第1章 2 30°，45°，60°角的三角函数值&3 三角函数的计算-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 230°，45°，60 (教材P 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：特殊角的三角函数值 1.[一题多辦](1)（天津中考）2sin60°=( A.1 B.√2 C.3 (2)(大庆中考)2c0s60°=( ) A.1 B.3 C.√2 n 2.(天津中考)tan30°的值等于( A B号 C.1 D.2 3.若a=sin30°，b=cos45°，c=tan60°，则它们之 间的大小关系是( A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 4.计算. (1)sin230°+cos230° (2)sin45°cos45°+4tan30°sin60° 知识点二：根据特殊角的三角函数值求相应锐角 的大小 5.已知a为锐角，且cosa= 2,则a=() A.30° B.45° C.60°D.90° 做神龙题得好成绩 角的三角函数值 3~9练习) 6.在△ABC中，若∠A和∠B都是锐角，且 sinA cosB ，则下列最确切的结论 2 是() A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 7.在△ABC中，若cosA-2+(1-anB)2=0, 则∠C的度数是( A.45° B.60° C.75 D.105° &已知&为锐角，sma-2的-则。=( A.20° B.40° C.60 D.80° 9.(甘肃中考)在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3,则cosB= √ 知识点三：特殊角的三角函数值的简单应用 10.[应用意识]（苏州中考）如图，小亮为了测量 校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖 直放置在与教学楼水平距离为18√3m的地 面上，若测角仪的高度是1.5m,测得教学楼 的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度 是() D:30 C A.55.5m B.54m C.19.5m D.18m 11.如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面 若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶 A落在离树根C的12米处，测得∠BAC= 30°，求BC的长.（结果保留根号） B 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 12.计算2cos30°-tan45°-√(1-tan60)2的值 是( A.23-2 B.0 C.2√3 D.2 13.如图是某水库大坝横断面示意图.其中AB， CD分别表示水库上、下底面的水平线， ∠ABC=120°，BC的长是50m,则水库大坝 的高度h是( ) D 120° A B A.25√3m B.25m C.25√2m D503 m 3 14.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝 比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹 角如下表（假设风筝线是拉直的）， 同学 甲 乙 丙丁 放出风筝的线长140m100m95m90m 线与地面的夹角30° 45° 45° 60° 同学所放的风筝最高. 第一章直角三角形的边角关系☑ 15.如图①，圆规两脚形成的∠α称为圆规的张 角.一个圆规两脚均为12cm,最大张角为 120°，你能否画出一个半径为20cm的圆？ 请借助图②说明理由. 12 cm ① ② 即培优创新 >>》>>>>>>难度等级综合题 16.(陕西中考)一座吊桥的钢索立柱AD两侧 各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示 小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB 的长度.他们测得∠ABD为30°，由于B,D 两点间的距离不易测得，他们通过探究和测 量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之 间的距离约为16m,且点B,C,D共线，AD ⊥BD.求钢索AB的长度.（结果保留根号） 做神龙题得好成绩9 /同行学案学练测九年级数学下BS 3 三角函数的计算 (教材P12~14练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>>难度等级中等题 知识点一：用科学计算器求三角函数值 7.用计算器求sinl5°，sin25°，sin35°，sin45°， 1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 sin55°，sin65°，sin75°，sin85°的值，研究sina sin36°18'，按键顺序正确的是( 的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判 A.sin 3 6 18 断：e9则( B.sin 3 A.30°<a<60° B.30°<a<90° C.SHIFT sin 6 C.0°<a<609 D.60°<a<90° 8.如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸 D.sim36。” 18。” BC对岸上的一点，AB 2.用计算器求sin62°20'的值正确的是( BC于点B,站在河岸的C A.0.8857 B.0.8856 处测得∠BCA=50°，BC= C.0.8852 D.0.8851 10m,则AB≈ m.（用计算器计算， 3.用计算器求sin20°+tan54°33'的结果等于 结果精确到0.1m) ( )(结果精确到0.01) 9.[一题多解]如图，一块四边形土地ACDB,其 A.2.25 B.1.55 C.1.73 D.1.75 中∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD,AB= 4用科学计算器计算，5，」 2 sin37.5°. 30W3m,CD=50√3m,求这块土地的面积. (填“>”“<”或“=”) 知识点二：用科学计算器根据三角函数值求锐角 5.已知两个山坡的坡角分别为a,B,且sina= 0.6534,sin8=0.3921,则( ) A.a山坡比3山坡陡 B.B山坡比a山坡陡 C.两个山坡一样陡 D.无法确定 6.已知tana=6.866,用计算器求锐角a(精确到 1"),按键顺序正确的是( ) A.tan6· 8 6 6 SHIFT B.SHIFT tan C.tan SHIFT D.SHIFT tan 6 6 6 。，” 10 做神龙题得好成绩同行学案学练测 .tanl5°=tan∠AMD= AD 2 MD4+23 =2-√3≈0.3. 参考答案 B M 九年级数学下BS ① ② 第一章直角三角形的边角关系 第2课时正弦与余弦 1.D2.A3.A4.C 1锐角三角函数 5.解：DE⊥AB,∴∠B+∠BDE=90°.：∠ACB=90°， 第1课时正切与坡度 ∴∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠A.在Rt△ABC中，AC 1.A2.B3.2-1 =VAB2-BC=8,∴sin∠BDE=sinA=3 ,COs∠BDE 4.解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，.tanB AC BC,.BC= =COsA= 5,tan∠BDE=tanA=3 4 AC=6=65,AB=VBC+AC=√(63)+6 tanB√3 6.A Z解：I在R△ABC中，snB铝-专AC=台AB =12. 5A6.127.1DB(2A3B8.C9号 -8(②)：mA-8C-是，设AC=4红，BC=3由 勾股定理，得(3x)2+(4x)2=102,解得x=2,.AC=8. 10.解：四边形ABCD是菱形，ACLBD,0A=合AC &D9B10.ID(2A1.号 AC=4,0A=2.:E为AD的中点，0E=号AD, 12.解：在矩形ABCD中，，BC=AD,AD∥BC,∠B=90°， ∠DAF=∠AEB.:DF⊥AE,AE=BC,∠AFD= .OE=2,.AD=4,.OD=√AD2-OA=√42-2 90°，AE=AD,△ABE≌△DFA(AAS),∴.AB=DF= =2m0-品2得 6.在Rt△ADF中，AF=√AD2-DF2=√I02-6= 8,.EF=AE-AF=AD-AF=2.在Rt△DFE中， 11.解：如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是△ABC的 ,DE=√DF2+EF=√62+2=2√I0,∴.sin∠EDF 中线.设AB=EC=2a,则AE=EB=a,AC=√3a, EF_√1O ADC--S-复.如图@，在R△ABC中，∠A= =DE=10 13.解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D.,sin∠AOC= 90°，BE是△ABC的中线.设EB=AC=2b,则AE=EC AD 4 =b,心AB=J3b,tan∠ABC=AC=23 AO5,OA=5,AD=4.在R△AOD中，由勾股定 AB 3 理，得DO=3.·点A在第一象限，.点A的坐标为(3,4)， 将（3,0代入y=得4=号m=12,该反比例函 数的表达式为y是将8，)代人y=u+2,得m=号， ÷一次函数的表达式为y=号x十2.(2在y=号x十2 ①D ② 中，令y=0,即子x+2=0,=-3,点B的坐标是 12.解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点 D.:∠ACB=150,∴∠ACD=30,AD=2AC=2, (-3,0),0B=3.又：AD=4,SAm=2OB·AD CD=√AC2-AD=√42-22=23.在Rt△ABD中， 2×3X4=6. m8-品品-日BD=16BC=BD-CD= 16-2√3.(2)如图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延 长线于点D,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接 AM.,∠ACB=150°，.∠AMC=∠MAC=15°， 230°，45°，60°角的三角函数值 岁=30/3+2z-号，z=150=603,BD CE 1(1C(2)A2.A3.A411(2)号 50W3+3x 5.C6C (150-60√3)m,DE=(150√3-180)m,AE=(300 1 7.C8.D9.2 10.C 90月)m,AC=AE·mE=(300-0月)x9- 11.解：：BC⊥AC,.∠BCA=90°.在Rt△ABC中， “m∠BAc=Ae,∴BC=AC,tm∠BAC=12X 1 (100√3-90)m,.Sm动影AB=SAAE一SamE=2X(1003 ama0r=12xX-45(米， -90)×(300-90,5)-2×(150-605)×(1505- 180)=2400√3(m2). 12.B13.A14.丁 方法三：如图③，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点 15.解：能.理由：：△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°， E,作AF⊥CD于点F.:∠ABD=120°，∴∠ABE=60°， ÷∠B=∠C180,120°=30.过点A作ADLBC于点 2 ∠BAE=30°..AB=30√3m,AE=AB·sin∠ABE =45m,BE=AB·sin∠BAE=15√3m.由题意，知四边 D,∴BD=AB·cosB=12X=6V3(cm),BC=2BD 形AEDF为矩形，.FD=AE=45m,.CF=CD-FD= 12√3≈20.8cm>20cm,∴.能画出一个半径为20cm的圆. (503-45)m..'AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=60°，.AF=CF·tan∠ACD=(150-453)m, .S阳边形ACDB=S四边形ADE一SABE=2(45十50V3)(150一 B D C 16.解：设AD=xm.,AD⊥BD,∠ACD=45°，.CD=AD 453)-2×153×45-240v5(m). =xm.在△ADB中，AD⊥BD,∠ABD=30°，.AD= 月D,即z-(16+,解得x=8v5+8∴AB=2D -=(163+16)m,.钢索AB的长度为(163+16)m 3三角函数的计算 D ③ 1.D2.A3.D4.>5.A6.D7.A8.11.9 9.解：方法一：如图①，延长CA,DB交于点P.∠ABD= 4解直角三角形 120°，AB⊥AC,BD⊥CD,.∠C=60°，∠PBA=60°.在 第1课时已知两边解直角三角形 RACDP中，anC-器.iPD-(D·nC-50v5X5 1.C2.C3.D4.3 5.解：已知∠C=90°，a=5,c=5√2，由勾股定理，得b= =150Cm.在△PAB中，mPBA-器PA=AB· Vc-a=√(62)2-52=5.：sin4=a-5=2 tan∠PBA=30V3X√3=90(m)..S四边形AcB=S△rD c5√22， ∠A=45°，∠B=90°-45°=45°. SAe=7×150X505-7×30w3X90=240w5(m). 6.B 7.A[解析]，∠ACB=90°，AC=√5，BC=2,.根据勾股 定理，得AB=V√AC2+BC=√(W5)2+22=3.:CD⊥ AB,∴∠ADC=∠ACB=90°，∴.∠A+∠ACD=∠A+ ∠B=90,∠ACD=∠B,.sim∠ACD=sinB=A9 AB B 3· E 8.解：：AC=√6，BC=√2，∠C=90°，AB=√AC2+BC ① ② 方法二：如图②，延长AB,CD交于点E.:∠ABD=120°， --瓜-2E.A-聚-语-停A ∠DBE=60°.又BD⊥CD,∴.∠E=30°.设BD= 30°，∠B=90°-30°=60°. xm,则BE=2xm,DE=√3xm.在Rt△CAE中，cosE= 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm,BC=2cm, 同行学案学练测·11·