7.1.2复数的几何意义 同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.2复数的几何意义 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做__________，y轴叫做________．实轴上的点都表示_______；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，_____的向量表示同一个复数. 3．复数的模 （1）定义:表示复数的向量的_______叫做复数的模或绝对值. （2）记法:记作_______或_______，即_______，其中. 如果，那么是一个实数，它的模就等于_______(的绝对值). 4.共轭复数 （1）定义:一般地，当两个复数的__________相等，虚部互为__________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_____________ （2）表示方法:复数的共轭复数用表示，即如果，那么 _____________ 5.复数的几何意义需注意哪些问题？ 【答案】（1）复数的实质是有序实数对． （2）复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i． （3）当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点都表示纯虚数(原点除外)． （4）复数中的z，书写时应小写，复平面内点中的Z，书写时应大写． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 4．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 5．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 8．已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 二、多选题 9．（多选）下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 10．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数的模的最大值为2 B．若，是纯虚数，则 C．时，复数对应的点在第一象限内 D．复数的模长为定值 11．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 三、填空题 12．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 13．若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于______对称． 14．已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则复数______. 四、解答题 15．设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 16．已知复数，求满足下列条件的实数的值： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点位于第三象限． 17．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 18．已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 19．复数z满足，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2复数的几何意义 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做__________，y轴叫做________．实轴上的点都表示_______；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数 2.复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，_____的向量表示同一个复数. 【答案】相等 3．复数的模 （1）定义:表示复数的向量的_______叫做复数的模或绝对值. （2）记法:记作_______或_______，即_______，其中. 如果，那么是一个实数，它的模就等于_______(的绝对值). 【答案】 模 4.共轭复数 （1）定义:一般地，当两个复数的__________相等，虚部互为__________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_____________ （2）表示方法:复数的共轭复数用表示，即如果，那么 _____________ 【答案】 实部 相反数 共轭虚数 5.复数的几何意义需注意哪些问题？ 【答案】（1）复数的实质是有序实数对． （2）复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i． （3）当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点都表示纯虚数(原点除外)． （4）复数中的z，书写时应小写，复平面内点中的Z，书写时应大写． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 【详解】根据题意，则. 故选：D. 2．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 3．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、实轴、虚轴上点对应的复数、复数的基本概念 【分析】 根据复数相关概念一一判定即可. 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误； 由共轭复数的定义可知C正确； 原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 故选：C 4．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 5．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的模计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 6．已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】由复数模求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数，则， 所以， 故. 故选：B 8．已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    二、多选题 9．（多选）下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、复数的基本概念、充要条件的证明、判断命题的真假 【分析】对于A选项根据复数的模的计算公式即可；对于B选项利用复数相等条件即可；对于C选项根据复数的模举反例即可；对于D选项不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小推断即可. 【详解】对于选项A：任意复数（）的模总成立．故A正确； 对于选项B：由复数相等的条件，故B正确； 对于选项C：若，， 若，则有，，所以．反之由，推不出， 反例：如，时，故C正确； 对于选项D：取，满足，但不能比较大小，故D错误. 故选：ABC 10．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数的模的最大值为2 B．若，是纯虚数，则 C．时，复数对应的点在第一象限内 D．复数的模长为定值 【答案】BCD 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】AD选项，利用模长公式得到，A错误，D正确；B选项，根据复数类型得到方程和不等式，求出；C选项，当时，，C正确. 【详解】AD选项，， 故，A错误，D正确； B选项，且，即且， 又，故，B正确； C选项，当时，， 故且，复数对应的点在第一象限内，C正确. 故选：BCD 11．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 三、填空题 12．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【知识点】复数的向量表示、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 13．若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于______对称． 【答案】直线 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义，求出，，进而得到答案. 【详解】复数对应的坐标，复数对应的坐标， 因为与横纵坐标互换，所以关于直线对称， 故答案为：直线. 14．已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则复数______. 【答案】或 【知识点】复数的向量表示 【分析】设点的坐标为，根据三角函数的定义求出、的值，即可得出复数的值. 【详解】如图，设点的坐标为. 因为，， 根据三角函数的定义可知或， 即点的坐标为或，所以或. 故答案为：或. 四、解答题 15．设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值. (1)点在第二象限； (2)点在直线上. 【答案】(1) (2)或 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数对应的点坐标在第二象限解不等式可得结果； （2）由点在直线上解方程，可得或. 【详解】（1）复数对应的点坐标为， 如满足点在第二象限，则须有 解得. （2）如点在上， 则有，即或. 16．已知复数，求满足下列条件的实数的值： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点位于第三象限． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的概念以及几何意义，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意，得，解得或． （2）由题意，得解得． （3）由，解得，所以． 17．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的向量表示、共轭复数的概念及计算、复数的相等 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【详解】（1）因为 , 所以， 又， 所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 18．已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 19．复数z满足，求的取值范围. 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义得出表示以为圆心，为半径的圆，再由圆的对称性确定的取值范围. 【详解】解：表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 如图，从图中可直观地得到的最小值为， 的最大值为， ∴的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $