第5章二次函数复习训练2025-2026学年苏科版数学九年级下册

第5章二次函数复习训练2025-2026学年 苏科版九年级下册 一、选择题 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1 2．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 3.对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 4．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 7.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 8．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．． 9．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 二、填空题 11.若函数是二次函数，则的值是 ． 12．已知二次函数，则该二次函数的对称轴为_________________. 13．将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则平移后的二次函数的最小值为______． 14．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 15．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 16．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 三、解答题 17.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 18．如图，已知抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 19.园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米． （1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值； （3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？ 20.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 第5章二次函数复习训练2025-2026学年 苏科版九年级下册 一、选择题 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1 【答案】D 2．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3.对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 4．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 5．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 7.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 8．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．． 【答案】C 9．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 【答案】C 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 二、填空题 11.若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 12．已知二次函数，则该二次函数的对称轴为_________________. 【答案】直线x=1 13．将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则平移后的二次函数的最小值为______． 【答案】-3 14．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 15．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 16．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 三、解答题 17.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2， 把（0，-1）代入得a•（0+1）2+2=-1，解得a=-3， 所以抛物线的解析式为y=-3（x+1）2+2． 18．如图，已知抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 【答案】（1）解：由题意，抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），则 解之得 ∴该抛物线的表达式为 （2）解：当y=0时，， 解得：x1=﹣2，x2=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0） 又∵点E是线段BC的中点， ∴E（2，2）， 设直线AE的解析式为：y=kx+b， 解得 直线A E的解析式为 解得 由图可得点D的坐标为（3，） 19.园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米． （1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值； （3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】（1）24﹣3x （2）当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米 【解答】解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米， ∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x， 故答案为：24﹣3x； （2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45， 解得x＝3或x＝5， ∵x＝3时，24﹣3x＝15＞14， ∴x＝3舍去， ∴x的值为5； （3）设苗圃ABCD的面积为w， 则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0， ∴x＝4时，w最大为48， 答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米． 20.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得： ， 整理得：x2-18x+45=0， 解得：x=15或x=3（舍去）， 经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际， ∴x-5=15-5=10（元）， 答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元； （2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得： w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000， ∵a=-20， 当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元， 答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 学科网（北京）股份有限公司 $