精品解析：河北省唐县第一中学2026届高三一模数学试题

高三数学试题 本试卷共19题，满分150 分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足 则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 5. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线：焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数a，b满足 则 ab=（ ） A 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 已知直线与函数的图象相切，则________. 14. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 16. 某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 17 如图，三棱锥 中， （1）证明:平面平面. （2）设三棱锥外接球的球心为O. （i）求球O 的体积; （ii）求直线 OB 与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程. （2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 19. 已知函数 （1）当 时，求的极值. （2）已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷共19题，满分150 分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解集合得：或， 由，则. 2. 若复数z满足 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的定义可得. 【详解】由，所以，所以. 3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 4. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 5. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得， 即图象的对称中心的坐标为. 6. 已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题意可知，可得，再根据结合抛物线定义运算求解即可. 【详解】设，， 因为抛物线的焦点为，准线为， 由题意可知：，则，可得， 且，所以. 7. 已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 8. 已知正数a，b满足 则 ab=（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数，利用函数唯一性得到与的对数关系，进而代换消元求出. 【详解】由得，即， 令，则定义域，且， 当时，，在单调递增， 由可得，且， 所以，即，所以，得. 【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据条件确定等比数列的公比和通项公式，可判断ABC的真假，再利用等比数列的求和公式，可判断D的真假. 【详解】由，所以.故B正确； 因为，故A错误； 因为，故C正确； 因为，，所以，故D错误. 10. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，延长即可得到截面，再求面积即可；对于B，根据面面平行，作出平面即可；对于C，易知点到平面的距离为定值，利用等体积法求出距离，再确定的最小值即可；对于D，结合点的轨迹，得到点到平面的最大值，再根据锥体体积公式计算即可． 【详解】对于A，如图，延长，与交于点，连接， 所以平面截该正方体所得截面为， 易知为等边三角形，其面积为，故A错误； 对于B，分别取的中点，连接， 则六边形为正六边形，因为分别为棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，因为，所以平面平面， 则点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，由平面平面可知，点到平面距离为定值， 不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为， 连接，由， 得，即，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值， 此时易得，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确； 对于D，因为，所以， 又平面平面，所以平面， 要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大， 易知当点在上运动时，点到平面的距离最大， 不妨取点与点重合，设，连接，显然， 由于，易得，则， 所以，又平面，所以平面， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】# 【解析】 【分析】首先切化弦，根据平方关系得到的二次方程，求解. 【详解】因为，， 得， 解得或（舍）. 13. 已知直线与函数的图象相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设出与函数的切点坐标，写出在切点处的切线方程，根据该切线方程与是同一条直线，得到关于切点横坐标与的方程组，消元后求解即可. 【详解】，则； 令与函数的切点为， 则在该点处的切线方程为， 整理得：，又因为， 故可得，则，即， 故， 两边取对数，解得，则. 14. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据中位线定理及角平分线的定义可得，根据双曲线的定义及三角形的面积公式、余弦定理可求出，由勾股定理可求出c，利用求出，进而得到双曲线 C 的渐近线方程. 【详解】设，如图， 因为，为的中点，所以为的中点，且, 又为的角平分线，所以，所以， 所以为等腰三角形，所以，即，所以. 由双曲线的定义可知，所以， 所以的面积为， 所以. 在中，由余弦定理得， 将代入上式整理得，解得. 所以，解得， 所以，且，所以， 所以，解得， 所以，即， 则双曲线 C 的渐近线方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 16. 某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 【答案】（1）产品质量与生产线有关，理由见解析； （2）的分布列为： . 【解析】 【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算，结合参考数据，即可判断； （2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合服从二项分布，写出对应取值的概率，以及的数学期望即可. 【小问1详解】 零假设：产品的质量与生产线无关； ， 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关. 【小问2详解】 甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：； 由题可知：， ，， ，， 故的分布列如下所示： 的数学期望. 17. 如图，三棱锥 中， （1）证明:平面平面. （2）设三棱锥的外接球的球心为O. （i）求球O 的体积; （ii）求直线 OB 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可证，即可证明结论； （2）（i）根据三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上, 设，球半径,可得，计算可得，从而得到外接球的半径即可求解； （ii）以为原点建立空间直角坐标系， 为轴，为轴，过作平面的垂线为轴,求出平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 由，得, 在中，，故， ​ 在中，，，， 由余弦定理：, 又， 故为直角三角形，, 因为中点，所以， 在中， ​，，， , 所以由勾股定理逆定理得 又，且平面，故平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （i）由为直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，半径, 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上, 设，球半径, , 则​，平方得： , 故 （ii）以为原点建立空间直角坐标系：，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴, 则，球心 所以，。 设平面法向量， 则： 取​，得， ，设直线与平面所成角为， 则 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程. （2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件可求，得到椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得，. （i）化简，结合，可求. （ii）化简，结合，表示出，再利用，求的值，再用求的面积. 【小问1详解】 由题意，，，所以，所以. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 直线的方程为，（），代入椭圆方程，得： . 整理得. 设，，则，. 如图： （i）因为， 所以 由. （ii）因为 . 由. 由， 此时，. 所以. 19. 已知函数 （1）当 时，求的极值. （2）已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）极大值，极小值 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【小问1详解】 时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. 【小问2详解】 时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $