第1章 4 第1课时 已知两边解直角三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

同行学案学练测 .tanl5°=tan∠AMD= AD 2 MD4+23 =2-√3≈0.3. 参考答案 B M 九年级数学下BS ① ② 第一章直角三角形的边角关系 第2课时正弦与余弦 1.D2.A3.A4.C 1锐角三角函数 5.解：DE⊥AB,∴∠B+∠BDE=90°.：∠ACB=90°， 第1课时正切与坡度 ∴∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠A.在Rt△ABC中，AC 1.A2.B3.2-1 =VAB2-BC=8,∴sin∠BDE=sinA=3 ,COs∠BDE 4.解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，.tanB AC BC,.BC= =COsA= 5,tan∠BDE=tanA=3 4 AC=6=65,AB=VBC+AC=√(63)+6 tanB√3 6.A Z解：I在R△ABC中，snB铝-专AC=台AB =12. 5A6.127.1DB(2A3B8.C9号 -8(②)：mA-8C-是，设AC=4红，BC=3由 勾股定理，得(3x)2+(4x)2=102,解得x=2,.AC=8. 10.解：四边形ABCD是菱形，ACLBD,0A=合AC &D9B10.ID(2A1.号 AC=4,0A=2.:E为AD的中点，0E=号AD, 12.解：在矩形ABCD中，，BC=AD,AD∥BC,∠B=90°， ∠DAF=∠AEB.:DF⊥AE,AE=BC,∠AFD= .OE=2,.AD=4,.OD=√AD2-OA=√42-2 90°，AE=AD,△ABE≌△DFA(AAS),∴.AB=DF= =2m0-品2得 6.在Rt△ADF中，AF=√AD2-DF2=√I02-6= 8,.EF=AE-AF=AD-AF=2.在Rt△DFE中， 11.解：如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是△ABC的 ,DE=√DF2+EF=√62+2=2√I0,∴.sin∠EDF 中线.设AB=EC=2a,则AE=EB=a,AC=√3a, EF_√1O ADC--S-复.如图@，在R△ABC中，∠A= =DE=10 13.解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D.,sin∠AOC= 90°，BE是△ABC的中线.设EB=AC=2b,则AE=EC AD 4 =b,心AB=J3b,tan∠ABC=AC=23 AO5,OA=5,AD=4.在R△AOD中，由勾股定 AB 3 理，得DO=3.·点A在第一象限，.点A的坐标为(3,4)， 将（3,0代入y=得4=号m=12,该反比例函 数的表达式为y是将8，)代人y=u+2,得m=号， ÷一次函数的表达式为y=号x十2.(2在y=号x十2 ①D ② 中，令y=0,即子x+2=0,=-3,点B的坐标是 12.解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点 D.:∠ACB=150,∴∠ACD=30,AD=2AC=2, (-3,0),0B=3.又：AD=4,SAm=2OB·AD CD=√AC2-AD=√42-22=23.在Rt△ABD中， 2×3X4=6. m8-品品-日BD=16BC=BD-CD= 16-2√3.(2)如图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延 长线于点D,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接 AM.,∠ACB=150°，.∠AMC=∠MAC=15°， 230°，45°，60°角的三角函数值 岁=30/3+2z-号，z=150=603,BD CE 1(1C(2)A2.A3.A411(2)号 50W3+3x 5.C6C (150-60√3)m,DE=(150√3-180)m,AE=(300 1 7.C8.D9.2 10.C 90月)m,AC=AE·mE=(300-0月)x9- 11.解：：BC⊥AC,.∠BCA=90°.在Rt△ABC中， “m∠BAc=Ae,∴BC=AC,tm∠BAC=12X 1 (100√3-90)m,.Sm动影AB=SAAE一SamE=2X(1003 ama0r=12xX-45(米， -90)×(300-90,5)-2×(150-605)×(1505- 180)=2400√3(m2). 12.B13.A14.丁 方法三：如图③，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点 15.解：能.理由：：△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°， E,作AF⊥CD于点F.:∠ABD=120°，∴∠ABE=60°， ÷∠B=∠C180,120°=30.过点A作ADLBC于点 2 ∠BAE=30°..AB=30√3m,AE=AB·sin∠ABE =45m,BE=AB·sin∠BAE=15√3m.由题意，知四边 D,∴BD=AB·cosB=12X=6V3(cm),BC=2BD 形AEDF为矩形，.FD=AE=45m,.CF=CD-FD= 12√3≈20.8cm>20cm,∴.能画出一个半径为20cm的圆. (503-45)m..'AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=60°，.AF=CF·tan∠ACD=(150-453)m, .S阳边形ACDB=S四边形ADE一SABE=2(45十50V3)(150一 B D C 16.解：设AD=xm.,AD⊥BD,∠ACD=45°，.CD=AD 453)-2×153×45-240v5(m). =xm.在△ADB中，AD⊥BD,∠ABD=30°，.AD= 月D,即z-(16+,解得x=8v5+8∴AB=2D -=(163+16)m,.钢索AB的长度为(163+16)m 3三角函数的计算 D ③ 1.D2.A3.D4.>5.A6.D7.A8.11.9 9.解：方法一：如图①，延长CA,DB交于点P.∠ABD= 4解直角三角形 120°，AB⊥AC,BD⊥CD,.∠C=60°，∠PBA=60°.在 第1课时已知两边解直角三角形 RACDP中，anC-器.iPD-(D·nC-50v5X5 1.C2.C3.D4.3 5.解：已知∠C=90°，a=5,c=5√2，由勾股定理，得b= =150Cm.在△PAB中，mPBA-器PA=AB· Vc-a=√(62)2-52=5.：sin4=a-5=2 tan∠PBA=30V3X√3=90(m)..S四边形AcB=S△rD c5√22， ∠A=45°，∠B=90°-45°=45°. SAe=7×150X505-7×30w3X90=240w5(m). 6.B 7.A[解析]，∠ACB=90°，AC=√5，BC=2,.根据勾股 定理，得AB=V√AC2+BC=√(W5)2+22=3.:CD⊥ AB,∴∠ADC=∠ACB=90°，∴.∠A+∠ACD=∠A+ ∠B=90,∠ACD=∠B,.sim∠ACD=sinB=A9 AB B 3· E 8.解：：AC=√6，BC=√2，∠C=90°，AB=√AC2+BC ① ② 方法二：如图②，延长AB,CD交于点E.:∠ABD=120°， --瓜-2E.A-聚-语-停A ∠DBE=60°.又BD⊥CD,∴.∠E=30°.设BD= 30°，∠B=90°-30°=60°. xm,则BE=2xm,DE=√3xm.在Rt△CAE中，cosE= 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm,BC=2cm, 同行学案学练测·11· AB-//5(cm)sin 4W3.(2)∠C=90°，∠B=45°，∴∠A=90°-∠B=45. c=8,.a=b=c·sinB=8Xsin45°=4W2. 君-25A-是-2 15解：I):在R△ABC中，nC=号，nC= 4·又 10.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+十c2,所以△ABC为 ,AC=8,AB=6.(2)如图，过点D 直角三角形，且∠A为直角，所以sinB=b=12 作DE⊥BC于点E.,BD平分∠ABC, a13 DA⊥AB,DE⊥BC,.DA=DE.设 11.解：(1)在Rt△ABC中，c=√a2+b=√102+(103)2 DA=DE=x.在Rt△ABC中，：AB= =0mA=号-05-9A=30,∠B=w 6,AC=8,.BC=√62+82=10. B 1 1 -30°=60.(2)在Rt△ABC中，b=√c2-a= SM=2X6Xx+2X10Xx-2X6X8,..=3, √()-2-25.：s4-=22-5 3 c46 2， AD=8在R△ABD中，可得m乙ABD=铝=号 3 ∴.∠A=60°，∠B=90°-60°=30° 16.解：(1)①在△ABC中，，AD是BC边上的高，∴∠ADB 2得：在△MD中，m∠0-%-看=要 =∠ADC=90°.在△ADC中，：∠ADC=90°，∠C= 45°，AD=1,.DC=AD=1.在△ADB中，∠ADB= ∠CAD=30°，.∠CAB=60°，.∠B=30°.在 Rt△ACB中，AB=AC 6 90,sB=3,AD=1.AB=品=3，BD sinB 1 =12,.BC= 2 WAB2-AD=2√2，∴.BC=BD+DC=2√2+1. VAB2-AC=V√122-6=6√5. ②：AE是BC边上的中线，CE=合BC=E+2, 13.解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 6=35ae=号，7h- 23, aDE=cE-D=E-专im∠DAE=gS 4_35=3, (2)①如图，过点A作AE a=33,∴tanA=6=3 -合 B ∴∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=90°- ⊥BC于点E.:osC=2 2 60°=30°，.c=2b=6. ∴∠C=45°.在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1,∴.AE 14.解：如图，连接AC.在△ABC中，，∠B=90°，AB= 2√3cm,BC=2cm,.AC=√AB2+BC=4cm.在 =CE=1在AABE中，mB=日，即能-号BE △ACD中，AC2+CD2=42+32=25,AD2=25,.AC2+ =3AE=3,∴.BC=BE+CE=4.②：AD是△ABC的 CD2=AD2,.∠ACD=90°，A 中线，CD=号BC=2DE=CD-CE=1=AE.又 ∴.S四边形ABCD=S△AB十S△ACD= AB,BC+号AC.D=7× ·AE⊥BC,∠ADC=45,simn∠ADC= 第3课时解简单的斜三角形 2g×2+2×4×3= (2√3+6)cm2. 1.D2.33.而4C,D 第2课时已知一边一锐角解直角三角形 6.16一2√3[解析]如图，过点A 1.D2.D3.2√7 作AD⊥BC,交BC的延长线于 4.獬：∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=45°.在Rt△ABC中， 点D.在Rt△ADC中，AC=4,B ints sinA=a 8V2c0s45 a 8/a= b ∠ACD=30∴AD=2AC=2,CD=AC·cos30=4X b=8. 5.D6.207.662 -25.在R△ABD中，mB品-品=名BD 2 8.C9.610.2411.30°12.B13.12 =16,∴.BC=BD-CD=16-2√3. 14.解：(1)∠C=90°，∠A=30°，∠B=90°-∠A=60° 7.C a-4,c-品-是-86-云-v俗-平- 8.3√3[解析]如图，作CD⊥AB,垂足为D,由题意易知 ∠A=∠B=30°.又，CD⊥AB,.AD=DB.,AB=6, ·12·同行学案学练测 .AD=3.在Rt△ACD中，CD= AB=3x,.'.CE= 3 AD·taA=3,:∴SAe=2AB· ,DE=点x ,AE=AD+DE= 1 CD=2×6x-3w5. x,…tan∠CAD=CE=1 15 A= D 13.解：设BC=x.∠DBC=45°，EF⊥AE,.EF=BE,BC 9.解：由题意知，AD∥EF,所以∠ABE=∠BAD=53°.因为 ∠ABC=90°，所以∠CBF=37°，所以∠BCF=53°.在 DC.AC=2+2.nA=AG2+x=3,= Rt△ABE中，AE=AB·sin∠ABE≈10×0.80=8，BE= 3+1,∴.EF=√3+4. AB·cos∠ABE≈10X0.60=6.在Rt△BCF中，BF=BC· 14.解：如图，延长AB与DC相交于点E.,∠ABC=∠BCD sin∠BCF≈6X0.80=4.8,CF=BC·cos∠BCF≈6X =135°，.∠EBC=∠ECB=45°， B 0.60=3.6,所以EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以 ∴.BE=CE,∠E=90°.设BE=CE= C S四边形ABD=S矩形AEFD一S△ABE一S△BF=AE·EF x,则BC=√2x,AE=9+x,DE=3+ A 3AE·BE-BF.FC=8X10,8-号×8X6-号× x.在Rt△ADE中，∠E=90°，tanA 1.DE1 4.8×3.6=53.76.故该零件的截面面积约为53.76cm2. =2AE2即=2，x=3.经检验，x=3 10解：o=号，i∠B=5当△ABC为钝角三角形 是所列方程的解，且符合题意，∴.BC=3√2，AE=12,DE =6,.AD=V√AE2+DE=√122+62=65. 时，如图①，过点A作AD⊥BC的延长线于点D.AB 15.解：如图所示，过点B作BH⊥FC于点H.AB∥CF, =122,∠B=45°，∴.AD=BD=12.AC=13,∴.由勾 ∠A=∠ABC=45°，∴.∠BCF=45°. 股定理，得CD=√AC-AD=5,.BC=BD-CD= AC=BC=12/2,..BH=HC=12. B 12-5=7;当△ABC为锐角三角形时，如图②，过点A作 在Rt△BHD中，∠BDH=6O°， AD⊥BC于点D.同理可得AD=BD=12,CD=5,.BC =BD+CD=12+5=17.综上所述，BC的长为7或17. :.DH-BH-12-43,:CD- tan60°√3 FH D C CH-DH=12-43, 培优专题1：求锐角三角函数值的常用策略 3 1. ① 2.解：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,OA=OC,OB= 11.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.·∠CED=45°， OD,.'.OA=OC=OB=OD..'BE=2,DE:BD=4:5, DH⊥AC,DE=√2，∴.DH ∴.DE=8,BD=10,.OE=3,OC=5.CE⊥BD, =EH=DE·cos45°=√2X ∠CEO=90°.在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE= 2 =1.又∠DCE=30°， V6-3=4aw-8器=是. B ..HC=DH tan30*=3,CD= 3号 4.D 2DH=2.,∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE= 5.解：如图，过点A作AE⊥L5,垂足为点E,交12于点F,则 2/2,..AB=AE=2,..AC=AE+EH+HC=2+1+ ∠AFD=∠AEB=90°.，直线L1∥L2∥L3L4∥L,相邻两 条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD的三个顶点 1 V3=3十V3,.S网边形AD=SAc十SAAc=2AB·AC 都在平行直线上，∠ABC=90°，∴∠BAE十∠EAD=90, +号A,DH=2×2×3+5)+7×(3+5)×1 ∠ADF+∠DAF=90°，∠Q=∠ADF,∴.∠BAE= -3V3+9 ∠ADF,△ABEO△DAP.:AB=3AD,铝-=3= 2 架设AE=,则DF=音，AF=y,AD= 12.解：如图，作CE⊥AD交AD √AF2+DF= 5 的延长线于点E,则∠CED= AF 3 ,sina-AD-5 90°.又∠BAD=90°， ∠ADB=∠CDE,.△CDE ∽△BDA.DC= 2 BD, 需器品公mB-号设A0-5则第一章直角三角形的边角关系☑ 4解直角三角形 第1课时 已知两边解直角三角形 (教材P16~17练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点二：已知两直角边解直角三角形 知识点一：已知一直角边和斜边解直角三角形 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√7，AC= 1.直角三角形的两边长分别是6,8，则第三边的 √21，则∠B=( 长为( A.90° B.60° C.45 D.30° A.10 B.27 7.如图，在Rt△ABC中， C.10或27 D.无法确定 ∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4,欲 为点D.若AC=√5，BC=2, 求∠A的度数，最适宜的做法是() 则sin∠ACD的值为( A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 A 以2 c n号 C.计算cosA的值求出 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√6， D.先根据sinB求出∠B,再利用90°一∠B BC=√2，求这个直角三角形的其他元素， 求出 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25,AC= √15，则∠A的度数为() A.35° B.60° C.45° D.30° 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2,BC= √3，则tan2B= 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所 对的边分别为a,b,c,a=5,c=5√2，求这个 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm, 直角三角形的其他元素 BC=2cm,求sinA,tanA的值， 做神龙题得好成绩 11 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 即能力提升 >>>>>>难度等级中等题 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 10.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别 所对的边分别为a,6c,b=3,S=23, 为a,b,c,且a=13,b=12,c=5,求sinB 求这个直角三角形的其他元素. 的值. 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,根据下列条件，求出 直角三角形的其他元素 (1)a=10,b=10W3 (2)a=22,c=4y6 3· 即培优创新 >>>>>>》>>难度等级综合题 14.[应用意识]如图，∠B=90°，AB=23cm, BC=2cm,CD=3cm,AD=5cm,求四边形 ABCD的面积. A 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, ∠BAC的平分线AD=4√5，求出直角三角 形ABC的其他元素. 12做神龙题得好成绩