10.2函数的表示（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.2函数的表示 A 基础达标题 题型一 求函数关系式 1.【答案】D y=50x+20 2.【答案】 3.【答案】y=5 4【答案)少=26 5.【答案】少=5r-50 6【答案】y=-2x+12(3<x<6) 题型二 根据表格获得有用信息 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B 题型三根据图像获得有用信息 1.【答案】c 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】30 题型四根据实际问题情景判断函数图像 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】DBAC 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【答案】B 5.【答案】c B 能力提升题 题型一 几何动点问题图像信息题 1.【答案】①②③④ 题型二函数应用题 1. 50×0.8+80-50)×1.2=40+36=76 【详解】(1)解： (元)· 故小丽家该月应交燃气费76元. (2)解：由题意，得'=50x0.8+1.2(x-50)=12x-20(x>50) (3)解：50×0.8=40<88， ∴.4月份小丽家所用天然气超过50m3, y=88,、y=1.2x-20 代入 1.2x-20=88 得 解得x=90 故4月份小丽家用了90m3天然气. (4)解：：燃气费平均每立方米1元，大于0.8元， 50m3 用气量一定超过 由题意，得1.2x-20=x, 解得x=100 故6月份小丽家用了100m的天然气. 2. 【详解】(1)解： (325-319-[-10-(-20]=6÷10=0.6(m1/s), 故答案为：0.6 (2)解：设v=t+b, 将t=0,v=331和t=10,v=337代入得 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=331 10k+331=337, 解得k=0.6,b=331, v=0.6t+331: (3)解：当t=15时，v=0.6×15+331=9+331=340 .340×3=1020(米)， 故答案为：1020 3. 【详解】(1)解：当2500<x≤3000时， y=2500×0.5+0.6(x-2500)=0.6x-250 2500<x≤3000 y=0.6x-250 所以当 时，电费y与x之间的关系式为 2500×0.5=1250,0.6×3000-250=1550 (2)解：因为 1550>1430>1250 所以该用户用电量属于第二档， 设该用户一年的用电量为x度，则 1430=0.6x-250. 解得x=2800」 该用户这一年的用电量为2800度. 4. 【详解】(1)解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t,因变量是他们距起点的距离s. 故答案为：甲出发的时间t:他们距起点的距离s, (2)解：甲的速度为：600÷100=6（米/秒）， 乙的照步速度为：(60-101+150-9（米/秒） 10 故答案为：6；3· (3)解：设t秒时，甲追上乙， 10 根据题意得：6t=100+ 3 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：1=5 2 则2 ×6=225(米)， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米. 拓展培优题 题型一 1. ∠ACB=90°，AC=BC=6 【详解】(1)解： ∴.△ABC为等腰直角三角形，∠A=∠B=45°， CM=2, ..AM=AC-CM=4 ME⊥AC, ∴.△AME为等腰直角三角形， .AM=ME=4,∠AEM=45 由题意得，当1=1时，AP=1×1=1, .PM=AM-AP=3, PE=PM2+ME2=5 (2)解：由题意得，CP=6-t, s=cE6-4小x4=12-2. 1 由0<6-t≤6得0≤t<6: (3)解：由题意得，CP=6-t,CE=VCM2+EM=V20 EP=VMP2+EM2=V4-t)}2+42=vP-8+32 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当CP=CE时，则6-1=20 解得1=6-V20 当CP=EP时， (6-2=-8+32,解得=1： 当CE=EP时， EM⊥AC, ..PM=CM, ∴4-t=2, t=2, 综上：当-6-20)秒或1秒或2秒时，aEPC是等腰三角形 AC,AB .H,K PH,OK,EK,HK (4)解：过点”分别作 的对称点，连接 B 图2 PH=PN,QN=QKHM=MN=3,EN=EK=4-3=L,∠AEM=∠AEK=45° C△PoN=PO+PN+ON=PH+PO+OK≥IHK∠HEK=∠AEM+∠AEK=90° H,P,Q,K APON 当点 共线时， 的周长取得最小值，即为K, HE=HM+ME=3+4=7, HK=HE2+EK2+=50 ,△PO 的周长最小值为V50 2. 【详解】(1)解：如图，过点M作MD⊥OA于点D, 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V B M D C(5,0)A0=C0 .A0=C0=5,∠OAC=∠OCA, 由折叠的性质得：AB=OA=5,BC=OC=5,∠OAC=∠BAC, ∠OCA=∠BAC, AB∥OC, OH⊥OC, .OH⊥AB, 4-3,4 AH=3,OH=4 又：∠OAC=∠BAC,OH⊥AB,MD⊥OA, ∴.MD=MH, 设点M的坐标为M(0,a(a>0,则OM=a,MD=MH=OH-OM=4-a, 1 1 ∴2x54-a-2 ×3a 解得a5 2 os) 点M的坐标为 2) AB 5 (2)解：由题意得：点P从点A运动到点B所需的时间为22秒，点P从点A运动到点C所需的时间为 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB+BC 2 =5秒， 5 则当t= 时，点p与点B重合，不能构成APBM, 0<t<5且1*写 由(1)已得：OM=3,Mm=4-3=3 22· ①如图，当点p在B(不含点B)上运动，即0≤1 2时， HP B M C x 则AP=2t, .BP=AB-AP=5-2t, APBM的面积为S-BP.MH×5-20=2+5 -t+ 2 22 4； 5 ②如图，当点p在BC(不含点B)上运动时，即2<1≤5时， 则AB+BP=2t, .BP =21-AB=21-5, OH⊥OC, .∠C0M=90°， 由折叠的性质得：OC=BC,∠OCM=∠BCM, 在△BCM和△OCM中， 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=OC ∠BCM=∠OCM CM=CM △BCM≌OCM(SAS) CBM=OM=CBM=/COM=906: .MB⊥BC, 六APBM的面积为S= 3 4； 3.15 -t+ 24 0s1<3》 2 S= 综上， <t≤5 的取值范围为 且 42 t 0≤t≤5 (3)解：如图，过点A作AN⊥BC,交CB延长线于点N, N B .AO=CO .∠OAC=∠OCA, 由折叠的性质得：∠OCA=∠BCA, ∴.∠OAC=∠BCA, ∴.OA∥BC, ∠OAH=∠ABN, 在△ABN和△OAH中， ∠N=∠OHA=90° ∠ABN=∠OAH AB=OA 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABN≌OAH(AAS AN=OH=4,BN=AH=3 又：OA∥BC,∠PA0=45°， ∠APN=∠PAO=45°， .∠PAN=90°-∠APN=45°， .∠PAN=∠APN=45°， .PN=AN=4. .BP=PN-BN=1, 由题意得：当点P移动到线段BC上时，AB+BP=2t, 2t=5+1,解得t=3, ，-代s=-1s:s-3- 2 44 919 10.2函数的表示 题型一 求函数关系式 1．（25-26七年级下·全国·周测）某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 绿化面积占用地总面积的，因此是的，由此即可得到与的关系式. 【详解】解：∵ 绿化面积用地总面积， ∴ . 故选：D. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为________________． 【答案】 【分析】根据题意，总费用由成人票费用和学生票费用组成，成人票费用为元，学生票费用为20元，因此与的函数关系式为． 本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，成人游客名，每张成人票50元，故成人票费用为元； 学生游客1名，每张学生票20元，故学生票费用为20元． 总费用为成人票费用与学生票费用之和，因此． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为___． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式 ，理解题意列出是解题的关键． 根据总页数每天读的页数读完所需的天数得出，从而得出关系式． 【详解】解：根据题意得，即， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案． 【详解】根据题意得：当时， 即 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 题型二  根据表格获得有用信息 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间时，水的高度； 当时，； 且时间每增加，h增加， ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 题型三 根据图像获得有用信息 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【答案】C 【分析】分析图象，可知小明在是在去食堂的路上，是在吃早餐，是在去图书馆的路上，是在图书馆读报，是在回家的路上，据此逐项分析． 【详解】解：A．小明吃早餐用了，故A错误； B．小明读报用了，故B错误； C．小明从食堂到图书馆的速度为，故C正确； D．小明从图书馆回家的速度为，故D错误． 3．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可． 【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确； ，故汽车共行驶了，②正确； 汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确； ，④正确， ∴正确的有4个． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 【答案】D 【分析】从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 题型四 根据实际问题情景判断函数图像 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 题型一几何动点问题图像信息题 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 题型二 函数应用题 1．（25-26七年级下·全国·周测）某城市为了加强公民的节气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用天然气如果不超过，按每立方米0.8元收费；如果超过，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用了天然气，应交燃气费为元． (1)若小丽家某月用燃气量为，则小丽家该月应交燃气费多少元？ (2)写出与之间的关系式； (3)若小丽家4月份的燃气费为88元，那么4月份小丽家用了多少立方米的天然气？ (4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米1元，那么6月份小丽家用了多少立方米的天然气？ 【答案】(1)76元． (2)． (3)4月份小丽家用了天然气． (4)6月份小丽家用了的天然气． 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）设小丽家每月用了天然气，已知，列出函数关系式即可； （3）先判断是否大于，然后将代入（2）中函数关系式，求出的值即可； （4）先判断是否大于，然后根据题意列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：（元）． 故小丽家该月应交燃气费76元． （2）解：由题意，得． （3）解：， 月份小丽家所用天然气超过， ∴将代入，得， 解得． 故月份小丽家用了天然气． （4）解：∵燃气费平均每立方米元，大于元， ∴用气量一定超过． 由题意，得， 解得． 故月份小丽家用了的天然气． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 根据上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了___________； (2)直接写出与之间的函数关系式（不必写出变量的取值范围）； (3)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距___________米． 【答案】(1)0.6 (2) (3)1020 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及路程问题的计算，熟练掌握根据数据建立函数模型并进行相关计算是解题的关键． （1）通过计算相邻气温下速度的差值，求出气温每升高1℃时速度的提高量． （2）根据一次函数的一般形式，利用表中数据求出与之间的函数关系式． （3）先将代入函数关系式求出声音传播速度，再根据“路程速度时间”计算距离． 【详解】（1）解：（）， 故答案为：． （2）解：设， 将，和，代入得 ， 解得，， ∴； （3）解：当时， ∴（米）， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 【答案】(1) (2)该用户这一年的用电量为2800度． 【分析】本题考查了列关系式，一元一次方程的应用． （1）根据分档计费规则计算即可； （2）先求出该用户这一年的用电量属于第二档，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， 所以当时，电费y与x之间的关系式为； （2）解：因为， ， 所以该用户用电量属于第二档， 设该用户一年的用电量为x度，则 ， 解得， 该用户这一年的用电量为2800度． 4．（24-25七年级下·四川达州·月考）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 题型一  几何动点问题 1．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)当秒或秒或秒时，是等腰三角形 (4) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，函数关系式的建立等知识点． （1）确定出、均为等腰直角三角形，然后对运用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，根据即可建立函数关系式； （3）由题意得，根据勾股定理可得，，然后分三种情况结合等腰三角形的性质求解即可； （4）过点分别作的对称点，连接，则，，那么，，则当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，当时，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 由得； （3）解：由题意得，，，， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当秒或秒或秒时，是等腰三角形 （4）解：过点分别作的对称点，连接， ∴， ∴，， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵， ∴， ∴的周长最小值为． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 【答案】(1) (2)，的取值范围为且 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出，，再根据角平分线的性质可得，然后设点的坐标为，则，，利用的面积可求出的值，由此即可得； （2）分两种情况：①当点在（不含点）上运动，即时，先求出的长，再利用三角形的面积公式计算即可得；②当点在（不含点）上运动时，即时，先求出，再证出，然后利用三角形的面积公式计算即可得； （3）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， 设点的坐标为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：由题意得：点从点运动到点所需的时间为秒，点从点运动到点所需的时间为秒， 则当时，点与点重合，不能构成， ∴且， 由（1）已得：，． ①如图，当点在（不含点）上运动，即时， 则， ∴， ∴的面积为； ②如图，当点在（不含点）上运动时，即时， 则， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为； 综上，，的取值范围为且． （3）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：当点移动到线段上时，， ∴，解得， 将代入得：． 【点睛】本题考查了点坐标、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、函数关系式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2函数的表示 题型一 求函数关系式 1．（25-26七年级下·全国·周测）某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为________________． 3．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为___． 5．（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 题型二  根据表格获得有用信息 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 2．（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 4．（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 题型三 根据图像获得有用信息 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 3．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 5．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 题型四 根据实际问题情景判断函数图像 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 题型一几何动点问题图像信息题 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 题型二 函数应用题 1．（25-26七年级下·全国·周测）某城市为了加强公民的节气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用天然气如果不超过，按每立方米0.8元收费；如果超过，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用了天然气，应交燃气费为元． (1)若小丽家某月用燃气量为，则小丽家该月应交燃气费多少元？ (2)写出与之间的关系式； (3)若小丽家4月份的燃气费为88元，那么4月份小丽家用了多少立方米的天然气？ (4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米1元，那么6月份小丽家用了多少立方米的天然气？ 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 根据上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了___________； (2)直接写出与之间的函数关系式（不必写出变量的取值范围）； (3)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距___________米． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 4．（24-25七年级下·四川达州·月考）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 题型一  几何动点问题 1．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $