第04讲 勾股定理及其应用（1）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第04讲 勾股定理及其应用1 【题型1】勾股树（数）问题 例题1．下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【针对训练】 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 2．下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2】用勾股定理解三角形 例题1．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 2．如图，是的高，，，，则_____． 【题型3】勾股定理与网格问题 例题1．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型4】勾股定理与折叠问题 例题1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【针对训练】 1．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 3．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 4．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 5．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【题型5】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题1．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 2．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【题型6】利用勾股定理证明线段平方关系 例题1．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 2．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 3．如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【题型7】以弦图为背景的计算题 例题1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【针对训练】 1．我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 2．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．    3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【题型8】勾股定理与无理数 例题1．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 3．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【题型9】以直角三角形三边为边长的图形面积 例题1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【针对训练】 1．的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________． 2．如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 3．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 【题型10】勾股定理在几何问题中的应用 例题1．如图，在中， (1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求线段的长． 【针对训练】 1．如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 3．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第04讲勾股定理及其应用1 【题型1】勾股树（数）问题 例题1.下列三组数中，是勾股数的是() A.3,9,7 B.2,3,4 C.12,16,20 D.4,5,6 【详解】解：对选项A,:32+72=9+49=58,92=81,58≠81， A不是勾股数； 对选项B,:22+32=4+9=13,42=16,13≠16， B不是勾股数； 对选项C,:122+162=144+256=400,202=400, ·.12+162=202,且三个数均为正整数， C是勾股数； 对选项D,42+52=16+25=41,62=36,41≠36， D不是勾股数. 【针对训练】 1.下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,5 B.0.6,0.8,1 C.5,13,14 D.3,4,5 【详解】解：A、√不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； B、0.6,0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、:52+132=25+169=194,142=196,194≠196，.不满足勾股数条件，故选项不符合 题意； D、:32+42=9+16=25=52,且三个数均为正整数，.是勾股数，故选项符合题意. 2.下列各组数中是勾股数的是() A.2,3,4B.0.3,0.4,0.5C.8,11,12 D.16,30,34 【详解】解：A.22+32=4+9=13,42=16,13≠16，故该选项不是勾股数，不符合题意， B.0.3,0.4,0.5不是正整数，故该选项不是勾股数，不符合题意， C.82+112=185,122=144,185≠144，故该选项不是勾股数，不符合题意， D.162+302=1156,342=1156,且16,30,34均为正整数，故该选项是勾股数，符合题 意， 【题型2】用勾股定理解三角形 试卷第1页，共3页 例题1.如图，在长方形ABCD中，点E是BC的中点，且AE=AD,连接AC,若BE=2, 则AC的长是() A.4W万 B.35 C.2W7 D.42 【详解】解：：长方形ABCD, .AD=BC=AE,∠ABC=90°， :E是BC的中点， .BC=2BE=4, :AB=√AE2-BE2=V42-22=2V5, 4C=VAB2+8C=V25+42=2W万 【针对训练】 1.如图，在ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD,过点D作DE⊥AB于点E.若 E为AB的中点，AC=8,△BCD的周长为14，则AE的长为 E 【详解】解：：DE⊥AB于点E,E为AB的中点， DE为线段AB的垂直平分线， :AD BD, :△BCD的周长为14，即BD+BC+CD=14, :AD +BC +CD=14, AD+CD=AC=8, BC=14-AC=14-8=6, :∠C=90°， .在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, 试卷第1页，共3页 即62+82=AB2, AB=10, :E为AB的中点， :AB=AB=x10=5. 2 2 2.如图，AD是ABC的高，LBAD=45°，AC=13cm,CD=5cm,则S.ABc= 【详解】解：：AD是ABC的高， LADC=∠ADB=90°， :在Rt△ACD中，AC=13cm,CD=5cm, 由勾股定理得：AD=VAC2-CD2=12cm, :∠BAD=45°，∠ADB=90°， ∠BAD=∠ABD=45°， :AD BD =12cm .BC=BD+CD=12+5=17(cm), :a4BC的面积为：号×BC×AD=)×17×12=102(cm2), 2 【题型3】勾股定理与网格问题 例题1.如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，ABC的三个顶点都在格点 上，则边AC的长是() A.5 B.5 C.√o D.3 【详解】解：根据题意AC=VP+32=0 试卷第1页，共3页 【针对训练】 1.如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则 ABC中AB边上的高为() B.3 C.5 D. 9 A.3 5 【详解】解：设AB边上的高为h,BC边上的高为h, :BC=3,AB=V32+42=5,h=3, S.nc=BCh=4Bh .3×3=5h, 9 解得：h=5' 故选：D, 2.如图，网格中小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在格点上，以点A为圆心， AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E,连接AE,则CE的长为() B A.1 B.3 C.3-V5 D.5 【详解】解：由题意可得，∠ADC=90°，AE=AB=3, AD2+DE2=AE2,AD=2, .22+DE2=32, DE=5, ·CE=CD-DE=3-5, 故选：C. 【题型4】勾股定理与折叠问题 试卷第1页，共3页 例题1.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,将ABC折叠，使点B与AC的 中点F重合，折痕为DE,则CE的长为() D B A.5 B.4 C.3 D.2 【详解】解：由题意知，AF=CF=AC=4,EF=BE, 设CE=x,则BE=BC-CE=8-x, 在RtACEF中，EF2=CF2+CE2, .(8-x)2=42+x2, 解得x=3, 即CE=3. 【针对训练】 1.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将斜边AB翻折，使点 A落在直角边BC延长线上的点D处，折痕为BE,则CD的长为() D A.1 B.2 C.3 D.4 【详解】解：：∠ACB=90°，AC=6,BC=8, AB=AC2+BC2=10, 由翻折的性质得BD=AB=10, :CD=AB-BC=2. 故选：B。 2.如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜 试卷第1页，共3页 边上的点处，再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B处.若图中∠A=90°， DE=3cm,CD=4cm,则DA的长为 D B-- 【详解】解：，将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜边上的点A处，∠A=90°， ZDA'C=LA=90°，ZADC=∠ADC=∠ADA .DA'⊥BC, 再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B处， ∠ADA'+LBDB'=180°，∠B'DE=∠BDE=∠BDB, ∠CDE=∠HDC+∠B'DE=∠AD+∠BD)=90. .'DE =3cm CD=4cm, ∴.CE=√DE2+CD2=5(cm), S.cm-CE-DA-DE-CD. 2 D4'=DE-CD 12 CE 5 cm). 3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC上的F处，己知AB=6,△ABF的面 积为24，则EC的长为 D B F 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，AD=BC,CD=AB=6,∠C=90°， :△ABF的面积=AB.BF=x6BF=24, .BF=8, 试卷第1页，共3页 AF=AB2+BF2=10, “折叠， :AF=AD=BC=10,DE=EF :FC=BC-BF=2, 设CE=x,则DE=EF=6-x, 在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2=CF2+CE2, (6-x2=x2+22, 8 解得x 3, c5- 4.在长方形ABCD中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），AB=10,AD=6.点E 在边AD上，沿CE折叠，点D落在边AB的F处，求△AEF的面积. D-- E A F B 【详解】解：由折叠可得△CDE≌△CFE, .DE=FE,CD=CF=10, :四边形ABCD是长方形，AB=10,AD=6, .BC=AD=6,CD=AB=10,∠A=∠B=90°， 在RtABCF中，BF=VCF2-BC2=V102-62=8, .AF=2, 设AE=x,则DE=FE=6-x, 在RtAAEF中，得x2+4=(6-x2, 解得，x=8 :△AEF的面积为)4FAE=2x2写兮 1 88 5.有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长. 试卷第1页，共3页 【答案】3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先由勾股定理求解AB,然后利用折叠的性质得到CD=DE,∠AED=∠C=9O°，再 由面积法得到SBDx4C=BxDE,据比求解即可。 2 【详解】解：：有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm,BC=8cm, ∴AB=√AC2+BC2=10cm, 由折叠可得CD=DE,∠AED=∠C=90°， Sum-7BDX AC-1 ABx DE 1 x(8-CD)x6=x10xCD, 1 解得CD=3. 【点晴】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可 以通过设CD=DE=x,再对Rt△BDE运用勾股定理建立方程求解. 【题型5】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题1.如图，在aCDE中，∠CDE=90°，DE=12cm,CE=13cm,以CD为边作正方形 ABCD,则正方形ABCD的面积是() A D 12cm E 13cm A.5cm2 B.25cm2 C.144cm2 D.169cm2 【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°， 由勾股定理得：CD2=CE2-DE2=132-122=25, ·SE方形4cD=CD2=25cm2. 故选：B. 【针对训练】 试卷第1页，共3页 1.如图，在ABC中，AB=13,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD上任意一点，则 CD-BD的结果为() B D C A.7 B.33 C.231 D.569 【详解】在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2=AB2-AD2, 同理可得CD2=AC2-AD2, 所以CD2-BD2=AC2-AB2=202-132=231. 故选：C 2.如图，在ABC中，AC=AD,BD=I0,CD=8,记AB长为x,AC长为y.当x, y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是() A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E, AC=AD,CD=8, :DE=2CD=4,∠4ED=LAEC=90°， BD=10, .BE=BD+DE=10+4=14, :在RtAADE和Rt△ABE中， AB2-BE2=AD-DE2, x2-142=y2-42, 试卷第1页，共3页 x2-y2=180, .x2-y2的值不变. 故选：D 3.如图，在ABC中，AC=AD,BD=5,CD=4,记AB长为x,AC长为y.当x,y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(） B D A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E, B D E AC=AD,CD=4, DE=CD=2,∠4ED=∠4Ec=90 :BD=5, BE=BD+DE=5+2=7, :在RtAADE和Rt△ABE中， AB2-BE2=AD2-DE2, x2-72=y2-22, x2-y2=45, x2-y2的值不变. 故选：D 【题型6】利用勾股定理证明线段平方关系 例题1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,那么下列结论正确的是() 试卷第1页，共3页