专题强化01：相交线与平行线题型归纳【八大题型 培优】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版）

专题强化01：相交线与平行线题型归纳 【题型归纳】 题型一：相交线、垂线 题型二：对顶角、同位角等问题 题型三：平行公理及其推论 题型四：平行线的判定 题型五；平行线的性质定理 题型六：平行线之间的距离问题 题型七：平行线性质的应用 题型八：平行线的判定和性质的综合问题 【题型探究】 题型一：相交线、垂线 【例1】．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为_________． 题型二：对顶角、同位角等问题 【例2】．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【举一反三】 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B．C． D． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 题型三：平行公理及其推论 【例3】（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【举一反三】 1．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 2（24-25七年级下·四川德阳·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）下列命题中，是假命题的是（   ） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两直线平行，内错角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线平行 题型四：平行线的判定 【例4】．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知），∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）．（______）． 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的高，平分，分别交于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，请判断与的位置关系，并说明理由． 题型五；平行线的性质定理 【例5】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，，则_____． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为____________． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是__________ ． 题型六：平行线之间的距离问题 【例6】．（23-24七年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号） 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 3（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 题型七：平行线性质的应用 【例7】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型八：平行线的判定和性质的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 2．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期中）如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为________．    10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，，，D是AB边上的固定点（）．E为BC上一点，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行．此时的度数为__________． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    12．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 13．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，相交于点O，是内部的一条射线，E，G是上的点，且于点D，，交于点F．若，则的度数是_______． 三、解答题 14．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 15．（22-23七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求的度数． (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 18．（25-26七年级下·全国·月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：相交线与平行线题型归纳 【题型归纳】 题型一：相交线、垂线 题型二：对顶角、同位角等问题 题型三：平行公理及其推论 题型四：平行线的判定 题型五；平行线的性质定理 题型六：平行线之间的距离问题 题型七：平行线性质的应用 题型八：平行线的判定和性质的综合问题 【题型探究】 题型一：相交线、垂线 【例1】．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴．∵，∴． 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为_________． 【答案】或/或 【详解】解：根据题意分两种情况： 当射线在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在直线下方时： 同理可得出，， ∴ 综上：的度数为或． 故答案为：或． 题型二：对顶角、同位角等问题 【例2】．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【举一反三】 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义． 根据内错角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意； B. 该选项与是内错角，符合题意； C. 该选项与是同旁内角，不符合题意； D. 该选项与不是内错角，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 题型三：平行公理及其推论 【例3】（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题的判定，涉及平行线的性质、点到直线的距离、垂线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据平行线的性质、点到直线的距离、垂线的性质逐项判断即可， 【详解】解：A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意； B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不符合题意； C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 2（24-25七年级下·四川德阳·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理等进行判断． 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理等，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误； C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确； 故选：D 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）下列命题中，是假命题的是（   ） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两直线平行，内错角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定与性质逐一分析选项，判断其真假即可． 【详解】解：A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，故A不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同旁内角才互补；命题未说明两直线平行，故原命题为假命题，故B符合题意； C．两直线平行，内错角相等，是真命题，故C不符合题意； D．在同一平面内，不相交的两条直线平行，是真命题，故D不符合题意． 故选：B． 题型四：平行线的判定 【例4】．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质得到，根据对顶角相等得到，进而得到，再根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （等式的性质）， （对顶角相等）， 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的高，平分，分别交于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和可得，再根据角平分线可得，根据，即可求得． （2）；由（1）知：，根据邻补角和角平分线可得，根据内错角相等，可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：； 理由如下：由（1）知：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，邻补角，角平分线，等边对等角和三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型五；平行线的性质定理 【例5】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解． 【详解】解：等长的支架交于它们的中点E，， ， ， ， ， . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是__________ ． 【答案】①②④ 【详解】解：平分， ， 平分， ，又，， ，故①正确；，， ，故②正确；若，， ，， ， ，故④正确； 从现有条件无法推导出③的结论． 故答案为：①②④． 题型六：平行线之间的距离问题 【例6】．（23-24七年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 【答案】/ 【分析】本题考查两平行线间的距离处处相等，点到直线的距离是点到直线垂线段的长度． 【详解】解：， 到直线的距离与到直线的距离相等， ， 到直线的距离为线段的长， 到直线的距离为线段的长． 答案为：． 3（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴，∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴，∵，∴∴， 故答案为：12，3． 题型七：平行线性质的应用 【例7】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同位角的定义，由同位角的定义即可判断①；由内错角相等，两直线平行即可判断②；证明即可判断③；求出即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解一元一次方程．设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点P作，过点H作，过点Q作，    ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，即． ∵， ∴， 解得， 故选：D． 题型八：平行线的判定和性质的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵，∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 2．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得． 的周长为． ∵，， ∴周长为； 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，由平行线的性质得到；然后利用角平分线的定义来求的度数． 【详解】解：， ， 又平分， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解决本题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”求得的度数． 4．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级下·全国·期中）如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 8.（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，①正确； ∴，∵平分，∴，∴， ∵不能确定等于，∴不成立，②错误； ∵，∴，∴， ∵， ∴，∴，∴，③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ，④正确． 故选：A． 二、填空题 9．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为________．    【答案】/度 【详解】解：如图，过点E作， ， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，，，D是AB边上的固定点（）．E为BC上一点，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行．此时的度数为__________． 【答案】或或 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图①，当时， 由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图②，当，且点F在BC上面时，， ∴； ③如图③，当，且点F在BC下面时，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 12．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角相等，过点作交于点，推出，推出，进而求出，由平行线的性质结合对顶角相等推出，再根据平行线的性质推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ． ． ， ． ， ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 13.（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，相交于点O，是内部的一条射线，E，G是上的点，且于点D，，交于点F．若，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线段的定义，对顶角相等． 过点作，可得求得，从而推出，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 14．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（22-23七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求的度数． (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 【答案】(1)90 (2) (3)这个定值为 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，比例分配，定值问题，通过设元消元，将广播体操动作抽象为几何图形，抓住“三点共线”这一关键，消元得到与变量无关的值是解题的关键． （1）利用平角定义（共线时）及的关系，求出的度数； （2）先根据与的比例关系设未知数，结合平角求出各角的表达式，再利用角平分线性质得到，最后计算； （3）通过设比例中的未知数，用其表示和，代入式子化简验证是否为定值并求出该定值． 【详解】（1）解：、、三点共线， ， 又点、重合，且， 。 故答案为：； （2）解：， ∴设， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：设， ， ∴设， ， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴的值为定值，这个定值为． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 18．（25-26七年级下·全国·月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 【详解】解：（1）如图①，过点作直线．， ， ，， ， 即． （2）如图②，延长，交于点，过点作．， ， ，． ，， ，．， ， ， ． （3）如图③，分别过点，作，，则． ，，． ． 同理可得，． 和分别平分和， ，． ， ， ，即． 故的度数为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $