2.4一元一次不等式组 同步培优讲义2025-2026学年八年级数学下册（北师大版）

2.4一元一次不等式组 （8知识点+14大题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式组的定义】 2 【题型2 求不等式组的解集】 3 【题型3 解特殊不等式组】 3 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 4 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 4 【题型6 由不等式组解的情况求参数】 5 【题型7 不等式组和方程组结合的问题】 5 【题型8 列一元一次不等式组】 6 【题型9 不等式组的行程问题】 6 【题型10 不等式组的工程问题】 8 【题型11 不等式组的经济问题】 9 【题型12 不等式组的分配问题】 10 【题型13 不等式组的方案选择问题】 10 【题型14 不等式组的阶梯收费问题】 11 · 掌握核心定义：理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的定义，精准判断一元一次不等式组，区分与一元一次不等式、方程组的差异。 · 熟练解题技能：掌握一元一次不等式组的解法，会利用数轴确定不等式组的解集，能解特殊形式的不等式组，准确求出整数解、特殊解。 · 突破参数难点：学会根据不等式组的解集、解的情况求参数取值范围，掌握方程组与不等式组结合的综合题型解法。 · 强化应用能力：能从实际问题中提炼不等关系，列出一元一次不等式组，解决行程、工程、经济、分配、方案选择、阶梯收费等各类实际应用题，规范解题步骤和书写格式。03 知识•梳理 知识点1. 一元一次不等式组的定义 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 判定核心要素： ① 只含有同一个未知数； ② 每个不等式都是一元一次不等式（未知数次数为1，系数不为0，分母不含未知数）； ③ 不等式的个数至少2个。 知识点2. 一元一次不等式组的解集 定义：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 无解情况：若各个不等式的解集没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解。 知识点3. 解不等式组的定义 求一元一次不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 知识点4. 一元一次不等式组的解法步骤 1. 分别求解：求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 数轴表示：在同一条数轴上，分别画出各个不等式的解集； 3. 找公共部分：通过数轴找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集； 4. 写出解集：规范写出不等式组的解集，无解则直接写“无解”。 知识点5. 四种基本不等式组的解集规律（设a＜b） 不等式组类型 数轴表示 解集 口诀 向右画，取右侧 同大取大 向左画，取左侧 同小取小 中间区域 大小小大中间找 无重叠 无解 大大小小找不到 易错提示：含等号时，数轴上画实心圆点；不含等号时，画空心圆圈，口诀同样适用，参数问题注意端点是否能取等号。 知识点6. 特殊不等式组形式 · 连写型：，等价于，直接确定解集； · 含绝对值型（基础）：转化为普通不等式组求解； · 含分母/括号型：先去分母、去括号，再求解集。 知识点7. 一元一次不等式组整数解 先求出不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数），端点处注意是否包含整数。 知识点8. 实际应用核心步骤 1. 审题，找准所有不等关系； 2. 设未知数，根据不等关系列出不等式组； 3. 解不等式组，结合实际意义确定解集（如人数、件数为正整数）； 4. 检验结果，写出答案。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式组的定义】 解题思路： 紧扣定义三要素：同一未知数、每个都是一元一次不等式、至少2个不等式，逐一排查选项，排除含多个未知数、未知数次数不为1、分母含未知数、单个不等式的情况。 【典例1】．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 求不等式组的解集】 解题思路： 按照“解每个不等式→数轴表示→找公共部分→写解集”的步骤，熟练运用口诀快速确定，数轴画图要规范，区分实心点和空心圈，避免公共部分找错。 【典例2】．不等式组的解集为________． 跟随训练2-1．解不等式组：． 跟随训练2-3．解不等式组： 【题型3 解特殊不等式组】 解题思路： 连写型不等式直接拆分或同步运算；含分母、括号的先化简整理；含绝对值的转化为普通不等式组，再按常规步骤求解，注意去分母时符号和系数变化。 【典例3】．如图，已知直线：与直线：（）在第一象限交于点M．若直线与x轴的交点为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 跟随训练3-2．已知的解集为，则的解集为________． 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 解题思路： 先精准求出不等式组解集，再在数轴上标注解集范围，逐一找出其中的整数，注意端点是否包含整数，区分正整数、非负整数、负整数等特殊要求。 【典例4】．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 跟随训练4-1．不等式组的所有整数解的和为______． 跟随训练4-2．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 解题思路： 先解出含参数的不等式解集，结合已知解集，利用“同大取大、同小取小”口诀，借助数轴分析参数取值，重点判断端点是否能取等号，这是易错点。 【典例5】．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练5-2．关于的不等式组的解集为，则___________． 【题型6 由不等式组解的情况求参数】 解题思路： 分“有解、无解、只有几个整数解”三类情况，先化简不等式组，借助数轴画出解集范围，分类讨论参数边界，整数解类问题先确定整数解，再反推参数范围。 【典例6】．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【题型7 不等式组和方程组结合的问题】 解题思路： 先解方程组，用含参数的式子表示x、y，再根据题目要求（如x、y为正数、x>y）列出不等式组，求解不等式组得到参数取值范围，核心是“先解方程组，再列不等式组”。 【典例7】．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 跟随训练7-1．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【题型8 列一元一次不等式组】 解题思路： 审题抓关键词：至少、至多、不少于、不超过、不足、不低于等，转化为对应不等号（≥、≤、＜、＞），找准所有不等关系，设未知数后列出不等式组，不遗漏任何一个不等关系。 【典例8】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【题型9 不等式组的行程问题】 解题思路： 核心公式：路程=速度×时间，抓住路程、时间、速度的不等关系，如“在规定时间内走完路程”“速度不超过/不低于某值”，结合相遇、追及、变速行程场景列不等式组求解。 【典例9】．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 跟随训练9-1．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 跟随训练9-2．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【题型10 不等式组的工程问题】 解题思路： 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常把工作总量看作1，抓住“工作时间不超过、工作量至少完成、多人合作效率”等不等关系，列不等式组求解，结果结合实际取整数。 【典例10】．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 跟随训练10-1．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 跟随训练10-2．某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【题型11 不等式组的经济问题】 解题思路： 核心公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，抓住售价、利润、成本、利润率的不等关系，如“利润不低于某值、成本不超过预算、售价范围”，列不等式组求解。 【典例11】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-1．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-2．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【题型12 不等式组的分配问题】 解题思路： 常见物品分配、人员分配场景，抓住“物品有剩余、不够分、人数为正整数”，设分配数量，列出“大于某值、小于某值”的不等式组，整数解即为符合条件的结果。 【典例12】．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 跟随训练12-1．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 跟随训练12-2．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【题型13 不等式组的方案选择问题】 解题思路： 先根据题意列出不等式组，求出未知数的整数解，每一个整数解对应一种方案，再计算每种方案的成本、利润，选出最优方案（最省钱、最盈利）。 【典例13】．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 跟随训练13-1．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 跟随训练13-2．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【题型14 不等式组的阶梯收费问题】 解题思路： 常见水费、电费、话费、出租车费等阶梯计费，先确定收费档位，根据费用范围确定用量范围，分档位列出不等式组，求出对应用量的取值范围，注意分段计费规则。 【典例14】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 跟随训练14-1．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 跟随训练14-2．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 05 过关•检测 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 3．一个三角形的三边长度分别为，2，5，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 6．若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 7．若实数x，y满足，，则的值为________． 8．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 9．不等式组的整数解是_______________． 10．一次函数的图象恒过定点，若与都在一次函数图象上，满足成立，则的取值范围__________． 11．解不等式组：． 12．解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 13． 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 14．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料： 张力为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张三合板的尺寸（单位：）都是，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是；乙型尺寸是． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列填空： (1)按照方法一的裁剪方法，请在图1中画出示意图，剩下的余料面积是________； (2)按照方法二的裁剪方法，请在图2中画出示意图，剩下的余料面积是________； (3)按照方法三的裁剪方法，剩下的余料面积是________； (4)经过核算，张力需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照张力的需求，可以采用两种或三种裁剪方法并用，请你设计一种购买三合板的省钱方案，此时________张按方案一裁剪，________张按方案二裁剪，________张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是________元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4一元一次不等式组 （8知识点+14大题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式组的定义】 1 【题型2 求不等式组的解集】 3 【题型3 解特殊不等式组】 4 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 6 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 8 【题型6 由不等式组解的情况求参数】 10 【题型7 不等式组和方程组结合的问题】 11 【题型8 列一元一次不等式组】 13 【题型9 不等式组的行程问题】 14 【题型10 不等式组的工程问题】 19 【题型11 不等式组的经济问题】 22 【题型12 不等式组的分配问题】 25 【题型13 不等式组的方案选择问题】 28 【题型14 不等式组的阶梯收费问题】 32 · 掌握核心定义：理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的定义，精准判断一元一次不等式组，区分与一元一次不等式、方程组的差异。 · 熟练解题技能：掌握一元一次不等式组的解法，会利用数轴确定不等式组的解集，能解特殊形式的不等式组，准确求出整数解、特殊解。 · 突破参数难点：学会根据不等式组的解集、解的情况求参数取值范围，掌握方程组与不等式组结合的综合题型解法。 · 强化应用能力：能从实际问题中提炼不等关系，列出一元一次不等式组，解决行程、工程、经济、分配、方案选择、阶梯收费等各类实际应用题，规范解题步骤和书写格式。03 知识•梳理 知识点1. 一元一次不等式组的定义 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 判定核心要素： ① 只含有同一个未知数； ② 每个不等式都是一元一次不等式（未知数次数为1，系数不为0，分母不含未知数）； ③ 不等式的个数至少2个。 知识点2. 一元一次不等式组的解集 定义：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 无解情况：若各个不等式的解集没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解。 知识点3. 解不等式组的定义 求一元一次不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 知识点4. 一元一次不等式组的解法步骤 1. 分别求解：求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 数轴表示：在同一条数轴上，分别画出各个不等式的解集； 3. 找公共部分：通过数轴找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集； 4. 写出解集：规范写出不等式组的解集，无解则直接写“无解”。 知识点5. 四种基本不等式组的解集规律（设a＜b） 不等式组类型 数轴表示 解集 口诀 向右画，取右侧 同大取大 向左画，取左侧 同小取小 中间区域 大小小大中间找 无重叠 无解 大大小小找不到 易错提示：含等号时，数轴上画实心圆点；不含等号时，画空心圆圈，口诀同样适用，参数问题注意端点是否能取等号。 知识点6. 特殊不等式组形式 · 连写型：，等价于，直接确定解集； · 含绝对值型（基础）：转化为普通不等式组求解； · 含分母/括号型：先去分母、去括号，再求解集。 知识点7. 一元一次不等式组整数解 先求出不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数），端点处注意是否包含整数。 知识点8. 实际应用核心步骤 1. 审题，找准所有不等关系； 2. 设未知数，根据不等关系列出不等式组； 3. 解不等式组，结合实际意义确定解集（如人数、件数为正整数）； 4. 检验结果，写出答案。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式组的定义】 解题思路： 紧扣定义三要素：同一未知数、每个都是一元一次不等式、至少2个不等式，逐一排查选项，排除含多个未知数、未知数次数不为1、分母含未知数、单个不等式的情况。 【典例1】．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 跟随训练1-1．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 跟随训练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【题型2 求不等式组的解集】 解题思路： 按照“解每个不等式→数轴表示→找公共部分→写解集”的步骤，熟练运用口诀快速确定，数轴画图要规范，区分实心点和空心圈，避免公共部分找错。 【典例2】．不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集即可． 【详解】解： 解①得． 解②得． ∴不等式组的解集为． 跟随训练2-1．解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”再确定出公共解集即可得． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式的解集为：． 跟随训练2-3．解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后取两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 【题型3 解特殊不等式组】 解题思路： 连写型不等式直接拆分或同步运算；含分母、括号的先化简整理；含绝对值的转化为普通不等式组，再按常规步骤求解，注意去分母时符号和系数变化。 【典例3】．如图，已知直线：与直线：（）在第一象限交于点M．若直线与x轴的交点为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线交点象限符合问题，将代入直线的解析式得，联立两个解析式求出的坐标，根据象限符号特征求解即可． 【详解】解：直线与x轴的交点为， ， ， 直线：， 联立得， 解得：， 在第一象限， ， 解得：， 故选：D． 跟随训练3-1．一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 跟随训练3-2．已知的解集为，则的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 解题思路： 先精准求出不等式组解集，再在数轴上标注解集范围，逐一找出其中的整数，注意端点是否包含整数，区分正整数、非负整数、负整数等特殊要求。 【典例4】．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 跟随训练4-1．不等式组的所有整数解的和为______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，找出不等式组的所有整数解，再计算所有整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①，去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 系数化为得， 解不等式②，去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为． 跟随训练4-2．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 解题思路： 先解出含参数的不等式解集，结合已知解集，利用“同大取大、同小取小”口诀，借助数轴分析参数取值，重点判断端点是否能取等号，这是易错点。 【典例5】．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 跟随训练5-1．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 跟随训练5-2．关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 【题型6 由不等式组解的情况求参数】 解题思路： 分“有解、无解、只有几个整数解”三类情况，先化简不等式组，借助数轴画出解集范围，分类讨论参数边界，整数解类问题先确定整数解，再反推参数范围。 【典例6】．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 跟随训练6-1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 跟随训练6-2．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 【题型7 不等式组和方程组结合的问题】 解题思路： 先解方程组，用含参数的式子表示x、y，再根据题目要求（如x、y为正数、x>y）列出不等式组，求解不等式组得到参数取值范围，核心是“先解方程组，再列不等式组”。 【典例7】．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 跟随训练7-1．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 跟随训练7-2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 【题型8 列一元一次不等式组】 解题思路： 审题抓关键词：至少、至多、不少于、不超过、不足、不低于等，转化为对应不等号（≥、≤、＜、＞），找准所有不等关系，设未知数后列出不等式组，不遗漏任何一个不等关系。 【典例8】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 跟随训练8-1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 跟随训练8-2．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【题型9 不等式组的行程问题】 解题思路： 核心公式：路程=速度×时间，抓住路程、时间、速度的不等关系，如“在规定时间内走完路程”“速度不超过/不低于某值”，结合相遇、追及、变速行程场景列不等式组求解。 【典例9】．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 跟随训练9-1．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 跟随训练9-2．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 【题型10 不等式组的工程问题】 解题思路： 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常把工作总量看作1，抓住“工作时间不超过、工作量至少完成、多人合作效率”等不等关系，列不等式组求解，结果结合实际取整数。 【典例10】．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 跟随训练10-1．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 跟随训练10-2．某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为：． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 【题型11 不等式组的经济问题】 解题思路： 核心公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，抓住售价、利润、成本、利润率的不等关系，如“利润不低于某值、成本不超过预算、售价范围”，列不等式组求解。 【典例11】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 跟随训练11-1．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 跟随训练11-2．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 【题型12 不等式组的分配问题】 解题思路： 常见物品分配、人员分配场景，抓住“物品有剩余、不够分、人数为正整数”，设分配数量，列出“大于某值、小于某值”的不等式组，整数解即为符合条件的结果。 【典例12】．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 跟随训练12-1．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 跟随训练12-2．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【题型13 不等式组的方案选择问题】 解题思路： 先根据题意列出不等式组，求出未知数的整数解，每一个整数解对应一种方案，再计算每种方案的成本、利润，选出最优方案（最省钱、最盈利）。 【典例13】．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 跟随训练13-1．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 跟随训练13-2．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 【题型14 不等式组的阶梯收费问题】 解题思路： 常见水费、电费、话费、出租车费等阶梯计费，先确定收费档位，根据费用范围确定用量范围，分档位列出不等式组，求出对应用量的取值范围，注意分段计费规则。 【典例14】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 跟随训练14-1．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 跟随训练14-2．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 05 过关•检测 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 2．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】A 【分析】根据流程图结合程序操作进行了两次后停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 3．一个三角形的三边长度分别为，2，5，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形任意一边的长度大于另外两边长度之差，小于另外两边长度之和，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， 即， 解得：． 4．已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），以及点到两坐标轴距离相等的条件（横、纵坐标的绝对值相等），列不等式组与方程求解的值，同时验证解的合理性． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式组得， 点到两坐标轴的距离相等， ， 又，， ， 即， 移项得， 解得， ，符合条件， 的值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、解一元一次不等式组、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系的相关知识． 5．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式，求一次函数的最值等，先解方程组得到解为 ，再逐一验证各结论是否正确． 【详解】解：∵ 方程组为 ， 用得：， ∴ ， 代入⑥得：， ∴ ， ∴ 方程组的解为 ． 对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误； 对于结论②：当 时，，， ∴ ，，互为相反数，∴ ②正确； 对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， 则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确； 对于结论④：， ∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确； 综上，②③④正确， 故选：D． 6．若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 7．若实数x，y满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：． 将代入，得， 即， 解得， ∴． 8．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 9．不等式组的整数解是_______________． 【答案】-1，0，1 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解法，掌握其解法是解题的关键． 先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后从中找出整数解即可． 【详解】解不等式， 根据不等式的性质2，两边同时乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 因此，不等式组的解集为， 所以该不等式组的整数解为-1，0，1， 故答案为：-1，0，1． 10．一次函数的图象恒过定点，若与都在一次函数图象上，满足成立，则的取值范围__________． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，有理数的乘法法则，解不等式，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． 由一次函数图象恒过定点代入得，进而得到函数解析式．再计算点P和Q的纵坐标，结合条件得到不等式，结合，解不等式，即可解题． 【详解】解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴函数解析式为． ∵点与在函数图象上， ∴，， 由，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 即或， 解得或． 又， ∴k的取值范围为或或． 故答案为：或或． 11．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”是关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法求解即可． 【详解】解：， ①去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得，， ②去分母得，， 移项合并同类项得，， 解得，， ∴不等式组的解集为：． 12．解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 13． 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 【答案】任务：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元；任务：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台；任务：获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元 【分析】任务：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元，根据“购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元”列出方程组求解即可； 任务：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台，根据“商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元”列出不等式组求解即可； 任务：分别求出商场选择三种进货方案进货销售完两种家电后所获的利润，然后进行比较即可得出答案． 【详解】任务：解：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元， 依题意，得：， 解得：， 答：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元； 任务：解：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台， 依题意，得：， 解得：， ∴、、， ∴有三种进货方案： 方案一：购进冰箱台，彩电台； 方案二：购进冰箱台，彩电台； 方案三：购进冰箱台，彩电台； 答：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台； 任务：解：由任务知：销售一台冰箱所获利润为：（元），销售一台彩电所获利润为：（元）， 若选择方案一进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案二进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案三进货，则所获利润为：（元）； ∵， ∴获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用等知识点，解题的关键是明确题意，利用二元一次方程组、一元一次不等式组解决问题． 14．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料： 张力为了给新买的房子装修，需要购置三合板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张三合板的尺寸（单位：）都是，每张的价格是200元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是；乙型尺寸是． 为了充分利用好原料（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张三合板裁剪3个甲型材料，再裁剪2个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张三合板裁剪2个甲型材料，再裁剪4个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张三合板裁剪1个甲型材料，再裁剪7个乙型材料，剩下的是余料． 请完成下列填空： (1)按照方法一的裁剪方法，请在图1中画出示意图，剩下的余料面积是________； (2)按照方法二的裁剪方法，请在图2中画出示意图，剩下的余料面积是________； (3)按照方法三的裁剪方法，剩下的余料面积是________； (4)经过核算，张力需要甲型材料11个，乙型材料18个．按照张力的需求，可以采用两种或三种裁剪方法并用，请你设计一种购买三合板的省钱方案，此时________张按方案一裁剪，________张按方案二裁剪，________张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是________元． 【答案】(1)42 (2)52 (3)35 (4)1，4，0，1000或2，2，1，1000或3，0，2，1000 【分析】（1）根据长方形的面积减去3个正方形和3个长方形的面积，即可求解； （2）根据长方形的面积减去2个正方形和4个长方形的面积，即可求解； （3）根据长方形的面积减去1个正方形和7个长方形的面积，即可求解； （4）设张按方案一裁剪，张按方案二裁剪，张按方案三裁剪，可满足需求，列出不等式，找到最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （） （2）解：如图所示， （） （3）解：依题意，（） （4）解：设张按方案一裁剪，张按方案二裁剪，张按方案三裁剪，可满足需求 ∴ ∴当时，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 另外，当时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 当时，满足不等式①和②，共购买五张三合板，符合题意，价格为（元） 综上所述，1张按方案一裁剪，4张按方案二裁剪，0张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元； 或2张按方案一裁剪，2张按方案二裁剪，1张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元； 或3张按方案一裁剪，0张按方案二裁剪，2张按方案三裁剪，即可满足需求．购买三合板的总费用最少是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $