第一章 三角函数（高效培优单元自测·提升卷）高一数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位． D．将函数图象上所有点向左平移个单位 4．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（    ）    A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．已知函数，，直线为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．13 B．9 C．7 D．5 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于三角函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小周期为 B．函数的一个对称中心为 C．函数的图象关于对称 D．函数在区间上单调 10．已知函数，则（    ） A．函数为奇函数 B．最小正周期为 C．单调递增区间为 D．的最大值为2 11．已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（    ） A．函数的对称中心为 B．不等式的解集为 C．函数的单调递增区间为 D．函数在区间上的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．借助函数的图象，可知不等式，的解集为______． 13．函数的部分图像（如图所示），则的解析式为_______________. 14．已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求函数的最小值和最大值． 16．已知函数，且，，. (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 17．已知函数（其中）的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围． 18．某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． (1)求的表达式； (2)当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 19．已知函数部分图像如图所示. (1)求和值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面向量及其应用单元测试卷·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当，时，成立，但， 故“”不是“”的充分条件； 当时，， 所以，， 故“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数定义计算求解. 【详解】. 故选：B. 3．要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位． D．将函数图象上所有点向左平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到 的图象，故B 错误； 将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误； D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：D. 4．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可． 【详解】由 对A项的最小正周期为，故A错； 对B项的最大值为，故B错； 对C.项当时，有，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错． 故选：C 5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上即可求解． 【详解】由图象知，，即，则， 所以， 因为点在图象上，所以，即， 因为，所以， 故选：C． 6．的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（    ）    A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】先根据图象确定的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果． 【详解】函数的部分图象，可得， ，，则， 又，,则， 故． 对A, 向右平移个单位长度,得到，故A错误； 对B, 向右平移个单位长度,得到，故B错误； 对C, 向左平移个单位长度,得到，故C正确； 对D, 向左平移个单位长度,得到，故D错误. 故选：C． 7．已知函数，，直线为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．13 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】因为，为图像的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即，解得：. 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单调递增；当时，单调递减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 故选：B 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换可得，即可根据平移得，利用整体法，结合三角函数的性质可将问题转化为的根，即可求解. 【详解】 故， 因为当时， 由于，所以 在上的值域为， 所以解得， 即的零点即为的根， 则或，即或， 所以函数在上的零点有，共8个． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于三角函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小周期为 B．函数的一个对称中心为 C．函数的图象关于对称 D．函数在区间上单调 【答案】AD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小周期为，A对； 对于B选项，因为， 所以，函数的一个对称中心为，B错； 对于C选项，因为， 则且， 故函数的图象不关于直线对称，C错； 对于D选项，当时，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，D对. 故选：AD. 10．已知函数，则（    ） A．函数为奇函数 B．最小正周期为 C．单调递增区间为 D．的最大值为2 【答案】BCD 【分析】根据奇函数，周期函数的定义，即可判断AB；去绝对值求函数的解析式，根据函数的解析式，判断函数的单调区间以及函数的最值. 【详解】函数的定义域为， 且，所以函数不是奇函数，故A错误； ， ，， 如图，画出函数的图象，    可知，函数的最小正周期为，故B正确； 当，时，函数的单调递增区间，故C正确； 当时，函数取得最大值2，故D正确. 故选：BCD 11．已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（    ） A．函数的对称中心为 B．不等式的解集为 C．函数的单调递增区间为 D．函数在区间上的值域为 【答案】BD 【分析】根据正弦型函数的对称性，结合正弦型的单调性、值域逐一判断即可. 【详解】因为的图象的一条对称轴方程为， 所以，解得， 因为，所以，所以， A选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故A错误; B选项，令，即，所以 ，解得，故B正确; C选项，令，解得，故C错误; D选项，当时，，所以，所以，故D正确; 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦型函数的对称性求出正弦型函数的解析式. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．借助函数的图象，可知不等式，的解集为______． 【答案】 【分析】根据题意，画出函数的图象，结合函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象， 如图所示，由，可得， 所以不等式，的解集为. 故答案为：. 13．函数的部分图像（如图所示），则的解析式为_______________. 【答案】. 【分析】由题意分别确定的值即可确定函数的解析式. 【详解】由函数的最大值可知， 函数的最小正周期，则， 当时，， 则，令可得， 据此可得：的解析式为. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 14．已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 【答案】②③ 【分析】画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断①；对于②，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于③，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】令，即，易知当时，，显然不符题意，故，因此等价于. 对于①：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①错误； 对于②：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故②正确； 对于③：由，推出 ， 因为，且由②可知， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故③正确. 故答案为：②③ 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)最小正周期为 ，单调增区间为，； (2)最小值和最大值分别为和 【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）解：因为， 的最小正周期， 由，，解得，， 函数的单调增区间为，； （2）解：当时， ，， 函数的最小值和最大值分别为和． 16．已知函数，且，，. (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【详解】（1）由，所以的图象关于直线对称， 又，所以的图象关于对称， ，即， 又，. （2）由，即在处取得最大值2，所以， ，则， ，即， 又，所以， ， 令，得， 由，可得，， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则或， 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或且， 解得或或. 所以实数的取值范围是. 17．已知函数（其中）的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式. （2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案. 【详解】（1）由图可知，，， ，由于， 所以，所以. （2）将函数的图象上的所有点向右平移，得到， 再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数， 由得，此时， 所以要使函数在有零点，则. 18．某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． (1)求的表达式； (2)当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 【答案】(1)，． (2)（i）5分钟；（ii）． 【分析】（1）根据摩天轮的旋转周期求出，结合摩天轮的圆心距离地面高度和半径求出A和b，再根据初始位置求出，进而得到的表达式； （2）（i）将代入不等式，求解不等式得到t的取值范围，进而求出有阳光直射的持续时间；（ii）根据有阳光直射的时间不少于10分钟，结合三角函数的性质求出的最大值. 【详解】（1）旋转一周需要30分钟，故， 由，依题意取，，     当时，，解得． 故，. （2）由（1）知，，化简得： ， （i）若时，， 代入得，即， 因,结合余弦函数的图象可得，解得，     故时，观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间为5分钟．     （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟， 根据（i）可知，，化简得：．         设，则，， 设的解集为，, 由题意知有阳光直射的时间长度，即， 在内，的解 关于 对称，其长度为，最大为，最小为 0, 当时，区间的解为. 故，即的最大值为． 19．已知函数部分图像如图所示. (1)求和值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值. 【答案】(1)， (2)单调递增区间为，， (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由图像观察周期，计算；由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解.令，求出的值域，即可求出a. 【详解】（1）由图像可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. （2）. 要求的增区间，只需，， 解得：，. 令，得， 因，则， 令，得， 令，得， 因，则， 所以在上的单调递增区间为，，. （3）， 则. 由函数在上存在零点， 则，在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $