第一次月考数学自测卷-2025-2026学年七年级下学期《初中数学名校真题全刷：月考・期中・期末真卷》（北师大版）

2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 6．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 9．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 10．如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．_______． 12．如图，，交于点，于点．若，则_____°． 13．若，则_____________． 14．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 15．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 16．如图，分别平分．若，则__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）化简： (1) (2)； 18．（8分）先化简，再求值：，其中， 19．（10分）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数． 20．（10分）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（10分）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 22．（12分）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 23．（12分）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第1-2章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：米米． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故选：C． 4．若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 将左边多项式展开，与右边对应项系数比较即可确定和的值． 【详解】解：等式左边， 等式右边， 比较系数可得一次项系数：；常数项：， ，． 故选：． 5．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线、对顶角，解决本题的关键是熟记相关性质，注意强调同一平面内．根据平行线的定义、性质以及对顶角相等，即可解答． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项说法错误，不符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该选项说法错误，不符合题意； D、两直线相交，对顶角相等，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 7．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 8．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 9．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键， 根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， 展开得， ∴， 则． 10．如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算．应用积的乘方法则进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 13．若，则_____________． 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂相除，已知式子的值求代数式的值，利用同底数幂的除法法则，将原式转化为，再代入已知条件计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：81． 14．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 16．如图，分别平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）化简： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别计算单项式的乘法和除法，再合并即可； （2）利用完全平方公式和整式的乘法计算，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代入计算即可得． 【详解】解：原式    将， 代入 原式 19．（10分）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直定义，角的和差计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据平角的计算得到，由此即可求解； （2）根据题意得到，根据平角得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：的度数比的度数大， ， 由（1）得， ，     ． 20．（10分）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查了数字的变化类，完全平方公式， （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④，…， ∴第⑤个算式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：， 证明： 所以此等式成立． 22．（12分）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 23．（12分）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $