7.3.2 离散型随机变量的方差 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 【基础巩固】 1．已知随机变量的分布列为 则（ ） A． B． C． D． 2．若随机变量满足，则（ ） A． B． C． D． 3．袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，则的方差为（ ） A． B． C． D． 4．已知某人每次投篮命中率为，投进一球得分，投不进得分，记投篮一次的得分为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（ ） A． B．随增大而增大 C． D．最小值为 6．设随机变量的分布列如下： 若，则________；________. 7．设，且随机变量的分布列是 则的最小值为______． 8．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【能力拓展】 9．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有个红球，个白球；盒中有个红球，个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ） A． B． C． D． 10．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（）不等式和切比雪夫（）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（ ） A． B． C． D． 11．以下命题中正确的有______（填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 【素养提升】 12．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2 离散型随机变量的方差 【基础巩固】 1．已知随机变量的分布列为 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由随机变量的分布列，可得：， 所以方差为. 故选：D. 2．若随机变量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故. 故选C. 3．袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，则的方差为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的可能取值为2，3，，，故，. 故选A. 4．已知某人每次投篮命中率为，投进一球得分，投不进得分，记投篮一次的得分为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，服从两点分布，可得，，， 则， 当，即时取得最大值为， 故选：B． 5．（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（ ） A． B．随增大而增大 C． D．最小值为 【答案】AD 【解析】由期望公式，可得，故A正确，B错误； 因为，故C错误，D正确． 故选：AD． 6．设随机变量的分布列如下： 若，则________；________. 【答案】； 【解析】依题意可得，解得； 则， ， 因为，所以. 故答案为：； 7．设，且随机变量的分布列是 则的最小值为______． 【答案】 【解析】由分布列得， 则， 当时，取得最小值． 故答案为：. 8．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】见解析 【解析】(1)由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： (2)由(1)中随机变量的分布列，可得， . 设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【能力拓展】 9．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有个红球，个白球；盒中有个红球，个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知， ， ， 则的分布列为： 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 可得，； 所以. 故选：A. 10．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（）不等式和切比雪夫（）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得切比雪夫不等式的形式为， 而由题得到， 而由方差的定义得，则， 得到的具体形式为，故D正确. 故选：D. 11．以下命题中正确的有______（填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 【答案】①②④ 【解析】①若是常数，则，则，①正确； ②，即无变化，是常数，②正确； ③如果是随机变量，，那么，③错误； ④设的期望值分别为， 则，故 ， 其中为两个独立的随机试验所对应的随机变量，故， 所以，④正确． 故答案为：①②④ 【素养提升】 12．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1) ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为， 则； ②依题可知，的可能取值为， 则， ， ， 所以， ； (2)设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 比较可知， 所以甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $