6.2 二元一次方程组的解法（第六课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

6.2 二元一次方程组的解法（第六课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购5本A种图书和2本B种图书共需元，采购2本A种图书和5本B种图书共需元，则A种图书的单价为元，B种图书的为元，则依据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组，分别表示对应两次购书的总费用是解题的关键．根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元和采购2本A种图书和5本B种图书共需元，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元，可列方程：； 采购2本A种图书和5本B种图书共需元，可列方程：； 正确的方程组为：． 故选：C． 2．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据“乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚”，可列方程，根据“甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚”，可列方程，即得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 3．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 4．A，B两地相距72km，甲、乙两人骑行，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，两人同时出发，4h后相遇．若骑行6h，此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍，则甲、乙两人的骑行速度分别为（   ） A．6km/h和12km/h B．12km/h和4km/h C．8km/h和10km/h D．20km/h和10km/h 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据“4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时， 依题意得：， 解得：． 故答案选：C. 5．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 6．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 二、填空题 7．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 8．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．若设“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 本题根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， 因此：， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 故答案为：． 三、解答题 9．设适当的未知数，列出二元一次方程（组）． (1)小红用1张50元的纸币买了5本笔记本和2支中性笔，找回18元； (2)根据图中给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格． 【答案】(1)设买1本笔记本需要元，买1支中性笔需要元， (2)设T恤衫每件元，矿泉水每瓶元， 【分析】（1）设每本笔记本的价格为元，每支中性笔的价格为元。根据“本笔记本的总价支中性笔的总价找回的元付出的元”这一等量关系列方程； （2）设每件恤衫的价格为元，每瓶矿泉水的价格为元。根据图中“件 T 恤瓶矿泉水元”和“件恤瓶矿泉水元” 的信息，列出二元一次方程组． 【详解】（1）解：设买本笔记本需要元，买支中性笔需要元． 由题意，得． （2）解：设恤衫每件元，矿泉水每瓶元． 由题意，得 【点睛】本题考查了根据实际问题列二元一次方程（组），解题关键是从题目或图形中找到两个等量关系，再设出适当的未知数，将等量关系转化为方程（组）． 10．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【B能力提升】 1．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 2．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 3．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克_________元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握根据题意列出对应方程并正确计算是解题的关键． 设苹果和柚子的单价，根据题意列出方程组，通过消元法求解柚子的价格． 【详解】解：设苹果每千克元，柚子每千克元．根据题意，得： ， 由得， 解得． 故答案为：． 4．我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 【答案】 【分析】设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为，然后设再购进的错题本，三角板，圆规数为，根据题意表示出购进后三角板的总数量和购进后圆规的总数量，进而求解即可． 【详解】解：设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为， 设再购进的错题本，三角板，圆规数为， ∴购进后错题本，三角板，圆规总数为， ∴购进后错题本的总数量为，三角板的新购进数量为， ∴， ∴， ∴购进后圆规总数为， ∴购进后三角板的总数为， ∴购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 5．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 【C综合与实践】 1．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 【答案】(1)第一层最少有个图案， (2)不可以，理由见解析． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． （1）先求出与的最小公倍数为，进而得出答案； （2）设图案的层数为，图案的层数为，列出方程组，进而得出答案． 【详解】（1）解：与的最小公倍数为， （个）， 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有个图案． （2）不可以，理由如下： ∵的形状分别为公分公分的长方形，的形状分别为公分公分的长方形， ∴， ∵第一层的图案数量与（1）求出之值相同， ∴第二层的图案最少有个， 设图案的层数为，图案的层数为， ， 解得：， ∵为整数， ∴不可以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 二元一次方程组的解法（第六课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 训练内容： 【1】根据实际问题列二元一次方程组 【2】行程问题(二元一次方程组的应用 【2】工程问题(二元一次方程组的应用) 【3】分配问题(二元一次方程组的应用) 【4】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【5】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【A基础达标】 一、单选题 1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购5本A种图书和2本B种图书共需元，采购2本A种图书和5本B种图书共需元，则A种图书的单价为元，B种图书的为元，则依据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．A，B两地相距72km，甲、乙两人骑行，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，两人同时出发，4h后相遇．若骑行6h，此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍，则甲、乙两人的骑行速度分别为（   ） A．6km/h和12km/h B．12km/h和4km/h C．8km/h和10km/h D．20km/h和10km/h 5．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 6．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题 7．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 8．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．若设“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为______． 三、解答题 9．设适当的未知数，列出二元一次方程（组）． (1)小红用1张50元的纸币买了5本笔记本和2支中性笔，找回18元； (2)根据图中给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格． 10．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【B能力提升】 1．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 2．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 3．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克_________元． 4．我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 5．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【C综合与实践】 1．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $