第三章 图形的平移与旋转 章节复习讲义（14知识详解+43典例分析）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第三章 图形的平移与旋转 章节（14知识详解+43典例分析） 【知识点01】平移的定义 1.平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 3.1-1，把△ ABC 沿直线EF 的方向平移，得到△ A′ B′ C′ . 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′ . 对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′ . 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ . 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 平移图形时，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离 . 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。 2. 示图 如图 3.1-2，△ ABC 平移到△ A′ B′ C′的位置，则 (1) AB∥ A′ B′， AC∥ A′C′， BC∥ B′C′， AA′∥BB′∥CC′； (2) AB=A ′ B ′， AC=A ′C ′， BC=B ′ C ′，AA′=BB′=CC′； (3) ∠BAC=∠B′A′ C′，∠ ABC=∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′ . 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移的性质是平移作图的依据。 (1)定： 确定平移的方向和距离 . (2)找： 找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) . (3)移： 过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段，得到关键点的对应点 . (4)连： 按原图形顺次连接对应点 . 【知识点04】图形的平移与坐标的变化 1. 由图形的平移确定坐标的变化 图形的平移的实质就是图形上点的平移，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间的关系如下表所示，设原图形上一点的坐标为（x，y）： 点平移时坐标变化的规律：左右平移时，右加左减纵不变，上下平移时，上加下减横不变。 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x 轴方向 向右平移 a 个 单位长度 （a>0）  （x+a，y）  向左平移 （x-a，y）  沿y 轴方向 向上平移 （x，y+a）  向下平移 （x，y-a）  2. 由坐标的变化确定图形的平移 在平面直角坐标系中，图形上各点的横、纵坐标分别增加或减少相同的量时，图形在原位置的基础上进行了平移，其平移规律如下表： 图形上各点的坐标变化（k>0）  图形的平移规律 平移方向 平移距离 纵坐标不变 横坐标分别加k  沿x 轴方向 向右平移 k 个单位长度 横坐标分别减k  向左平移 横坐标不变 纵坐标分别加k  沿y 轴方向 向上平移 纵坐标分别减k  向下平移 【知识点05】沿两个坐标轴方向平移后的图形变化与坐标变化 1. 已知原图形上一点（x，y），当图形先沿x 轴平移，再沿y 轴平移后，其对应点的坐标变化如下： 平移方向和平移距离（a ＞ 0，b ＞ 0）  对应点的坐标 向右平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度 （x+a，y+b）  向右平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x+a，y-b）  向左平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度  （x-a，y+b） 向左平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x-a，y-b）  2. 一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形一次平移得到的。 【知识点06】旋转及其相关概念 旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 旋转的“三要素”: ①旋转中心：如点O； ②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠ AOD，∠ BOE， ∠ COF 旋转中的 对应元素 对应点 点A 与点D，点B 与点E，  点C 与点F  △ ABC 绕点O 按顺时针方向旋转一定角度得到△ DEF 对应线段 AB 与DE，AC 与DF，BC  与EF  对应角 ∠ BAC 与 ∠ EDF，∠ ABC 与∠ DEF，∠ ACB 与∠ DFE  【知识点07】旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 2. 旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 . (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小 . (3)可以用来确定旋转中心 . 【知识点08】旋转画图 1.画图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度。 2. 旋转画图的一般步骤 【知识点09】中心对称 1. 定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点。 2. 中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转 180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点  都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 【知识点10】中心对称的性质 1. 中心对称的性质  成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心。 方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 【知识点11】画成中心对称的图形 根据中心对称的性质画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤： 特别解读 简记为： 连线并延长，截线段，顺次连接。 【知识点12】中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 2.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的 (位置)关系； (3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【知识点13】图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形，从基本图形的大小、形状、位置、距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式 。 2.常见的形成图案类型有 （1）平移变换； （2）旋转变换； （3）轴对称变换； （4）旋转变换与平移变换的组合； （5）旋转变换与轴对称变换的组合； （6）轴对称变换与平移变换的组合。 【知识点14】图案设计 1. 图案设计的思路 设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计 。 2. 图案设计的步骤 (1) 明确设计意图； (2) 确定图案的形状和基本图形； (3) 构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 . 【题型一】生活中的平移现象 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】图形的平移 2．（25-26八年级下·全国·周测）京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用平移的性质求解 3．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【题型四】利用平移解决实际问题 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【题型五】平移(作图) 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)在下面的平面直角坐标系中画出． (2)将向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的． 【题型六】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 6．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型七】由平移方式确定点的坐标 7．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 【题型八】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【题型九】已知图形的平移，求点的坐标 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【题型十】已知平移后的坐标求原坐标 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【题型十一】平移综合题(几何变换) 11．（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【题型十二】坐标系中的平移 12．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如果点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，且两点不在坐标轴上，那么直线BC与y轴的关系为______. 【题型十三】判断生活中的旋转现象 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【题型十四】判断由一个图形旋转而成的图案 14．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型十五】找旋转中心、旋转角、对应点 15．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（    ） A． B． C． D． 【题型十六】求旋转中心的个数 16．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【题型十七】旋转的性质及辨析 17．（22-23八年级下·陕西西安·期末）在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【题型十八】根据旋转的性质说明线段或角相等 18．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【题型十九】旋转中的规律性问题 19．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【题型二十】画旋转图形 20．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移5个单位长度后的； (2)将绕原点O旋转，画出旋转后的． 【题型二十一】坐标系中的旋转 21．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型二十二】求绕原点旋转90度的点的坐标 22．（25-26八年级·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【题型二十三】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 23．（25-26八年级下·全国·期末）如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标． (2)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对应点的坐标． 【题型二十四】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 24．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【题型二十五】坐标与旋转规律问题 25．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 【题型二十六】线段问题(旋转综合题) 26．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【题型二十七】面积问题(旋转综合题) 27．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 【题型二十八】角度问题(旋转综合题) 28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【题型二十九】其他问题(旋转综合题) 29．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【题型三十】成中心对称 30．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型三十一】画已知图形关于某点对称的图形 31．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，的顶点坐标分别为 (1)画出关于点O成中心对称的； (2)试求的面积． 【题型三十二】画两个图形的对称中心 32．（25-26八年级下·全国·单元测试）请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 【题型三十三】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 33．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【题型三十四】中心对称图形的识别 34．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形 【题型三十五】判断中心对称图形的对称中心 35．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【题型三十六】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 36．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【题型三十七】中心对称图形规律问题 37．（22-23八年级·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型三十八】求关于原点对称的点的坐标 38．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【题型三十九】已知两点关于原点对称求参数 39．（24-25八年级下·陕西西安·期中）点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【题型四十】判断两个点是否关于原点对称 40．点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于第二、四象限的角平分线对称 【题型四十一】说出一个图形到另一个图形的运动过程 41．（2023·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【题型四十二】按图形的变换要求画出另一个图形 42．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出． 【题型四十三】利用旋转设计图案 43．（24-25八年级下·广东深圳·期中）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的平移与旋转 章节（14知识详解+43典例分析） 【知识点01】平移的定义 1.平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 3.1-1，把△ ABC 沿直线EF 的方向平移，得到△ A′ B′ C′ . 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′ . 对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′ . 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ . 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 平移图形时，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离 . 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。 2. 示图 如图 3.1-2，△ ABC 平移到△ A′ B′ C′的位置，则 (1) AB∥ A′ B′， AC∥ A′C′， BC∥ B′C′， AA′∥BB′∥CC′； (2) AB=A ′ B ′， AC=A ′C ′， BC=B ′ C ′，AA′=BB′=CC′； (3) ∠BAC=∠B′A′ C′，∠ ABC=∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′ . 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移的性质是平移作图的依据。 (1)定： 确定平移的方向和距离 . (2)找： 找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) . (3)移： 过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段，得到关键点的对应点 . (4)连： 按原图形顺次连接对应点 . 【知识点04】图形的平移与坐标的变化 1. 由图形的平移确定坐标的变化 图形的平移的实质就是图形上点的平移，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间的关系如下表所示，设原图形上一点的坐标为（x，y）： 点平移时坐标变化的规律：左右平移时，右加左减纵不变，上下平移时，上加下减横不变。 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x 轴方向 向右平移 a 个 单位长度 （a>0）  （x+a，y）  向左平移 （x-a，y）  沿y 轴方向 向上平移 （x，y+a）  向下平移 （x，y-a）  2. 由坐标的变化确定图形的平移 在平面直角坐标系中，图形上各点的横、纵坐标分别增加或减少相同的量时，图形在原位置的基础上进行了平移，其平移规律如下表： 图形上各点的坐标变化（k>0）  图形的平移规律 平移方向 平移距离 纵坐标不变 横坐标分别加k  沿x 轴方向 向右平移 k 个单位长度 横坐标分别减k  向左平移 横坐标不变 纵坐标分别加k  沿y 轴方向 向上平移 纵坐标分别减k  向下平移 【知识点05】沿两个坐标轴方向平移后的图形变化与坐标变化 1. 已知原图形上一点（x，y），当图形先沿x 轴平移，再沿y 轴平移后，其对应点的坐标变化如下： 平移方向和平移距离（a ＞ 0，b ＞ 0）  对应点的坐标 向右平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度 （x+a，y+b）  向右平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x+a，y-b）  向左平移a 个单位长度，向上平移b 个单位长度  （x-a，y+b） 向左平移a 个单位长度，向下平移b 个单位长度 （x-a，y-b）  2. 一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形一次平移得到的。 【知识点06】旋转及其相关概念 旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 旋转的“三要素”: ①旋转中心：如点O； ②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠ AOD，∠ BOE， ∠ COF 旋转中的 对应元素 对应点 点A 与点D，点B 与点E，  点C 与点F  △ ABC 绕点O 按顺时针方向旋转一定角度得到△ DEF 对应线段 AB 与DE，AC 与DF，BC  与EF  对应角 ∠ BAC 与 ∠ EDF，∠ ABC 与∠ DEF，∠ ACB 与∠ DFE  【知识点07】旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 2. 旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 . (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小 . (3)可以用来确定旋转中心 . 【知识点08】旋转画图 1.画图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度。 2. 旋转画图的一般步骤 【知识点09】中心对称 1. 定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点。 2. 中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转 180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点  都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 【知识点10】中心对称的性质 1. 中心对称的性质  成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心。 方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 【知识点11】画成中心对称的图形 根据中心对称的性质画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤： 特别解读 简记为： 连线并延长，截线段，顺次连接。 【知识点12】中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 2.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的 (位置)关系； (3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【知识点13】图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形，从基本图形的大小、形状、位置、距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式 。 2.常见的形成图案类型有 （1）平移变换； （2）旋转变换； （3）轴对称变换； （4）旋转变换与平移变换的组合； （5）旋转变换与轴对称变换的组合； （6）轴对称变换与平移变换的组合。 【知识点14】图案设计 1. 图案设计的思路 设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计 。 2. 图案设计的步骤 (1) 明确设计意图； (2) 确定图案的形状和基本图形； (3) 构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 . 【题型一】生活中的平移现象 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 【题型二】图形的平移 2．（25-26八年级下·全国·周测）京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．解题的关键是要观察比较平移前后物体的位置． 根据题意，结合图形，根据平移前后是全等图形且方向不变即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，B选项中的图形可由如图所示的脸谱平移得到． 故选：B． 【题型三】利用平移的性质求解 3．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 【题型四】利用平移解决实际问题 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 【题型五】平移(作图) 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)在下面的平面直角坐标系中画出． (2)将向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、坐标系中描点 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的绘制和图形的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键； （1）根据题干给出的坐标在平面直角坐标系中标出已知的点连接即可， （2）根据题干给出的平移方法将对应点按要求进行平移即可得到平移后的三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【题型六】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 6．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查坐标系下点的平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 利用点平移的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是，即． 故选：A． 【题型七】由平移方式确定点的坐标 7．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移的变化规律是∶横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据平移的变化规律解答即可． 【详解】解：将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是，即． 故答案为： 【题型八】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【题型九】已知图形的平移，求点的坐标 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，先根据点与其对应点的坐标确定平移规律，再将该平移规律应用到点，即可求出点的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移得到点，可得横坐标的变化为，即向左平移1个单位，纵坐标的变化为，即向上平移5个单位． 根据平移的性质，线段平移时对应点的平移规律相同， 则点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【题型十】已知平移后的坐标求原坐标 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【答案】， 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 【题型十一】平移综合题(几何变换) 11．（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、平移综合题(几何变换) 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 【题型十二】坐标系中的平移 12．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如果点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，且两点不在坐标轴上，那么直线BC与y轴的关系为______. 【答案】平行 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．根据点的坐标规律解答，此题根据图形即可求得． 【详解】解：点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线轴， 故答案为：平行． 【题型十三】判断生活中的旋转现象 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【题型十四】判断由一个图形旋转而成的图案 14．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案、图形的平移 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 【题型十五】找旋转中心、旋转角、对应点 15．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 是由绕点按逆时针方向旋转而得：由图可知，为旋转角，可利用即可解答． 【详解】解：小方格的边长相等，得， ∴，即旋转角为． 故选D． 【题型十六】求旋转中心的个数 16．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 【题型十七】旋转的性质及辨析 17．（22-23八年级下·陕西西安·期末）在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【知识点】旋转的性质及辨析、图形的平移 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 【题型十八】根据旋转的性质说明线段或角相等 18．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 【题型十九】旋转中的规律性问题 19．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 【题型二十】画旋转图形 20．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移5个单位长度后的； (2)将绕原点O旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B，C绕原点O旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【题型二十一】坐标系中的旋转 21．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标系中的旋转、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，作，根据≌可得，即可求得点坐标． 【详解】解：连接、，作，由题意得：， 即， 在中，， 线段绕着点O旋转， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【题型二十二】求绕原点旋转90度的点的坐标 22．（25-26八年级·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查图形旋转，根据题意画出图形旋转后的位置，确定对应点的坐标． 【详解】解：位置如图． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【题型二十三】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 23．（25-26八年级下·全国·期末）如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标． (2)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析，点的坐标为 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转的性质将绕点逆时针旋转90°得，画出，并写出点的对应点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质即可画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为． （2）解：如图，即为所求，点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【题型二十四】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 24．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】根据题意可知旋转中心的坐标为，根据中点坐标公式的计算方法即可求解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， ∴，，解得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，即点，点，则的中点坐标公式为． 【题型二十五】坐标与旋转规律问题 25．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转规律探究，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据题意得出规律为每旋转次后点回到初始位置，点的坐标与的坐标相等，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将正方形绕点按顺时针方向依次旋转， ∴每旋转次后点回到初始位置， ∵ ∴点的坐标与的坐标相等， 如图，过点作轴的垂线，垂足为点， ∵ ∴ ∴，即点的坐标是 故答案为：． 【题型二十六】线段问题(旋转综合题) 26．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】线段问题(旋转综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【题型二十七】面积问题(旋转综合题) 27．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为 (2) 【知识点】面积问题(旋转综合题)、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查作图-旋转变换、利用割补法求图形的面积，解决本题的关键是根据中心对称的性质作出图形． 根据中心对称的性质分别作点、、关于原点的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； 把四边形分成和，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：由图可知， 四边形的面积为． 【题型二十八】角度问题(旋转综合题) 28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、角度问题(旋转综合题)、全等三角形综合问题 【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以； （2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以； （3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即． 【详解】（1）解：时，点P落在上， 等腰直角中，， ∴ ∴ （2）解：如图，延长到点F，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ ∴    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ （3）解：分两种情况：①当点P在内部 如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，    ∵ ∴， 中， ∴ 由（2）推证知 ∴ 又， ∴ ∴ 又 ∴中 ， ∴ ②当点P在外部 如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H    ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 综上，或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊直角三角形，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键． 【题型二十九】其他问题(旋转综合题) 29．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】等边对等角、其他问题(旋转综合题) 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 【题型三十】成中心对称 30．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【题型三十一】画已知图形关于某点对称的图形 31．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，的顶点坐标分别为 (1)画出关于点O成中心对称的； (2)试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）利用割补法进行计算． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：连接点C，B，， ． 【题型三十二】画两个图形的对称中心 32．（25-26八年级下·全国·单元测试）请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画两个图形的对称中心、平移(作图) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，点即为所求． 【点睛】本题考查作图平移变换，中心对称，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称定义和性质． 【题型三十三】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 33．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，灵活运用中心对称图形的性质是解题的关键． 根据中心对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，， ∴A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【题型三十四】中心对称图形的识别 34．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否符合中心对称图形的特征． 【详解】解： A. 平行四边形是中心对称图形，符合题意； B. 等边三角形不是中心对称图形，不符合题意；     C. 直角三角形不是中心对称图形，不符合题意；     D. 正五边形不是中心对称图形，不符合题意． 【题型三十五】判断中心对称图形的对称中心 35．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 【题型三十六】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 36．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 【题型三十七】中心对称图形规律问题 37．（22-23八年级·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形规律问题、点坐标规律探索 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【题型三十八】求关于原点对称的点的坐标 38．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是． 【题型三十九】已知两点关于原点对称求参数 39．（24-25八年级下·陕西西安·期中）点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】C 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【题型四十】判断两个点是否关于原点对称 40．点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于第二、四象限的角平分线对称 【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】根据点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系和中心对称的性质即可判断． 【详解】∵点（3，5）与点（﹣3，﹣5）横纵坐标都互为相反数， ∴点（3，5）与点（﹣3，﹣5）关于原点对称． 故选：C． 【点睛】此题考查了关于原点中心对称的性质，解题的关键是熟练掌握关于原点中心对称的点的性质． 【题型四十一】说出一个图形到另一个图形的运动过程 41．（2023·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【知识点】说出一个图形到另一个图形的运动过程 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 【题型四十二】按图形的变换要求画出另一个图形 42．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】本题主要考查了中心对称变换以及平移变换，关键是掌握相关的作图方法，会正确确定点的坐标． （1）直接利用平移的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到，并根据平移确定各点的坐标； （2）利用原点对称的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图知，，，． （2）解：如图，即为所求． 【题型四十三】利用旋转设计图案 43．（24-25八年级下·广东深圳·期中）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【知识点】利用旋转设计图案、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $