第一次数学月考自测卷-2025-2026学年八年级下学期《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（北师大版）

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，得， 再根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，得，故A选项一定成立，符合题意； B．当时，，此时，不满足，故B选项不一定成立，不符合题意； C．∵ ∴，故C选项不成立，不符合题意； D．根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，得，故D选项不成立，不符合题意． 故选：A． 2．在数轴上表示不等式组，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集； 根据向左是小于，向右是大于，实心圆点是包括，空心圆圈不包括，进行判定即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴表示如下： 故选：B． 3．若不等式的解集是，则必须满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，根据不等式的解集是即可得到即可得到答案； 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得：， 故选：D． 4．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（   ） A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90° C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90° 【答案】D 【分析】在四边形中，至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于”时，等于应先假设：四边形中每一个内角都大于90°． 故选：D． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．如图，在中，，，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以4cm长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点并连接，则的长是（    ）          A．2cm B．2.5cm C．5cm D．3cm 【答案】D 【分析】先在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再由基本作图得到垂直平分，所以，则，接着证明为等边三角形，所以，根据等边三角形的性质得到，然后在中利用含30度角的直角三角形的关系求出的长． 【详解】解：在中，， ∴，， 由基本作图法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，， ∵点是的中点， ∴，， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形三边关系，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 6．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 7．如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 8．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】B 【分析】设可打x折，根据售价=标价×打折率和利润=售价-进价=进价×利润率列出不等式求解即可. 【详解】解：设可打x折，则有1200x÷10-800≥800×5%， 解得：x≥7， 即最多打7折． 故选：B. 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 9．如图，把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，再根据等腰三角形性质和三角形的外角性质得，然后根据三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】解：把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、等腰三角形性质、三角形内角与外角的性质等知识，熟练掌握这些性质是解答此题的关键． 10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是等边三边垂直平分线的交点， ，、分别平分和， ， ，即， 而，即， ， 在和中， ， ， ，，①正确； ， 四边形的面积，③错误； 作，如图，则， ， ， ，， ， ， 即随的变化而变化， 而四边形的面积为定值， ；②错误； ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为__________． 【答案】 【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可． 【详解】解：∵没有人能打破该项记录， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 12．请你写出一个满足不等式的非负整数解x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 首先求出不等式的解集，然后求出非负整数解即可． 【详解】解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴满足不等式的非负整数解x的值为． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和外角的性质可推出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__度． 【答案】15 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=∠CGD=30°， ∵DF=DE， ∴∠E=∠DFE=15°． 故答案为：15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是关键． 15．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有四个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，边长为6的等边三角形中，D是上一点且，为的外角的角平分线，将沿翻折得到，交于点F，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，过点F作于H，由等边三角形性质与折叠性质得，从而得，得出，又由，，得出，设，则，，则，，然后在中，由勾股定理，得，求解得：，即可求解. 【详解】解：连接，过点F作于H，    ∵边长为6的等边， ∴，， ∵， ∴， ∵为的外角的角平分线， ∴， 由翻折得：，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，翻折的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解题的关键. 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，， 在数轴上表示为： 18．求不等式组的非负整数解． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，然后在解集中找到非负整数． 【详解】解： 解不等式①得：，     解不等式②得：，         将不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：，     ∴不等式组的非负整数解是． 19．如图，在中：    (1)作的平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于E，于F，垂足为点O．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，判断与边的位置关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)平行，见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂直平分线的方法求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后根据垂直平分线的性质得到，进而得到，得到，即可证明出． 【详解】（1）如图所示，      （2）结论：． 理由：由作图可知，， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作角平分线和垂直平分线方法． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm. （1）求证：FC=AD； （2）求AB的长. 【答案】（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm. 【详解】试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可． 试题解析：（1）∵AD∥BC ∴∠ADC=∠ECF ， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC ， ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA) ， ∴FC=AD ； （2）∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF ， ∵BE⊥AE ， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF ， ∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 21．黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元； （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1) A种树每棵100元，B种树每棵80元；(2) 当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元． 【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答； （2）设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为（100-x）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得x的取值范围，结合实际付款总金额=0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答． 【详解】解：（1）设A种树木每棵x元，B种树木每棵y元，根据题意，得 ，解得 ， 答：A种树木每棵100元，B种树木每棵80元． （2）设购买A种树木x棵，则B种树木（100－x）棵，则x≥3（100－x）．解得x≥75． 又100－x≥0，解得x≤100．∴75≤x≤100． 设实际付款总额是y元，则y＝0.9[100x＋80（100－x）]． 即y＝18x＋7 200． ∵18＞0，y随x增大而增大，∴当x＝75时，y最小为18×75＋7 200＝8 550（元）． 答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，为8 550元． 22．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC． (1)求证：△PMN是等边三角形； (2)若AB＝9 cm，求CM的长度． 【答案】(1)见解析；（2）CM＝3cm 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=9cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【详解】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A=∠B=∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°， ∴∠PMB=∠MNC=∠APN， ∴∠NPM=∠PMN=∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA=BM=CN，PB=MC=AN， ∴BM+PB=AB=9cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴2PB=BM， ∴2PB+PB=9cm， ∴PB=3cm， ∴CM=3cm． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键． 23．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点． ①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　． ②可看作经过怎样的变换得到的？　 　． (2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由； (3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离． 【答案】(1)①，；②可看作绕点顺时针旋转得到的；(2)(1)中的结论①依然成立；理由见解析；(3) 【分析】（1）①证明，得出，，，根据，即可得出结论； ②由①知：，且，则可看作绕点顺时针旋转得到的； （2）同（1）的方法证明，得出，，，根据，即可得出结论； （3）过点作于，过点作，交延长线于，得出是等腰直角三角形，证明，则，进而得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①、都为等边三角形， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：，； ②由①知：， ，，， ， 可看作绕点顺时针旋转得到的， 故答案为：可看作绕点顺时针旋转得到的； （2）若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下： 、都为等边三角形， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）过点作于，过点作，交延长线于，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在数轴上表示不等式组，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式的解集是，则必须满足（    ） A． B． C． D． 4．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（   ） A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90° C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90° 5．如图，在中，，，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以4cm长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点并连接，则的长是（    ）          A．2cm B．2.5cm C．5cm D．3cm 6．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定 的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 9．如图，把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为__________． 12．请你写出一个满足不等式的非负整数解x的值：______． 13．如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点E，垂足为点D，如果，则_______． 14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__度． 15．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是_____． 16．如图，边长为6的等边三角形中，D是上一点且，为的外角的角平分线，将沿翻折得到，交于点F，则的长为______．    三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 18．求不等式组的非负整数解． 19．如图，在中：    (1)作的平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于E，于F，垂足为点O．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，判断与边的位置关系，并说明理由； 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm. （1）求证：FC=AD； （2）求AB的长. 21．黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元； （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 22．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC． (1)求证：△PMN是等边三角形； (2)若AB＝9 cm，求CM的长度． 23．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点． ①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　． ②可看作经过怎样的变换得到的？　 　． (2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由； (3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $