第09讲 菱形 （知识详解+09典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 菱形 （知识详解+09典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB＝AD，则▱ABCD 是菱形 【知识点02】菱形的性质 1. 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表： 类别 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴ BD ⊥ AC，∠DAC＝ ∠BAC，∠ACD＝ ∠ACB，∠ABD＝ ∠CBD，∠ADB＝ ∠CDB 对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴 直线AC，BD 是菱形ABCD 的两条对称轴 2. 菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积＝底× 高 S菱形ABCD＝BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积＝对角线长的乘积的一半 S菱形ABCD＝AC·BD 注意 ：矩形与菱形的区别 (1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等； (2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形； (3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线. 【知识点03】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB＝BC，∴▱ABCD 是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD 是菱形 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质可求出由直角三角形两锐角互余得出从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线和相交于点， ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的中线性质；求出是解决问题的关键． 例2．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ． 变式1．如图，在菱形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质及等边对等角． 由菱形的性质可知，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知菱形中，，是对角线上的一个动点，作点关于的对应点，连接，当______时，三点共线． 【答案】或 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识的综合，连接，由菱形性质可得，，，，，由折叠性质可知，，且，证明，设，则，，当三点共线时，求出，设，则，，，当三点共线时，，求出，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，， ∴，，， 由折叠性质可知，，且， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 当三点共线时，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图所示， 同理，， 设，则，， ∴， 当三点共线时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是或时三点共线， 故答案为：或． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 例4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 例5．（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点， ， ，连接．已知四边形是矩形，如果，求线段的长． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是菱形、矩形的性质及勾股定理的应用，先得出，求出，由矩形性质得出，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 在中，由勾股定理， 则． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得 ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】利用菱形四条边相等的性质，计算菱形周长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等，菱形的边长为3， ∴菱形的周长为 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 变式3．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在菱形中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图 (1)如图1，在上找点F，使点F是的中点； (2)如图2，在上找点G，使点G是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质、两点确定一条直线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接、交于点O，作直线交于F，点F即为所求； （2）在（1）图的基础上，连接交于J，作直线交于G，点G即为所求 【详解】（1）解：如图，点F即为所求； （2）解：如图，点G即为所求； 【题型三】利用菱形的性质求面积 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求面积 【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 变式1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查求菱形的面积．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为； 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点M，N．已知四边形是菱形，若菱形的周长为52， ，求菱形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，则，然后由菱形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为52，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四】利用菱形的性质证明 例8．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）关于菱形的性质，下列描述错误的是（    ） A．菱形的对角线互相平分 B．菱形的对角相等 C．菱形的对角线相等 D．菱形的对边平行且相等 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，依据菱形及平行四边形的性质判断各选项正误． 【详解】∵菱形是特殊的平行四边形 ∴菱形具备平行四边形的所有性质，即对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 ∴选项A、B、D的描述均正确 ∵菱形的对角线互相垂直但不一定相等，对角线相等的是矩形（正方形） ∴选项C的描述错误 故选：C 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】此题重点考查菱形的性质，正确理解平行四边形的性质定理及菱形的性质定理是解题的关键．由菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，即可得出答案． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意， 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形面积公式． 根据菱形的性质和勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． 【题型五】添一个条件使四边形是菱形 例10．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形和矩形的判定；熟练掌握判定方法是解决问题的关键． 由且，可证四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，添加一组邻边相等即可推出菱形. 【详解】解：∵ ，，且四边形内角和为， ∴ ，即， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）， 又∵ ，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形是平行四边形. A、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； B、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； C、当时，不能保证菱形，不符合题意； D、当，则平行四边形中一组邻边相等，那么该平行四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 变式2．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【题型六】证明四边形是菱形 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分， 四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 例13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的两条对角线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、正多边形的内角问题 【分析】先证明得到，同理证明，再结合正五边形得到，即可证明，最后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：∵正五边形 ∴，， ， 同理：， ． ， ， 同理， ， ∴四边形为菱形． 变式1．（24-25八年级下·吉林·月考）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 等 ），逐一分析选项即可得解．本题主要考查菱形的判定定理，熟练掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” “一组邻边相等的平行四边形是菱形”等判定方法是解题的关键． 【详解】解： A、仅给出平行四边形及一个角和一条对角线相关信息，无法得出邻边相等，不能判定为菱形． B、平行四边形中，对角线互相垂直（由图中垂直符号可知 ），故该平行四边形是菱形． C、给出平行四边形的边和对角线长度，无法得出邻边相等或对角线垂直等菱形判定条件，不能判定为菱形． D、仅给出角的信息，无法得出邻边相等或对角线互相垂直，不能判定为菱形． 故选：B ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 变式3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点M，N分别在边AB和AC上，，连接MN，BN，CM，D，E，F，G分别是MN，BN，BC，CM的中点．求证：四边形DEFG是菱形． 证明：因为D，E分别是MN，BN的中点， 所以_____________是_____________的中位线， 所以_____________，______________． 同理可得GF_______MB，，， 所以，， 所以四边形DEFG是______________． 因为_____________________，所以， 所以四边形DEFG是菱形． 【答案】DE；；；；；；；平行四边形； 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，证明，根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例16．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】/度 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【答案】/100度 【知识点】等边三角形的性质、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 变式3．（22-23八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2）的度数为或 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）①根据题意测量的长，猜想； ②延长到点，使，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得证； （2）连接交于点，连结，可得四边形是菱形①当点在的同侧时，②当点在的异侧时，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①测量后猜测， 故答案为：． ②证明：延长到点，使，连接 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． （2）证明：连接交于点，连结 四边形是矩形， ， 四边形是菱形 ，即， 直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当点在的同侧时， ②当点在的异侧时， 综上所述，的度数为或 【点睛】本题考查了矩形的性质与潘多拉，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例17．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 例18．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 【答案】10 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：10． 变式1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，得 ， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选． 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形的形状是___________，若，，则的长为___________． 【答案】 菱形 8 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，过点A作于E，过点A作于F，交于点，如图所示，先证明四边形是平行四边形，再证明，再进一步求解即可. 【详解】解： 过点A作于E，过点A作于F，交于点，如图所示， 由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸带等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：菱形， 变式3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）先说明四边形是菱形，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于H， ∴，即：， ∴． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例19．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 例20．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】24 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 例21．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以A，B为圆心，长为半径作弧交直线，于点D，C，连接，则，又因为，所以四边形为菱形，即为所求； （2）连接，交于点O，过点A作于点H．利用面积法求解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：连接，交于点O，过点A作于点H． ∵四边形是菱形，周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴菱形的高为 ． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为_________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（    ）    A．24 B．16 C．48 D．20 【答案】A 【分析】利用菱形的面积公式直接计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴菱形的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角线相等 D．对边平行且相等 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，不符合题意； B、矩形的四条边不一定相等，菱形的四条边相等，不符合题意； C、矩形的对角线相等，但是菱形的对角线不一定相等，符合题意； D、矩形和菱形的对边都平行且相等，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 3．如图，，以点O为圆心，2cm长为半径画弧，交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，2cm为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则长为（    ）    A．1cm B． C．2cm D． 【答案】D 【分析】如图，记，的交点为，证明四边形是菱形，是等边三角形，可得，，，，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，记，的交点为，    由作图可得：，而， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解本题的关键. 4．在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴是菱形；不符合题意； B、∵，， ∴是菱形；不符合题意； C、∵，， ∴是矩形，不能判定是菱形；符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形；不符合题意； 故选C． 5．如图，在菱形中，，点是对角线上一点，且满足，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质（菱形的对边平行、对角线平分对角等）和等腰三角形的性质（等边对等角、三角形内角和定理）是解题的关键．先利用菱形的性质求出相关角的度数，再结合等腰三角形的性质求出特定角的度数，最后计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 6．如图，菱形中，对角线与相交于点O，交于点，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据菱形的性质可得，再等边对等角可得，根据平行线的性质可得，，即、，易得，即E是的中点，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴、， ∴， ∴，即E是的中点， ∵， ∴． 故选：D． 7．已知菱形的周长为，两对角线的长度相等，那么两对角线的长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和正方形的判定和性质，根据菱形的周长可以计算菱形的边长，结合两对角线的长度相等，可知该图形是正方形，进而即可求出对角线的长度． 【详解】解：菱形的周长为，则菱形的边长为， 该菱形的两对角线的长度相等， 该图形是正方形， 对角线的长为， 故选：C． 8．菱形中，若对角线cm，cm，则菱形的周长是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理，即可求出菱形的边长，再计算周长即可． 【详解】如图所示， 四边形是菱形，对角线，， ，，，， ， 菱形的周长是， 故选：B． 9．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆计算判断即可． 【详解】∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 过点A作于点M， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 故④正确； ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴A、H、C、D四点共圆， ∴， 故平分； 故③正确； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题 10．一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是____． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：菱形的面积是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求菱形的面积．熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键． 11．如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形性质，角平分线性质，根据菱形性质可知平分，再根据角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴平分， ∵E为上的一点，， ∴点E到的距离， 故答案为：． 12．如图，在菱形中，对角线交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长是______． 【答案】32 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，对角线互相垂直，四边相等，结合E是的中点，得，故，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故， ， 那么菱形的周长是32， 故答案为：32． 13．已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理； 先求出菱形的边长，再根据题意设，，利用勾股定理求出x，进而得到，的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是40， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵，即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为:， 故答案为：． 14．如图，在矩形ABCD中，，射线AE与BC边交于点E，点F是射线AE上的一点，点G在边AB上，以FG为边向上作菱形FGMN，若，当点G从点B运动到点A时，点N的运动路径长是_______． 【答案】3 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．证明，推出，推出点在射线上运动，推出当点从运动到时，． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， （SAS）， ， 点在射线上运动， 当点从运动到时，， 点的运动路径的长为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查轨迹，全等三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为______ ；当点M的位置变化时，长的最大值为______ ． 【答案】 / 【分析】如图1中，求出等边的高即可．如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ∴，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴． 如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．如图，正五边形ABCDE的对角线AD分别交BE，CE于点M，N，若，则四边形ABCN的周长为_____． 【答案】12 【分析】由题意可得四边形ABCN是菱形，从而可得四边形ABCN的周长． 【详解】解：∵ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=CD=DE= 3，每个内角为：， ∴， ∴， ∴∠ABC+∠BCN=108°+72°=180°， ∴AB∥CN． 同理可得:BC∥AN． ∴四边形ABCN是平行四边形． ∵AB=BC=3， ∴四边形ABCN为菱形， ∴AB=BC=CN=AN=3， ∴四边形ABCN的周长为4×3=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，菱形判定与性质的应用是关键． 三、解答题 17．如图，已知菱形的对角线、交于点，，，求菱形的周长． 【答案】菱形的周长为4． 【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，长度分别是6和4，可求得OA与OB的长，AC⊥BD，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝AC═×6＝3，OB＝BD＝×4＝2，AC⊥BD， ∴AB＝＝， ∴菱形的周长为4． 【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相垂直平分性质的应用是解此题的关键． 18．如图，AN是△ABC的一条角平分线，请用尺规作图法在边AB、AC边上分别确定点M、P，使得四边形AMNP为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析． 【分析】以点A为圆心，AN为半径画圆，交以点N为圆心，NA为半径的圆分别于点G、K，保留相交的一小段圆弧即可．连接GK，使GK与AB的交点为M点，与AC的交点为P点．连接MN、NP，四边形AMNP即为所求． 【详解】如图，四边形AMNP即为菱形． 【点睛】本题考查了作图能力、线段垂直平分线的画法、菱形的性质与判定等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识． 19．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得，，再证，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，得，然后证，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 20．如图，矩形中的对角线交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于M，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可知四边形为平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证； （2）连接，交于点M，根据菱形的性质易得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得和的值，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ，，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点M， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， 菱形的面积=． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 21．如图，菱形，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求对角线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． （1）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得； （2）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ， 是的中点，且， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形，， ， ， ． 22．尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接． (1)填空：则是的________； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)平分线 (2)四边形是菱形，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解决本题的关键． （1）根据作图可知是的平分线； （2）根据作图的过程可知是的平分线，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （3）连接交于点，利用菱形的性质结合勾股定理求得菱形的对角线的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：根据作图可知是的平分线； 故答案为：平分线； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据作图可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：连接交于点， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 23．综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）四边形为菱形，理由见解析． 【分析】本题考查平行四边形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，即可． （1）根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出； （2）连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）猜测：， 证明：连接： ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）四边形为菱形，理由： ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 菱形 （知识详解+09典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB＝AD，则▱ABCD 是菱形 【知识点02】菱形的性质 1. 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表： 类别 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴ BD ⊥ AC，∠DAC＝ ∠BAC，∠ACD＝ ∠ACB，∠ABD＝ ∠CBD，∠ADB＝ ∠CDB 对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴 直线AC，BD 是菱形ABCD 的两条对称轴 2. 菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积＝底× 高 S菱形ABCD＝BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积＝对角线长的乘积的一半 S菱形ABCD＝AC·BD 注意 ：矩形与菱形的区别 (1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等； (2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形； (3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线. 【知识点03】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB＝BC，∴▱ABCD 是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD 是菱形 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例2．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．    变式1．如图，在菱形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知菱形中，，是对角线上的一个动点，作点关于的对应点，连接，当______时，三点共线． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 例5．（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点， ， ，连接．已知四边形是矩形，如果，求线段的长． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 变式3．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在菱形中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图 (1)如图1，在上找点F，使点F是的中点； (2)如图2，在上找点G，使点G是的中点． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 变式1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点M，N．已知四边形是菱形，若菱形的周长为52， ，求菱形的面积． 【题型四】利用菱形的性质证明 例8．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）关于菱形的性质，下列描述错误的是（    ） A．菱形的对角线互相平分 B．菱形的对角相等 C．菱形的对角线相等 D．菱形的对边平行且相等 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，则的长为______． 变式1．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 变式2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【题型五】添一个条件使四边形是菱形 例10．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 变式2．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 变式3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【题型六】证明四边形是菱形 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 例13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的两条对角线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 变式1．（24-25八年级下·吉林·月考）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 变式3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点M，N分别在边AB和AC上，，连接MN，BN，CM，D，E，F，G分别是MN，BN，BC，CM的中点．求证：四边形DEFG是菱形． 证明：因为D，E分别是MN，BN的中点， 所以_____________是_____________的中位线， 所以_____________，______________． 同理可得GF_______MB，，， 所以，， 所以四边形DEFG是______________． 因为_____________________，所以， 所以四边形DEFG是菱形． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例16．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 变式1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    变式3．（22-23八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例17．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 例18．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 变式1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形的形状是___________，若，，则的长为___________． 变式3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例19．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 例20．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 例21．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为_________（用含a的代数式表示）． 变式3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（    ）    A．24 B．16 C．48 D．20 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角线相等 D．对边平行且相等 3．如图，，以点O为圆心，2cm长为半径画弧，交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，2cm为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则长为（    ）    A．1cm B． C．2cm D． 4．在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，点是对角线上一点，且满足，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，对角线与相交于点O，交于点，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．已知菱形的周长为，两对角线的长度相等，那么两对角线的长为 （    ） A． B． C． D． 8．菱形中，若对角线cm，cm，则菱形的周长是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 9．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 10．一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是____． 11．如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为_____． 12．如图，在菱形中，对角线交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长是______． 13．已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 14．如图，在矩形ABCD中，，射线AE与BC边交于点E，点F是射线AE上的一点，点G在边AB上，以FG为边向上作菱形FGMN，若，当点G从点B运动到点A时，点N的运动路径长是_______． 15．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为______ ；当点M的位置变化时，长的最大值为______ ． 16．如图，正五边形ABCDE的对角线AD分别交BE，CE于点M，N，若，则四边形ABCN的周长为_____． 三、解答题 17．如图，已知菱形的对角线、交于点，，，求菱形的周长． 18．如图，AN是△ABC的一条角平分线，请用尺规作图法在边AB、AC边上分别确定点M、P，使得四边形AMNP为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长． 20．如图，矩形中的对角线交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于M，若，，求四边形的面积． 21．如图，菱形，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求对角线的长． 22．尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接． (1)填空：则是的________； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)已知，，求四边形的面积． 23．综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $