5.3.2函数的最大(小)值 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2函数的最大（小）值 练习 一、单选题 1．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 2．函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 5．函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 7．已知函数，当函数的大致图象为下图时，a可能的值是（    ） A．0.4 B．0.8 C． D．2 8．已知函数，则函数的极值情况是（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 二、多选题 9．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数在上单调递增 B．若，则函数在上有2个极值点 C．，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D．若函数在上单调递增，则的最小值为 11．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 三、填空题 12．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 13．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 14．设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 四、解答题 15．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 16．已知函数在和处取极值． (1)求，； (2)，，求的最大值． 17．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C D A D AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 2．A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 3．C 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 4．D 【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可. 【详解】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 5．C 【分析】先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解. 【详解】由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 6．D 【分析】求得，根据题意，得出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数既有极大值又有极小值， 则满足，解得且． 7．A 【分析】利用图象的单调性可确定极值情况，再借助导数来研究零点情况，即可确定参数范围，从而可得到选项判断. 【详解】函数定义域为，求导： ， 令， 根据图像可知：先减、再增、再减，说明存在两个正的极值点， 所以二次方程有两个不同的正零点， 即方程有两个不等正根，且开口向下， 由判别式可得：， 由韦达定理可得：， ，故， 综上可得：，故A正确. 8．D 【详解】，函数单调递增，无极值． 9．AC 【详解】根据函数，有导函数， 根据图可知的分布如图所示： 当时，导函数，函数，因此导函数， 因此函数在单调递增，故A正确； 当时，，因此，所以， 函数在单调递减，故B错误； 当时，，因此， 根据图可知当时，导函数， 当时，导函数， 因此在单调递增，在单调递减， 因此是函数的极小值点，因此当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，， 所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 10．ABD 【分析】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断；函数的极值，即判断导函数是否有变号的零点. 【详解】对于选项A，当时，， 则， 当时，， 当时，则， 故当时，，故函数在上单调递增.故A正确； 对于选项B，当时，，令=0， 即，考虑两函数的交点情况如图： 可知，则函数在上有2个极值点.故B正确； 对于选项C，，使得函数在上递增，在上递减， 则函数在取最大值， 由为指数型函数在上不存在最大值，为有界函数， 故没有最大值.故C错误； 对于选项D，函数在上单调递增， 则恒成立， 则，在上单调递增， 令，则， 令，则，得，. 因为周期函数，在上单调递减， 故的最大值在中取得， 当时，，恒成立； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 故的最大值为， 从而,即的最小值为.故D正确. 11．ABD 【详解】由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确； 函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确. 12． 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 13． 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 14． 【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 15．(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 16．(1)， (2) 【分析】（1）求出，利用取极值得到的两根为和，列方程组求解即可. （2）先判断函数的单调性，求出在上的最值，再根据求解即可. 【详解】（1）. 因为在和处取极值， 所以，即，解得. 所以 当时，， 在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值. 因此，. （2）由（1）知函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值， 又，，所以时，，， 所以当，时，． 17．(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 18．(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $