的中点， ∴设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得，则，进而根据即可求解． 【详解】解：作于，则，， 根据题意得， ， ． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正切函数等，能熟练利用勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．在中，，，延长到点，使，连接，结合等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（1），，；（2），， 【分析】本题考查解直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）先利用勾股定理求得c，再根据锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据勾股定理求解，再利用正弦定义和特殊角的三角函数值求得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ， ； （2）如图，在中，，，， ∴， ∴， ∴，则． 16．(1)， (2)，， 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义． （1）通过的正弦值求出的度数，以及的长，再通过直角三角形两个锐角互余求出，通过勾股定理求出线段的长； （2）通过的正切值求出的度数，再通过直角三角形两个锐角互余求出，再通过的正切值设未知数结合勾股定理求出线段和的长度． 【详解】（1）解：在Rt中， ， ． （2）解： ∴， ， ， ∴可设，则， 在Rt中，有， 即，解得（负值已舍去）， ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． （1）过点B作于点E，过点B作于点F，过点A作于点G，可知四边形是矩形，四边形是矩形，根据，，利用锐角三角函数的定义即可求出、的长度； （2）利用锐角三角函数的定义可求出的长度，再根据勾股定理可求的长度，从而可求出的长度． 【详解】（1）解∶ 过点B作于点E，过点B作于点F，过点A作于点G， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形． ，，，米． ，． ，． 米， 米． 在中，， （米） 米 (米) 答∶机械臂端点C到工作台的距离的长米． （2）在中，由勾股定理可知∶(米) 在中，由勾股定理可知∶(米) 米， 米 答∶的长为米． 19．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用计算m即可； （2）设，则，再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可． （3）设，可得，，，结合为等腰三角形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数为， ∵，， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． （3）解：∵点是轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴，解得：， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 20．(1)8 (2)的面积为或； (3)的值为或； (4)的长为或或． 【分析】（1）利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可； （2）分当和时两种情况讨论，作于点，利用三角函数的定义分别求得的长，再利用三角形面积公式求解即可； （3）过点作直线垂直于，交于点，过点作直线垂直于直线，交于点，交直线于点，作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，分点在直线上方和点在直线下方两种情况讨论，即可求解； （4）分三种情况讨论，同理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：8； （2）解：当时，作于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的面积； 当时，作于点， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或； （3）解：过点作直线垂直于，交于点，过点作直线垂直于直线，交于点，交直线于点，作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当点在直线上方时， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵点到边的距离是点到边的距离的2倍， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当点在直线下方时， 同理，四边形是正方形， ∵点到边的距离是点到边的距离的2倍， ∴， ∴，即，， ∴； 综上，的值为或； （4）解：设直线交直线于点，作于点，作于点， 当垂直于时，同理，四边形是正方形， 设，则，，， 同理可证， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当垂直于时，过点作直线垂直于，交于点，交于点， 同理，四边形是正方形， 设，则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 同理，， ∵， ∴， 解得， ∴， 当垂直于时，此时点与点重合， ∴， 综上，的长为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $