第一次数学月考自测卷-2025-2026学年八年级下学期《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（人教版）

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第十九章-第二十章（人教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解 ：A 、是最简二次根式； B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式； D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选A． 3．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B． C．6，7，10 D． 【答案】B 【分析】先求出每个选项中两个较小数的平方和，再求出最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形． 【详解】解：选项A：最长边为3，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 选项B：最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合题意． 选项C：最长边为10，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 选项D：三边长为，最长边为25，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 4．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误． ∵，∴D选项正确． 6．如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：，而，， ， ． 故选：A． 7．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 9．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 10．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：___________． 【答案】5 【分析】根据直接计算得到结果． 【详解】解：． 12．计算：__________． 【答案】 【详解】解： ． 13．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∴． ∴践踏草坪少走的距离为． 故答案为：4． 15．小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 【答案】3 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积分别为45、9， ∴，，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确运用计算法则是正确解决本题的关键． （1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘法，再算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（10分）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 19．（10分）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 20．（10分）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．（10分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 22．（10分）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 23．（12分）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)240米 (2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140米 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，过C作于点D，根据三角形面积求得的长即可； （2）由于米，小于安全距离250米．因此公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，需要暂时封锁．连接、，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ， 是直角三角形，． 如图，过C作于点D， ∴， 即， ∴米， 答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米． ∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 连接、， 米，， ， ∵在中，（米）， （米）， 即需要封锁的公路长为140米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第十九章-第二十章（人教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B． C．6，7，10 D． 4．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 7．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 10．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：___________． 12．计算：__________． 13．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 15．小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 16．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： (1)； (2)； 18．（10分）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（10分）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 20．（10分）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 21．（10分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 22．（10分）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 23．（12分）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $