第一次数学月考提升卷-2025-2026学年八年级下学期《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（浙教版）

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1章-第2章（浙教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项：的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 3．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减、除法运算及算术平方根的性质，需根据相关法则逐一判断选项正误． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴选项A错误，不符合题意； ∵， ∴选项B错误，不符合题意； ∵， ∴选项C正确，符合题意； ∵， ∴选项D错误，不符合题意； 故选C． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 6．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 7．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 8．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 9．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的定义，对于说法①，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根；对于说法②，通过已知条件推导、与的关系，再代入目标方程计算判别式；对于说法③，将已知根代入原方程，再验证目标值是否满足新方程． 【详解】解：对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 10．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3． 12．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题关键，根据两根之积等于，代入数据求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为． 在一元二次方程中，根据根与系数的关系，两根之积为． 对于方程，其中，， ∵有一个根为2． ∴，解得． 故答案为：4． 13．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ， 化为一般形式为：． 故选：或． 14．如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________． 【答案】 【分析】根据所给排列方式，依次求出与所表示的数即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，表示的数为． 又∵第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…，第n排有n个数， ∴前n排数的总个数为：． 当时，， 则， ∴截止到第15排从左向右的第7个数，共有112个数． 又∵这列数是按照的顺序排列的， 则， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之积是． 15．毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 【答案】30 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． 设班级学生总人数为x名，则每名同学发送条短信，总短信数为，解一元二次方程即可． 【详解】设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 16．一组数按如下规律排列：                                                                        a        照此规律，回答下列问题： （1） ． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键． （1）根据被开方数为，即可求解； （2）是第个数，进而得出位置，再用有序数对表示，即可求解． 【详解】解：（1）观察数据，被开方数为，， 故答案为：． （2） 是第个数， ∵ ∴第个数是第行第个数， ∴ 记作有序数对 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， 解得，． 19．（8分)已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2) (3)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算出的值，再利用完全平方公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （2）先计算出，的值，再利用平方差公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （3）先计算出， 的值，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴． 20．（8分)定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 21．（10分)如图1是一个由个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． (1)若，则这个魔方的棱长为_______； (2)在（1）的条件下，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)阴影部分的面积，边长为 (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，二次根式的性质化简，实数与数轴，熟知立方根和算术平方根的求解方法是解题的关键． （1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，再利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，进而得到滚动前点D表示的数，再求出滚动一周的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为； 当时，， 即这个魔方的棱长为 故答案为：． （2）∵这个魔方的棱长为 ∴每个小立方体的边长为， ∴； 边长为 （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∴点D表示的数为， ∵，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，滚动的距离为， ∴边再次回到数轴上时，点在数轴上表示的数是． 22．（10分)体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)这种跳绳和排球套装每套应降价9元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为套，月份的销售量为套，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由待定系数法求出该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为，再根据该商店要想使月销售利润达到元，列出列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得：，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 23．（10分)问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 24．（10分）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第1章-第2章（浙教版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 9．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 12．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 13．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________． 14．如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________． 15．毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 16．一组数按如下规律排列：                                                                        a        照此规律，回答下列问题： （1） ． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)计算： (1)； (2)． 18．（8分)解方程： (1)； (2)． 19．（8分)已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 20．（8分)定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 21．（10分)如图1是一个由个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． (1)若，则这个魔方的棱长为_______； (2)在（1）的条件下，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 22．（10分)体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 23．（10分)问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 24．（10分）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $