1.2 30°，45°，60°角的三角函数值+1.3 三角函数的计算　课件　2024-2025学年北师大版九年级数学下册

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 +1.3 三角函数的计算 九年级下 BS 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的度数. 学习目标 难点 重点 4.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求对应的锐角的过程. 5.能够利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 难点 新课引入 从景区门口到山脚下后，琳琳和爸爸妈妈一起坐缆车上山.如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.由点B到达点D时，它又走过了200m. 问题1 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=30°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m） 让我们一起来探究吧！ 观察一副三角尺，这副三角尺包含有几个锐角？它们分别等于多少度？ 3个，分别等于30°，45°，60°. 30° 60° 45° 45° 新知学习 探究1 用手中的三角板求出30°， 45°，60°角的正弦值、余弦值。正切值. 30° 60° 45° 45° 方法一：度量法 是否还有其他方法呢，我们一起探究吧！ 观察30°角的直角板，在直角三角形中看到30°角能想到“30°所对的直角边是斜边的一半”，那么这里对边和斜边的比就是我们学的sin30°，你能自己独立求出其他的三角函数值吗？与同伴进行交流. 30° 60° 45° 45° tan 30° = cos 30° = cos 60° = 解：设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，则另一条直角边长为 ∴sin 30° = 30° 60° a 2a 方法二：设参法 sin 60° = tan 60° = 45° 45° 设两条直角边长为 a，则斜边长为 ∴sin 45° = cos 45° = tan 45° = =1. a a 请同学们运用上述方法求出45°角的正弦值、余弦值和正切值; 练一练 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三角函 数 角α 三角 函数值 1 归纳总结 若∠A为锐角，则sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)， tanA与tan(90°-A)互为倒数. 例1 计算: (1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 温馨提示:sin260°可表示为(sin60°)2，cos260°可表示为(cos60°)2 解: (1)原式 (2)原式 典例解析 例2 求适合下列条件的锐角a: (1) sina-1=0 ; (2) ; (3)3tana= . 解：(1)由 sina-1=0 得 sina= 1 得sina= ∴锐角a=45°. (2)由 得 cosa= ∴锐角a=60°. (3)由3tana= 得 tana= ∴锐角a=30°. 例3 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. ∠AOD OD=2.5m, A C O B D 解:如图，根据题意可知, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 在Rt△OCD中 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=30°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m） 解：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC=ABsin30°=200sin30° BC≈197.61 答：缆车垂直上升的距离是197.61米. 问题解决 从景区门口到山脚下后，琳琳和爸爸妈妈一起坐缆车上山.如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.由点B到达点D时，它又走过了200m. 问题解决 2.计算： (1)sin60°+cos45°=________. (2)sin230°+cos260°-tan45°=________. (3)4cos30°-2tan45°=________. 1.tan(α°+20°)=1，锐角α的度数应是( ) A.45° B.35° C.25° D.15° 随堂练习 C 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三角函 数 角α 三角 函数值 1 45° 45° 60° 30° a a a 2a 课堂小结 问题2 缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你能计算缆车又垂直上升了多少吗? 让我们继续来探究吧！ 你知道sin42°是多少吗？ 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 探究2 求sin42° 第一步：按计算器 键， sin 屏幕显示结果sin42°=0.6691306063588582 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）. 第二步：输入角度值42，最后按 键； = 例4 求cos72°38′25″． 第一步：按计算器 键， cos 屏幕显示结果cos72°38′25″=0.298 369 9067 第二步：输入角度值72，按 键，输入38，按 °＇ ″ 键，最后按 键； 键，输入 25，按 °＇ ″ °＇ ″ = 第一步：按计算器 键， tan 例5 求tan85°. 屏幕显示结果tan85°=11.4300523 第二步：输入角度值85，最后按 键； = 1. 用科学计算器求锐角的三角函数值时，要先把科学计算器设置在“角度”状态. 2. 用计算器求锐角三角函数值时， 一般先按ON/C 键，目的是清除前一次的运算结果. 3. 用计算器求锐角三角函数值时，如果没有特别说明，计算结果一般精确到万分位. 温馨提示 问题3 莉莉一家人下缆车后开始徒步爬山，在经过一段40m长的斜道后到达观景台，观景台离下缆车的地方垂直高度10m. 这条斜道的倾斜角是多少？ 在Rt△ABC 中，sinA= ∠A是多少度呢？ 可以借助科学计算器. 要用到“sin”“cos”“tan”键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1” 和“ ”键. 例如： 1.已知sin A=0.981 6， 2.已知cos A=0.860 7， 3.已知tan A=56.78， 分别求锐角∠A是多少. 已知三角函数值，怎么使用计算器求角度？ 讨论 按键顺序 显示结果 sin A=0.981 6 cos A=0.860 7 tan A=56.78 sin-10.981 6=78.991 840 39 cos-10.860 7=30.604 730 07 tan-156.78=88.991 020 49 上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果. 你能求出上图中∠A的大小吗？ 在Rt△ABC 中，sin A= 所以∠A=14°28′39″. sin-10.25=14.477 512 19°， 显示结果为 按键顺序为 , sin ∙ 0 2 5 = SHIFT 再按 键可显示14°28′39″. °＇ ″ 注意：在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可. 3. 如图，在△ABC中，∠B=60° ，∠C=45°，AD⊥BC，点 E是AB的中点，连接DE，若DE=4 ，则AC的长为________. 4. 已知sin θ = 0.829 04，用计算器求锐角θ的度数. 解： θ≈56°1″ 5 . 如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1m). 仰角：当从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角称为仰角. 俯角：当从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成的锐角称为俯角. 解：过点A作AE⊥CD于E， ∵AB⊥BC, DC⊥BC， ∴四边形ABCE是矩形， ∵BC=60米， ∴AE=BC=60米， A E D C B ∴在Rt△AEC中， EC=AE·tan∠EAC=60tan37°≈45.2(米) 在Rt△ADE中，∠DAE=45°， ∴DE=AE=60(米)， ∴BC=DE+CE=60+45.2=105.2(米) 答:该大厦的高度约为105.2米. A E D C B 先按 键或 键或 键，再按角度值，最后按 键就可求出相应的三角函数值． sin cos tan = 1. 利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为： 2. 已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序为： 先按 键，再按 键或 键或 键，然后输入三角函数值，最后按 键就可求出相应角度． sin cos tan = $$