第08讲 图形的旋转（知识详解+17典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 图形的旋转（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转及其相关概念 旋转的定义 一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点， 按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的三要素 ①旋转中心：如点𝑂 ；②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠𝐴𝑂𝐷 ,∠𝐵𝑂𝐸或∠𝐶𝑂𝐹 。 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 按顺时针方向旋转一定角度得△𝐷𝐸𝐹 旋转中的 对应元素 对应点 点𝐴与点𝐷,点𝐵与点𝐸，点𝐶 与点𝐹 。 对应线段 𝐴𝐵与𝐷𝐸,𝐴𝐶与𝐷𝐹,𝐵𝐶 与𝐸𝐹 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐷𝐸𝐹,∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐹𝐸 。 注意：旋转的范围是在平面内，否则有可能旋转成立体图形。 【知识点02】旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 【知识点03】旋转的性质 示意图 性质 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 逆时针旋转𝑛°得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，点𝑃，𝑃′ 是一对对应点。 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′。  𝑂𝐴=𝑂𝐴′ ，𝑂𝐵=𝑂𝐵′ ，𝑂𝐶=𝑂𝐶′ ，𝑂𝑃=𝑂𝑃′ 。 ∠𝐴𝑂𝐴′=∠𝐵𝑂𝐵′=∠𝐶𝑂𝐶′=∠𝑃𝑂𝑃′=𝑛° 。 辨析：轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 【知识点04】中心对称和中心对称图形 1.中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 注意：（1）中心对称图形指的是一个图形； （2） 中心对称图形只有一个对称中心。 2.中心对称：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称。这个点叫作对称中心。这两个图形中的对应点叫作对称点。 示例 中心对称 _________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是他们的对称中心。 注意：（1）中心对称是两个图形之间的关系； （2）中心对称只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部、内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合。 辨析： 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的。 （2）是指两个图形的（位置）关系。 （3）对称点在两个图形上。 （4）对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。 （1）是针对一个图形而言的。 （2）是指具有某种性质的一个图形。 （3）对称点在一个图形上。 （4）对称中心在图形上或图形内部。 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，则这两个图形成中心对称。 中心对称图形与轴对称图形的对比 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称。 关于某一条直线对称。 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。 沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合。 举例 线段、平行四边形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形。 线段、角、等腰三角形、长方形、正多边形等都是轴对称图形。 规律：边数为偶数的正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形； 边数为奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 【知识点05】中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 可根据性质确定对称中心的位置： ①将中心对称图形的一对对称点相连得到一条线段，其中点即对称中心； ②将中心对称图形的两对对称点分别相连得到两条不共线的线段，它们的交点即对称中心 教材延伸 成中心对称的两个图形的性质 （1）成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.根据中心对称的性质作已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤 【知识点06】关于原点对称的点的坐标特征 在直角坐标系中，点与点 关于原点成中心对称。 教材延伸 中点坐标公式 若点，关于点对称，则 ，，点是线段 的中点。 【题型一】根据旋转的性质求解 例1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，由题可知，，，设，则，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知，，， 设，则， ， 矩形周长为． 故选：B． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波）已知是正内一点，，，，则___________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理．把绕点B顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，，可判断为等边三角形，所以，，而，则，然后在中根据勾股定理计算，从而得到的长． 【详解】解：为等边三角形， ，， 如图，把绕点B顺时针旋转得到，连接， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级·浙江金华·期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 　 　； （2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）或；（3）存在，0或4+4或4﹣4或4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）①当P在的右侧，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论； （3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP的长． 【详解】解：（1）连接BP， 设点P到直线AB的距离为h， Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4， ∴AB＝＝4， ∵AP＝AB， ∴AP＝AB＝4， ∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB， ∴h＝OB＝4， 即点P到直线AB的距离是4， 故答案为：4； （2）存在两种情况： ①如图1，当P在的右侧，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°， ∵OB＝OA＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB＝4，∠OAB＝45°， 由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP， ∴△OBP≌△O'BP（AAS）， ∴O'B＝OB＝4， ∴AO'＝4﹣4， Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8； ②如图所示：当P在的左侧， 由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4， ∵∠BAO＝45°， ∴PO'＝PO＝AO'＝4+4， ∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8； （3）分4种情况： ①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0； ②当BP＝PQ时，如图3， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°， ∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB， ∴∠APB＝22.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB＝4， ∴OP＝4+4； ③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°， △PCA中，∠APC＝22.5°， ∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP＝4， ∴OP＝4﹣4； ④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于对称， ∴此时OP＝4； 综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4． 【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，作出图形分类讨论是解题的关键． 【题型二】根据旋转的性质说明线段或角相等 例2．如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（    ）．    A．平分 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质得到，，，即可对选项进行判断． 【详解】解：∵三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于， ∴的对应边为，的对应边为， ∴，，， ∴平分， 通过已知条件不能得出， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 变式1．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作BH⊥PC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=60°， ∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图， ∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°， ∴△PBD为等边三角形， ∴PD=PB=，∠BPD=60°， 在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4， ∴PC2+PD2=CD2， ∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°， ∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°， ∴∠BPH=30°， 在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=， ∴BH=PB=，PH=BH=3， ∴CH=PC+PH=2+3=5， 在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28， ∴BC=2， ∴ABC的边长为2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理． 变式2．（23-24八年级.浙江宁波·期末）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝　 　． (2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°． ①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点； ②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、二次根式的乘法、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，MN2=AM2+BN2，代入计算即可； （2）①将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，利用SAS证明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可证明结论； ②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，由①同理可证△MCE≌△MCN（SAS），得ME=MN，从而有MN2=AM2+BN2，将数据代入计算可得BM． 【详解】（1）解：∵△ANM是直角三角形，MN＞AM，MN＞BN， ∴MN2=AM2+BN2， ∴32=22+BN2， ∴BN=； （2）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， 将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP， ∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN， ∴∠MAP=90°， ∵∠MCN=45°，∠NCP=90°， ∴∠MCP=∠MCN=45°， ∵CM=CM，CP=CN， ∴△MCN≌△MCP（SAS）， ∴MN=PM， ∵MP2=AM2+AP2， ∴MN2=AM2+BN2， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点； 将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME， ∴AE=BN=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°， ∴∠MAE=90°， ∵∠ACE+∠ECB=90°， ∴∠BCN+∠ECB=90°， ∴∠ECN=90°， ∵∠MCN=45°， ∴∠ECM=45°=∠MCN， 在△MCE和△MCN中， ， ∴△MCE≌△MCN（SAS）， ∴ME=MN， ∵ME2=AM2+AE2， ∴MN2=AM2+BN2， ∴（+BM）2=（）2+（）2， ∴BM=． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量． 【题型三】画旋转图形 例3．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 变式1．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 变式2．（2023八年级·浙江·专题练习）图①②是5×6的方格纸，△ABC的三个顶点及点O都在格点上． (1)在图①中画出△ABC以直线AC为对称轴的轴对称图形． (2)将图②中的△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、画旋转图形 【分析】（1）结合网格特点作出点B关于直线AC的对称点，再与点A、C首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）如图①所示，△ADC即为所求； （2）如图②所示，△A′B′C′即为所求． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质和旋转的性质作图，准确分析是解题的关键． 【题型四】求绕原点旋转90度的点的坐标 例4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3） 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 变式1．将点绕原点顺时针旋转后坐标变为___________． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转；建立平面直角坐标系，然后根据旋转的性质找出点的对应位置，再写出坐标即可． 【详解】解：如图，点绕原点顺时针旋转后坐标变为． 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）直接写出点B关于点C的对称点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（0，−2）． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据轴对称性质即可在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）根据旋转的性质即可画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）根据B（−2，4），C（−1，1）．即可写出点B关于点C对称点的坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）点B关于点C对称点的坐标为（0，−2）． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换，作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． 【题型五】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例5．如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【答案】B 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】根据将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意，B（0，1），D（0，﹣1）， ∵将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°， ∴旋转后的点B与原来的点B关于点D对称， ∴旋转后点B的坐标为（0，﹣3）， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 变式1．如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A'B'C'，若点A（-2，3），点A'（0，-1），则点D的坐标是__________． 【答案】（-1，1） 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】设D（m，n），利用中点坐标公式，构建方程求解即可． 【详解】解：设D（m，n）， ∵AD=DA′，A（-2，3），点A'（0，-1）， ∴m==-1，n==1， ∴D（-1，1）， 故答案为：（-1，1）． 【点睛】本题考查中心对称，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【题型六】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例6．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 变式1．在直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】分成在坐标轴上和在每个象限上时，分情况进行讨论，求得的坐标． 【详解】解：当在坐标轴上时，的坐标是； 当在第一象限时，作轴于点，作轴于点， ， ， 在和中， ， ， ， 则的坐标是； 同理，当在第四象限时，在第三象限，坐标是； 总之，不论在任何位置，的坐标是； 故答案是：． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 【题型七】线段问题(旋转综合题) 例7．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(旋转综合题) 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 变式1．如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 【答案】/ 【知识点】线段问题(旋转综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【题型八】角度问题(旋转综合题) 例8．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度问题(旋转综合题) 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 变式1．（22-23八年级·浙江宁波·期中）如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求、的长； (3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)；，证明见解析 【知识点】角度问题(旋转综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定． （1）由旋转可知，即可得出， （2）由旋转，可知，，故，利用勾股定理即可得出的长，过作于，再由，可得出，在中即可求出：，利用勾股定理即可得出的长； （3）如图，延长到点，使，记和的交点为点，利用可证得：可得，，故，结合，可得出：．利用可证得：，即可得出：，，即可证得． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∵， ∴； （2）∵，， ∴，． 由旋转，可知，， ∴， ∴． 过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）与有如下关系：，．理由如下： 如图，延长到点，使， ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． 又由旋转知， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型九】中心对称图形的识别 例9．（23-24八年级下·浙江金华·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·浙江·单元测试）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是______，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是______． 【答案】 ② 既是轴对称图形，又是中心对称图形 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】我最为欣赏的图标是②，根据中心对称与轴对称图形的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称图形， ①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形． 故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）如图分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上． （1）请在图中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形； （2）请在图中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形且不是轴对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】中心对称图形的识别、画旋转图形、轴对称图形的识别 【分析】（1）作点A、B关于某直线的对称点得到等腰梯形ABCD； （2）把AB平移得到平行四边形ABEF． 【详解】（1）如图①，如图，四边形ABCD为所作； （2）如图②，四边形ABEF为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换． 【题型十】判断中心对称图形的对称中心 例10．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 变式1．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ___________．    【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识．根据将绕点旋转得到，可知这两个三角形关于中心对称，设，利用中点坐标公式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意，即为的中点， ，，则有， 解得， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【答案】(1)点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)；． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标系中的动点问题（不含函数）、判断中心对称图形的对称中心、中点坐标 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）根据平行四边形性质可得，由点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； （）由题意得，，由上可知，，，然后通过即可求解； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合，根据动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，即； （2）解：根据题意得：当时，点坐标为，， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴为中点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为，即， ∵， ∴； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合， ∵动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动， ∴， ∴， ∵一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束， ∴． 【题型十一】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例11．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【答案】D 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项． 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转后都不能与自身重合，不是中心对称图形， 选④中的图形以方格的对角线的交点为中心旋转能与自身重合，是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的意义．本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【答案】见解析． 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图： 【题型十二】成中心对称 例12．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】B 【知识点】成中心对称 【详解】根据中心对称的性质解决问题即可． 解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 变式1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中有A，B，三个点，点B的坐标是，点A，点关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点A的坐标是______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、成中心对称 【分析】根据对称性得到点B为线段中点，由此得到将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与A重合，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点A，点关于点B中心对称， ∴点B为线段中点， ∵将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合， ∴将点A往右平移2个单位，再往上5个单位，则与B重合， ∴将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与A重合， ∴点A的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称的性质，点的平移规律，正确理解中心对称的性质是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）求证：在直角坐标系中，点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称． 【答案】见解析 【知识点】成中心对称、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△BDO（SAS），得到∠AOC=∠BOD，AO=BO，进而推出∠AOD+∠BOD=180°，即可得到将点A绕点O旋转180°后，点A与点B重合，即点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称． 【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D， ∵点A（x，y）与点B（－x，-y）， ∴OC=OD=x，AC=BD=y， ∵∠ACO=∠BDO=90°， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴∠AOC=∠BOD，AO=BO， ∵∠AOD+∠AOC=180°， ∴∠AOD+∠BOD=180°， ∴将点A绕点O旋转180°后，点A与点B重合，即点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，中心对称的定义，正确掌握全等三角形的判定定理及中心对称的定义是解题的关键． 【题型十三】画两个图形的对称中心 例13．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 【题型十四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例14．（2023八年级下·浙江·月考）如图，点O是的对称中心，，E、F是边上的点，且，G、H是边上的点，且，若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s． ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=s， ∵EF=AB，3GH=BC， ∴S1=s，S2=s， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 变式1．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 _____． 【答案】15 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3， ∴AB＝2， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 变式2．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据与关于C点成中心对称，得到是解答本题的关键．根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与关于C点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，． 即． 【题型十五】求关于原点对称的点的坐标 例15．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）在直角坐标系中，点关于原点对称的点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标是， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴，即 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查作图−旋转变换、平移变换，平移的坐标变换与关于原点中心对称点的坐标变换．解题关键是熟练掌握利用中心对称与平移的性质作图；平移的坐标变换规律：左加右减，上加下减；关于原点对称的点的坐标变换规律：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数． （1）先根据平移的性质作出平移后的三角形，再根据中心对称的性质作出即可； （2）先根据平移坐标变换规律：左减右加，得出平移后对应点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标变换规律：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数求解即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点向左平移2个单位后坐标为， 点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：. 【题型十六】已知两点关于原点对称求参数 例16．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）若点与点关于坐标原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点的对称点的特点列式求得a、b的值，然后求和即可解答． 【详解】解：∵点与点关于坐标原点对称， ∴， 解得：． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了点的坐标变化——中心对称，熟知关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解答本题的关键． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】3 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由点与点关于原点对称，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， 故答案为：3． 【题型十七】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 例17．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用旋转设计图案、设计轴对称图案、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】本题考查了平移、旋转、翻折的图形变换性质，掌握通过观察图形的基本单元和排列方式，判断其能否通过变换组合成目标图案的方法是解题的关键． 观察目标图案的结构，它是由单个星星通过平移、旋转构成的放射状图案，需对比每个选项的基本图形，判断其能否通过平移、旋转或翻折与目标图案匹配． 【详解】解：A、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，因为可以通过多次平移和适当的旋转操作使基本图形组成给定图案，不符合题意； B、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，例如先平移，再进行一定的旋转等操作可实现，不符合题意； C、无论经过怎样的平移、旋转或翻折操作，都无法得到给定图案，其图形的组合形式与给定图案不匹配，符合题意； D、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，可通过相应的图形变换操作实现，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图所示的是某煤气公司的商标图案，其外层可利用图形的______变换设计而成，内层可利用图形的______变换设计而成． 【答案】 旋转 轴对称 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】本题考查了旋转及轴对称的定义.根据图形结合旋转及轴对称的定义即可解答. 【详解】解：由题图可得图案的外层可看成是利用图形的旋转(或中心对称) 设计而成的，内层可看成是利用图形的轴对称设计而成的. 故答案为：旋转；轴对称. 变式2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【知识点】设计轴对称图案、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 一、单选题 1．下列漂亮的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可判断． 【详解】的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以， 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标变为相反数， 与关于x轴对称， 故选∶A． 3．如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ）度    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出，以及，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】如图所示，设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∵，， ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键． 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积（   ）． A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，旋转的性质，关键是求出，即得面积等于的面积．根据正方形性质得出，求出，根据证，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项． 【详解】解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，重叠部分四边形的面积不变， 故选：A． 6．如图，在中，，，将绕点A旋转至，使点在线段上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等的性质，等腰三角形的性质等知识，根据旋转的性质和全等三角形的性质可得出，，，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转至，使点在线段上， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（    ） ①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】求出 ， 为等边三角形，然后根据四边形的面积为 的面积和，等于，所以③错误，A、C、D项都含有③，排除． 故本题选择B项． 【详解】由题意知，，， 为等边三角形，,②正确， 又 ,， ， ①正确，， 又， 在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形 = ，③错误． 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示： 同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5， ∴，故④正确； 故选B． 【点睛】本题考查图形的旋转、等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，注意灵活运用旋转的性质． 8．等边的边长为，是上一点，，把绕点旋转一周，点的对应点为，连接，的中点为，连接．则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取中点，连接，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，把统点旋转一周， ∴ ， 等边的边长为，点是中点， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 9．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到△的位置，使得，则旋转角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，运用三角形的内角和定理求出即可解决问题． 【详解】解：，， ， 又、为对应点，点为旋转中心， ，即为等腰三角形， ， ． 即旋转角为． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 10．点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 11．如图，绕顶点顺时针旋转到位置，若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据旋转的性质，再利用角的和差定义求解即可． 【详解】解：绕顶点顺时针旋转到位置 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意可得在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号可得点P的横坐标为负，纵坐标为正，再列出不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限， ∴点P在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的性质、点所在象限的符号特征及不等式组的解法，解决问题的关键是确定出P点所在象限． 13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，点D在直线BC上运动，E是线段AD上一点，连接CE，将CE以C为旋转中心，顺时针旋转90°得到CF，连接EF，DF，BF．当△CDE为等边三角形时，点F到射线AD的距离为______． 【答案】 【分析】过点E作EG⊥AC于G，通过等边三角形的性质及勾股定理求出EG的长度，再通过旋转的性质解题即可． 【详解】过点E作EG⊥AC于G， ∵△CDE为等边三角形， ∴CE=CD=ED， ∠ECD=∠ADC=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠CAD=30°， ∴AE=CE，EG=， ∴AG=CG==3， 在Rt△AEG中，， ∴， ∴， 由旋转可知：CE=CF，∠ECF=90°， ∴AE=CE=CF=CD=ED=， 作FK⊥BC于K，FH⊥AD，交AD延长线于H． ∵∠FCK=∠ECF-∠ECD=30°， ∴FK=， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合问题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键． 14．如图，在三角板中，，，，将三角板绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边上时，的长为________．    【答案】3 【分析】由直角三角形的性质可求得BC的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到是等边三角形，从而得到，最后依据求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和旋转的性质，熟练掌握直角三角形的性质和旋转的性质是解题的关键. 15．已知：在中，，，点D在外，且，，，则________． 【答案】或30度 【分析】根据题意将绕点顺时针旋转得到，连接，得出，从而得出，证出是等边三角形，得出，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， 则如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． 16．如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________. 【答案】3 【分析】连接，由等边三角形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，即可． 【详解】解：连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 过点作于点， 点在直线上一动点， 点与点重合时，有最小值， ， ， ， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，解题的关键是证明． 三、解答题 17．取一副三角尺按图①所示的方式放在一起，，，固定三角尺，将三角尺以点A为中心按顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图②所示．当为多少度时，能使得？ 【答案】当时，能使得 【分析】根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据旋转的性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即当时，能使得． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等；旋转前后对应边的夹角等于旋转角． 18．下列各点中哪两个点关于原点对称？ ，，，，，，． 【答案】点C与点F关于原点O对称． 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数判断即可； 【详解】根据已知点可得，点C与点F关于原点O对称． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，准确分析判断是解题的关键． 19．（1）解方程：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，图形的旋转变换及其性质，勾股定理； （1）由因式分解将方程转化为，进而得或，据此可得出该方程的解即可； （2）由旋转的性质得，进而得，再根据得，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， ∴该方程的解为：； （2）解：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理：． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）画图见解析，；（2）画图见解析，（-2，2） 【分析】（1）根据关于y轴的点的坐标特征分别作出△ABC的各个顶点关于x轴的对称点，然后连线作图即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B、C2的坐标，然后描点即可得到△A2BC2，然后写出点A2的坐标． 【详解】解：（1）如图，即为所求； ∵是A（2，4）关于x轴对称的点， ∴根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：； （2）如图，即为所求， ∴的坐标为（-2，2）． 【点睛】本题考查轴对称及旋转作图，掌握点的坐标变化规律找准图形对应点正确作图是解题关键． 21．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了中心对称作图，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）首先确定A、B、C三点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的坐标特点即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：∵，，， ∴根据关于原点对称点的性质可得：． 22．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1， (2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2， (3)作出点C关于x轴的对称点P． 若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部（不含落在△A2B2C2的边上），请直接写出x的取值范围．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)点P位置见解析，5.5＜x＜8． 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征找出A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可； （3）利用关于x轴对称的点的坐标特征作出点P，再根据所画的图形可确定x的范围． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所作； （2）解：如图，△A2B2C2为所作； （3）解：点P位置如图所示，由图可知x的取值范围是：5.5＜x＜8． 【点睛】本题考查了作图——轴对称、中心对称，熟练掌握轴对称和中心对称的性质，找出对应点的位置是解题的关键． 23．点是中边的中点，，，将绕点逆时针旋转，使它两边分别交，（或，的延长线）于点，，，连接． (1)如图1，当点，分别在，上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在，的延长线上时，设四边形的面积为，，求与的函数关系式； (3)在（2）中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）过点D作，垂足为M，则，利用列式计算即可求解； （3）根据题意列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，点是中边的中点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：过点D作，垂足为M，则， 四边形的面积为 即； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，解一元二次方程．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 (4)或 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； （2）解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； （3）解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； （4）解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 图形的旋转（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转及其相关概念 旋转的定义 一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点， 按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的三要素 ①旋转中心：如点𝑂 ；②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠𝐴𝑂𝐷 ,∠𝐵𝑂𝐸或∠𝐶𝑂𝐹 。 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 按顺时针方向旋转一定角度得△𝐷𝐸𝐹 旋转中的 对应元素 对应点 点𝐴与点𝐷,点𝐵与点𝐸，点𝐶 与点𝐹 。 对应线段 𝐴𝐵与𝐷𝐸,𝐴𝐶与𝐷𝐹,𝐵𝐶 与𝐸𝐹 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐷𝐸𝐹,∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐹𝐸 。 注意：旋转的范围是在平面内，否则有可能旋转成立体图形。 【知识点02】旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 【知识点03】旋转的性质 示意图 性质 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 逆时针旋转𝑛°得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，点𝑃，𝑃′ 是一对对应点。 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′。  𝑂𝐴=𝑂𝐴′ ，𝑂𝐵=𝑂𝐵′ ，𝑂𝐶=𝑂𝐶′ ，𝑂𝑃=𝑂𝑃′ 。 ∠𝐴𝑂𝐴′=∠𝐵𝑂𝐵′=∠𝐶𝑂𝐶′=∠𝑃𝑂𝑃′=𝑛° 。 辨析：轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 【知识点04】中心对称和中心对称图形 1.中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 注意：（1）中心对称图形指的是一个图形； （2） 中心对称图形只有一个对称中心。 2.中心对称：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称。这个点叫作对称中心。这两个图形中的对应点叫作对称点。 示例 中心对称 _________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是他们的对称中心。 注意：（1）中心对称是两个图形之间的关系； （2）中心对称只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部、内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合。 辨析： 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的。 （2）是指两个图形的（位置）关系。 （3）对称点在两个图形上。 （4）对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。 （1）是针对一个图形而言的。 （2）是指具有某种性质的一个图形。 （3）对称点在一个图形上。 （4）对称中心在图形上或图形内部。 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，则这两个图形成中心对称。 中心对称图形与轴对称图形的对比 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称。 关于某一条直线对称。 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。 沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合。 举例 线段、平行四边形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形。 线段、角、等腰三角形、长方形、正多边形等都是轴对称图形。 规律：边数为偶数的正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形； 边数为奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 【知识点05】中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 可根据性质确定对称中心的位置： ①将中心对称图形的一对对称点相连得到一条线段，其中点即对称中心； ②将中心对称图形的两对对称点分别相连得到两条不共线的线段，它们的交点即对称中心 教材延伸 成中心对称的两个图形的性质 （1）成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.根据中心对称的性质作已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤 【知识点06】关于原点对称的点的坐标特征 在直角坐标系中，点与点 关于原点成中心对称。 教材延伸 中点坐标公式 若点，关于点对称，则 ，，点是线段 的中点。 【题型一】根据旋转的性质求解 例1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波）已知是正内一点，，，，则___________． 变式2．（22-23八年级·浙江金华·期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 　 　； （2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由． 【题型二】根据旋转的性质说明线段或角相等 例2．如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（    ）．    A．平分 B． C． D． 变式1．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________． 变式2．（23-24八年级.浙江宁波·期末）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝　 　． (2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°． ①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点； ②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长． 【题型三】画旋转图形 例3．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 变式2．（2023八年级·浙江·专题练习）图①②是5×6的方格纸，△ABC的三个顶点及点O都在格点上． (1)在图①中画出△ABC以直线AC为对称轴的轴对称图形． (2)将图②中的△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形． 【题型四】求绕原点旋转90度的点的坐标 例4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3） 变式1．将点绕原点顺时针旋转后坐标变为___________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）直接写出点B关于点C的对称点的坐标． 【题型五】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例5．如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1） 变式1．如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A'B'C'，若点A（-2，3），点A'（0，-1），则点D的坐标是__________． 【题型六】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例6．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．在直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为_____． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【题型七】线段问题(旋转综合题) 例7．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 【题型八】角度问题(旋转综合题) 例8．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级·浙江宁波·期中）如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求、的长； (3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由． 【题型九】中心对称图形的识别 例9．（23-24八年级下·浙江金华·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江·单元测试）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是______，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是______． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）如图分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上． （1）请在图中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形； （2）请在图中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形且不是轴对称图形． 【题型十】判断中心对称图形的对称中心 例10．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ___________．    变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【题型十一】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例11．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【题型十二】成中心对称 例12．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 变式1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中有A，B，三个点，点B的坐标是，点A，点关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点A的坐标是______． 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）求证：在直角坐标系中，点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称． 【题型十三】画两个图形的对称中心 例13．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 变式1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【题型十四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例14．（2023八年级下·浙江·月考）如图，点O是的对称中心，，E、F是边上的点，且，G、H是边上的点，且，若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 _____． 变式2．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长 【题型十五】求关于原点对称的点的坐标 例15．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）在直角坐标系中，点关于原点对称的点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 变式2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）． 【题型十六】已知两点关于原点对称求参数 例16．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）若点与点关于坐标原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【题型十七】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 例17．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图所示的是某煤气公司的商标图案，其外层可利用图形的______变换设计而成，内层可利用图形的______变换设计而成． 变式2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 一、单选题 1．下列漂亮的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 3．如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ）度    A． B． C． D． 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积（   ）． A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 6．如图，在中，，，将绕点A旋转至，使点在线段上，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（    ） ①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．等边的边长为，是上一点，，把绕点旋转一周，点的对应点为，连接，的中点为，连接．则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到△的位置，使得，则旋转角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．点关于原点对称的点的坐标是______． 11．如图，绕顶点顺时针旋转到位置，若，则的度数为_____． 12．已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是______． 13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，点D在直线BC上运动，E是线段AD上一点，连接CE，将CE以C为旋转中心，顺时针旋转90°得到CF，连接EF，DF，BF．当△CDE为等边三角形时，点F到射线AD的距离为______． 14．如图，在三角板中，，，，将三角板绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边上时，的长为________．    15．已知：在中，，，点D在外，且，，，则________． 16．如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________. 三、解答题 17．取一副三角尺按图①所示的方式放在一起，，，固定三角尺，将三角尺以点A为中心按顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图②所示．当为多少度时，能使得？ 18．下列各点中哪两个点关于原点对称？ ，，，，，，． 19．（1）解方程：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求的长． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标． 21．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 22．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1， (2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2， (3)作出点C关于x轴的对称点P． 若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部（不含落在△A2B2C2的边上），请直接写出x的取值范围．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度） 23．点是中边的中点，，，将绕点逆时针旋转，使它两边分别交，（或，的延长线）于点，，，连接． (1)如图1，当点，分别在，上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在，的延长线上时，设四边形的面积为，，求与的函数关系式； (3)在（2）中，当时，求的值． 24．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $