第09讲 分式的基本性质（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 分式的基本性质（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.（只是改变了分式的形式，不故变分式值的大小） 字母表示 =,=,其中𝐴，𝐵是整式，𝐶 是不等于0的整式. 注意：（1）分子和分母要同时进行“乘法（或除法）”运算； （2）乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式. 【知识点02】分式的约分和最简分式 1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分. 2.约分的依据：分式的基本性质=(C≠0)，其中C为A，B 的公因式. 3.约分的方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式. （2）若分子、分母中有多项式，应先分解因式，找出公因式，再进行约分. 4.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式. 【知识点03】分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母. 2.通分的依据：分式的基本性质=(C≠0) . 3.最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母. 4.确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 方法总结 各分母为单项式 各分母能因式分解的先因式分解.将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母. 各分母中有多项式 辨析：约分和通分的相同点和不同点 约分 通分 不同点 分式的个数 1个 多于1个 变形过程 =(C≠0) =(C≠0) 关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的最简公分母 分式的个数 约分 通分 目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式 相同点 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【题型一】判断分式变形是否正确 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 变式1．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 变式2．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键： （1）分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【题型二】求使分式变形成立的条件 例2．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________． 【答案】 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求不等式组的解集、求使分式变形成立的条件 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例3．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如果把分式中的和变为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的二分之一 C．扩大4倍 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，先根据题目要求给分式中的x和y都扩大倍，代入化简解答即可． 【详解】解：和变为原来的2倍， 则， 分式的值不变， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则___________． 【答案】/ 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据题意设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：． 变式2．小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．    (1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______； (2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： ∵， 当x是大于3的正整数时， ∴， ∴， ∴， 故小强说的有道理． 【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键． 【题型四】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 【题型五】将分式的分子分母各项系数化为整数 例5．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为：． 变式2．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）把分子与分母同时乘以6即可得出结论； （2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论 【详解】解：（1）；                                 （2） 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变． 【题型六】约分 例6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）当，下列分式的化简结果为的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； B．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）约分__________， _______   【答案】 【知识点】约分 【分析】此题主要考查了约分，正确分解因式再利用分式的性质化简是解题关键． （1）约去公因式即可． （2）首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【详解】解：； ， 故答案为：，． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【题型七】最简分式 例7．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 例8．（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【知识点】最简分式 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式．若无法约分，则为最简分式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选D． 变式2．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 【题型八】最简公分母 例9．（2026八年级下·全国·专题练习）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是最简公分母的确定.将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴最简公分母是. 故选：C. 例10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是______． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是________． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【题型九】通分 例11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 【答案】 / 【知识点】通分、约分 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 例12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 变式1．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通分 【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键． 变式2．分式，，－的最简公分母是_________． 【答案】 【知识点】通分 【分析】先根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：三个分式的分母分别为：2a，，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是最简公分母的确定，掌握最简公分母的定义是解决此题的关键． 变式3．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】通分 【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）解：∵与的最简公分母是， ∴=，=； （2）解：∵与的最简公分母是， ∴=，=． 【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母． 一、单选题 1．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 2．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 3．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项A中，的分子分母有公因数2，可约分为，不是最简分式； 选项B中，的分子与分母无公因式，符合最简分式定义； 选项C中，由平方差公式得，的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D中，，的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：B． 4．下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，据此判断各选项变形的正确性． 【详解】解：∵，∴A选项变形错误 ∵，∴B选项变形错误 ∵，∴C选项变形错误 ∵，∴D选项变形正确 故选：D． 5．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 7．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据等式的性质，等式两边同除以，可得，再把等式两边平方可得，然后把原式分子分母同时除以，整体代入即可得出结果． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 故选：A． 【点睛】此题考查了等式的性质，分式的性质，完全平方公式，整体代入思想方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 逐一验证各选项，A、B、C选项均存在计算错误，D选项符合零指数幂定义． 【详解】对于A，取，左边，右边，不相等； 对于B，取，左边，右边，不相等； 对于C，左边，右边，不相等； 对于D，当时，，，正确． 故选：D． 二、填空题 10．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号：______． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 11．分式，的最简公分母是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了求最简公分母． 根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积． 【详解】解：分母系数3和4的最小公倍数是12，字母因式的最高次幂是，的最高次幂是， 故最简公分母为． 故答案为：． 12．已知，，，则_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 13．根据分式的基本性质填空：．______ 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 14．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 15．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简分式、分式的值不为0以及分母的条件．根据题意，分子应为非零常数，分母为含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式． 【详解】解：分式中，分子2为非零常数，因此分式的值不可能为0， 分母是含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式，为最简分式． 故答案为：（答案不唯一）． 16．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 三、解答题 17．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 19．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 21．阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 22．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 分式的基本性质（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.（只是改变了分式的形式，不故变分式值的大小） 字母表示 =,=,其中𝐴，𝐵是整式，𝐶 是不等于0的整式. 注意：（1）分子和分母要同时进行“乘法（或除法）”运算； （2）乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式. 【知识点02】分式的约分和最简分式 1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分. 2.约分的依据：分式的基本性质=(C≠0)，其中C为A，B 的公因式. 3.约分的方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式. （2）若分子、分母中有多项式，应先分解因式，找出公因式，再进行约分. 4.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式. 【知识点03】分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母. 2.通分的依据：分式的基本性质=(C≠0) . 3.最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母. 4.确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 方法总结 各分母为单项式 各分母能因式分解的先因式分解.将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母. 各分母中有多项式 辨析：约分和通分的相同点和不同点 约分 通分 不同点 分式的个数 1个 多于1个 变形过程 =(C≠0) =(C≠0) 关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的最简公分母 分式的个数 约分 通分 目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式 相同点 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【题型一】判断分式变形是否正确 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 变式2．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】求使分式变形成立的条件 例2．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 变式1．（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________． 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例3．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如果把分式中的和变为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的二分之一 C．扩大4倍 D．不变 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则___________． 变式2．小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．    (1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______； (2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明． 【题型四】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】将分式的分子分母各项系数化为整数 例5．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 变式2．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 【题型六】约分 例6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）当，下列分式的化简结果为的是（   ）． A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）约分__________， _______   变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【题型七】最简分式 例7．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例8．（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【题型八】最简公分母 例9．（2026八年级下·全国·专题练习）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 例10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是______． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是________． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【题型九】通分 例11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 例12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 变式1．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 变式2．分式，，－的最简公分母是_________． 变式3．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）通分： (1)与； (2)与． 一、单选题 1．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 3．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 7．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D．1 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D．（） 二、填空题 10．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号：______． 11．分式，的最简公分母是______． 12．已知，，，则_______． 13．根据分式的基本性质填空：．______ 14．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 15．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是______． 16．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 三、解答题 17．约分： (1)； (2)． 18．通分： (1)，； (2)，，． 19．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 20．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 21．阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 22．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $