第一次数学月考提升卷-2025-2026学年八年级下学期《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（北师大版）

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列表达式中：①，②，③，④，⑤中，不等式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D． 7．如图，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 9．已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 10．如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，_________． 12．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 13．在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_____． 14．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为_____． 15．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为________． 16．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）（1） 解不等式，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 18．（10分）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（10分）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 20．（10分）为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元． (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价； (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个． 21．（10分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 23．（12分）如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列表达式中：①，②，③，④，⑤中，不等式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．根据不等式的定义，不等号有<，>，≤，≥，≠，选出即可． 【详解】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如<，>，≤，≥，≠，  则不等式有：①②④⑤．  故选：D 2．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质——性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此即可判断答案． 【详解】解：A、，原不等式成立，符合题意； B、，原不等式不成立，不符合题意； C、，原不等式不成立，不符合题意； D、，原不等式不成立，不符合题意； 故选：A． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先求得每个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如图所示： ， 故选：A． 4．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线， ， ， 故选：B． 5．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余；分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为， 故选：C． 7．如图，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等． 【详解】解： ，， 在和中， ， （HL）． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件． 8．如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∴是线段的垂直平分线， ∴，D正确，不符合题意； 在，是斜边，是直角边，， ∴C错误，符合题意． 故选：C． 9．已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，折叠的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质，列代数式即可得出答案． 【详解】解： ，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 故选：D． 10．如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，恰当运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是，易证，，，为等边三角形，由三角形内角和定理证得，在中，；在上取一点，使，可证得是等边三角形及，据此可进一步来判断各个结论的正确性． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ， 故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，_________． 【答案】/70度 【分析】根据三角形的外角解题即可． 【详解】解：由三角形的外角的性质可知，． 12．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有三个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， 由得，即， 故不等式组的解集为． 由于解集有且只有三个整数解，且， ∴整数解为 ，，． ∴． 故答案为：． 13．在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_____． 【答案】12 【分析】延长到点，使得，连接，证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图, 延长到点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，E为边的中点， ∴． 14．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是先利用勾股定理求出的长度，再结合等腰直角三角形的边角关系求的长． 由，用勾股定理求出；根据且，判定为等腰直角三角形；利用等腰直角三角形的性质求出，即点到的距离． 【详解】解：， ． 在中，由勾股定理得， ， ， ． ， ． 又， 是等腰直角三角形． ∵，, ， ∴． 故答案为：． 15．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等式是关键．解不等式，可得出，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式的解集，结合二者即可得出结论． 【详解】解：， ； 观察函数图象，发现： 当时，直线的图象在的图象的上方， 不等式的解为． 综上可知：不等式的解集为． 故答案为：． 16．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】连接，根据等腰直角三角形性质，推出，，，进而证明，结合全等三角形性质即可判断①，利用全等三角形性质，结合勾股定理即可判断②，设，根据等腰直角三角形性质，勾股定理，以及垂线段最短，推出与的面积关系，即可解题． 【详解】解：连接， ，， ， D是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故①结论正确； ， ， ， ， ， ， 故②结论错误； 设， 则的面积为， ， ， 当时，最小， 此时，且的面积为， 当与重合时，最大， 此时，且的面积为， 不与点A，C重合， 的面积取不到， 即若，的面积分别为，， 则， 故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）（1） 解不等式，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次不等式组、以及在数轴上表示不等式的解集，能够正确求解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）利用不等式的性质，先去分母，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上的表示如图． （2） ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 18．（10分）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 中，， ． 19．（10分）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 20．（10分）为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元． (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价； (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个． 【答案】(1)每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元； (2)最多可以购买A型停放架3个． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．购买总费用不超过3000元，据此列出一元一次不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元． 根据题意，得方程组： 解得： 答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元． （2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个． 根据题意，得不等式： 化简： 解得 答：最多可以购买A型停放架3个． 21．（10分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 22．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 23．（12分）如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)线段的长不变，恒为6，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，得到，则，设，进而得到，，列方程求解即可； （2）过作交于点，，得到，，推出，由题意得，则，证明，得到，即可得证； （3）由题意可得，由（2）知，得到，根据是等边三角形，，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解： 是边长为的等边三角形， ，， 又 ， ， ∵、同时出发，速度相同，即 ∴可设， ，， 在中，， ，即， 解得， 当时，； （2）证明：如图，过作交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，， 是等边三角形， ， 、同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点； （3）解：线段的长不变，恒为6，理由如下： 是边长为的等边三角形， ， 由（2）知， ， 是等边三角形，， ， ，即的长不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $