专题07 隐零点问题（三大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07隐零点问题 目录 典例讲解 类型一、利用隐零点处理最值、极值 类型二、利用隐零点判断零点个数 类型三、利用隐零点证明不等式 压轴专练 典例详解 解题步骤及进阶技巧： 一、隐零点问题的基本解题步骤 核心思路为虚设零点一→定范围一代换化简，分三步完成，可高效消除指对项或参数项： (1)判存在，定范围：求原函数导函数，用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f(&)=0,结合导函数单调性确定零点xo的具体区间（必要时用放缩法取含参特殊值确定范围）； (2)分区间，断单调性：以隐零点x0为分界点，判断导函数在各区间的正负，进而确定原函数的单调性， 得到原函数的最值（极值）表达式： (3)巧变形，代换化简：将零点方程适当变形，整体代入最值表达式，要么消除式中的指数、对数项， 要么消除参数项，最终实现对最值的范围估计，推导出所求结论。 二、进阶技巧：隐零点的同构代换 多数隐零点问题因含指对项具有同构特征，常规代换难以化简时，需通过同构变形找到代换方向。针对 含ex、lnx的隐零点方程，可通过常见同构式变形（如e+x、x-lnx型），将零点方程转化为易代换、 易化简的形式，突破指对项混合的化简难点，是解决复杂隐零点问题的关键技巧。 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型一、利用隐零点处理最值、极值 1.已知e*+sinx-2x≥ax2+1对任意x∈[0，+oo)恒成立，则实数a的最大值为() A.2 B.3 1 D.1 2.已知函数f田=ac+a+1-2a+1)≥0对任意的x∈(0，o)恒成立，其中实数a>0,求a的取值范围 3.已知函数f)=ar-、sinx 2+cosx (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)若Vx>0都有f(x)>0,求a的取值范围. 4.己知函数f(x=x-1)e+sinx. ()试判断∫(x)在区间(0,1内零点的个数，并说明理由； (2)若不等式f(x≥ax-1对任意xeR恒成立，求实数a的取值集合. 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.己知函数f(x=x-a)lnx(a>0) (1)当a=1时，判断函数∫(x)的单调性； (2)证明函数f(x)存在最小值g(a,并求出函数ga的最大值 6.己知函数f(x=alnx+bx,a,b∈R. (1)当a=1,b=1时，求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程： (2)当a>0,b=-2时，求f(x)在区间1,2上的最大值： (3)当a=1时，设gx=f(x+sinx.判断gx)在x∈(0，π上是否存在极值.若存在.指出是极大值还是极 小值；若不存在，说明理由. 类型二、利用隐零点判断零点个数 7.对于函数∫(x)=x3+x-1的零点，下列说法正确的是() A.函数f(x)在区间(0,1上只有一个零点 B.函数f(x)在区间(0，上无零点 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.函数f(x)在R上有三个零点 D.函数f(x)在R上至少有两个零点 8.设函数fx)=4lnx-xx>0),则y=f(x)满足() A.在区间(，)，(1，e)内均有零点 B.在区间(，)内有零点，在区间1，©内无零点 C.在区间仁，)内无零点，在区间1，c)内有零点 D.在区间(，)，(1，e)内均无零点 9.函数f(x)=e+(x+)(x-a)在(-1，a上有且只有一个零点，则a=() A.1 B青 C. D 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.己知函数f(x=-alnx+(2a+1x-x2 ()讨论(x)的单调性 (2)求证：若a>0,f(x有且仅有一个零点， .已知西数f-eh+-5血红，keN,aGR.若a=l,素=2，求函数fe)在[马上的零点 个数. 12.已知函数fx=e'cosx. 味八创在区同Q}上的极大值： ②设至数F因--当a>4时，判专蛋藏F国在区间引上零点的个黄，并微明理由 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型三、利用隐零点证明不等式 13.已知函数f(x=xlnx-1,h(x=e,ln2≈0.69 (1)判断gx=f'(x+2x2-5x+2在(0，+∞）上零点的个数并证明 (2)当xe(0,1,求证： f+x>x2-x-1 N 14.已知函数f升到=h2x+m+分m∈R) (1)若曲线y=∫(x)在x=1处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数∫(x的单调性： 当m=2r0到时，求证：f到<ia++1 15.已知函数f(x)=x(ln(x+1)-ax+1) (I)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：当a≥上时f)≤sinx+xln(r+)成立. 16.已知函数f(x=xe-ax+2. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数a的值： (2)当a≤1时，证明：fx≥lnx+3 17.已知函数f(x=x2+(2-2m)x-2mlnx+2(meR): (①)讨论函数∫(x的单调性： (2)当m=1时，求证：f(x)≤2xe*-1+x2-4lnr 18.已知函数f(x=(mx+n川e+mx2+(2m+n)x在x=-1处取得极小值-1-1. 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求实数m,n的值； (2)当xe(0,+n)时，证明：fx>1nr+x+16 压轴专练 1.已知函数f(x=lnx,gx=xe-x-1. 0)若关于的方程了八)=-子x+m在区间L,习上有解，求实数m的取值定围」 (2)若gx)-a≥f(x对x∈(0，+oo)恒成立，求实数a的取值范围 2.设函数fx=e2r-aln(x+1 (I)讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数； (2)i证明：当a>0时，f(x)≥an2 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.己知函数f(x=ae-x-3(a>0). ()若函数∫(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数gx)=f(x+x-lnx+1,g'（x是gx的导函数，证明：g'(x)存在唯一的零点t,且 g(t)+22 Ina 4.设函数fx=e-alnx-a. (1)设x=1是(x)的极值点，求a,并讨论f(x)的单调性： (2)若0<a<e,证明：在区间 a,1内，f(x)存在唯一的极小值点。，且fx,)>0 5.已知函数到-号-a+2列x+2 Balnx(acR) (1)求函数f(x)在区间1,2上的最大值： 回当a号时，证期：f小-+号≤-2 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.已知函数)-兰eR)的最大值为。设函数y=f)的图象在点Pm,m》处的切线为1. (1)求t的值； (2)证明：当m>2时，切线1与函数y=f(x)的图象有另一交点Q(n,f(n),且n<m. 7已知函数f(=a+小e+-3,其中e为自然对数的底数，aeR (1)讨论函数f(x的单调性： (②)当a=0时，若存在xeR使得关于x的不等式k≥f(x成立，求k的最小整数值.（参考数据：e≈2.1） 8.函数f(x)=e-lnx的最小值为m. (1)判断m与2的大小，并说明理由； (2)求函数g(x)=2+lnx-e-m的最大值 10/11 专题07 隐零点问题 目录 典例讲解 类型一、利用隐零点处理最值、极值 类型二、利用隐零点判断零点个数 类型三、利用隐零点证明不等式 压轴专练 解题步骤及进阶技巧： 一、隐零点问题的基本解题步骤 核心思路为虚设零点→定范围→代换化简，分三步完成，可高效消除指对项或参数项： （1）判存在，定范围：求原函数导函数，用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，结合导函数单调性确定零点的具体区间（必要时用放缩法取含参特殊值确定范围）； （2）分区间，断单调性：以隐零点为分界点，判断导函数在各区间的正负，进而确定原函数的单调性，得到原函数的最值（极值）表达式； （3）巧变形，代换化简：将零点方程适当变形，整体代入最值表达式，要么消除式中的指数、对数项，要么消除参数项，最终实现对最值的范围估计，推导出所求结论。 二、进阶技巧：隐零点的同构代换 多数隐零点问题因含指对项具有同构特征，常规代换难以化简时，需通过同构变形找到代换方向。针对含、的隐零点方程，可通过常见同构式变形（如、型），将零点方程转化为易代换、易化简的形式，突破指对项混合的化简难点，是解决复杂隐零点问题的关键技巧。 类型一、利用隐零点处理最值、极值 1．已知对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，，显然， ，注意到， 令，则， 其中， 当，即时， 在上单调递增，故， 故在上单调递增，故恒成立，满足要求， 当时，，又趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理得使得， 当时，，即单调递减， 又，故时，， 故在上单调递减，又，在上，， 不合要求，舍去， 故的最大值为 故选：A 【点睛】方法点睛：于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 2．已知函数对任意的恒成立，其中实数，求的取值范围. 【答案】. 【详解】由已知得，， 令， 由得在上递增， 又，而，所以， 存在唯一，使得得. 当时，递减；当时，递增： 故， 整理可得，等价于，解得， 又因为在上递增，且， ，由得. 3．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若都有，求的取值范围． 【答案】(1)函数是R上的增函数； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，函数的定义域为R， ， 所以函数是R上的增函数. （2）函数，， 求导得， 当时，，即函数在上单调递增，，，因此； 当时，令，求导得， 函数在上单调递减，， 则存在，使得，当时，，在上单调递增， 当时，，即， 因此当时，，即，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上得， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 4．已知函数. (1)试判断在区间内零点的个数，并说明理由； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合. 【答案】(1)1个，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）， ， 又，，， ，所以函数在内单调递增， 又， 由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点. （2）设，不等式对任意的，即恒成立， 则，.   设， 则， 当时，此时，则， 当时，单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以，则， 显然对成立，在内单调递增，   若，则，   必存在使得时，， 则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾. 若，则， 必存在使得时，， 此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾. 当时，， 显然当，，， 则，即在内单调递减，   当时，， 则恒成立（不恒为零）， 则即在上单调递增，且， 则在上恒成立， 在内单调递增， ，即，亦即对任意恒成立 综上所述，实数的取值集合为. 5．已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)证明函数存在最小值，并求出函数的最大值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意知， ，，. 所以函数单调递增. 又，所以当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知，，. 所以函数单调递增. 令，则. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以，即. 所以，即. 另一方面，， 所以存在，使得，① 即当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以函数存在最小值. 由①式，得.所以（当且仅当，即，时，等号成立）. 所以，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：即为可代换的式子. 6．已知函数，R． (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)当，时，求在区间上的最大值： (3)当时，设．判断在上是否存在极值．若存在．指出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】 【详解】（1）由已知得，函数的定义域为，且， 则曲线在点处的切线方程的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即； （2）由已知得，函数的定义域为， ，令，解得， 令，即，令，即， ①当时，即，在区间单调递减， 所以在区间上的最大值为； ②当时，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值为； ③当，即，在区间单调递增， 所以在区间上的最大值为； （3）当时，，， 则， 令，则， 因为，所以， 所以在区间单调递减， 当无限趋近于时，无限趋近于正无穷，且， ①当，即时，， 在区间单调递增，所以在区间上无极值； ②当，即时，在区间上存在唯一的零点， 所以当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上有一个极大值，无极小值， 综上所述，当时，函数有一个极大值，无极小值， 当时，函数无极值. 【点睛】关键点睛：注意分类讨论思想在研究含有参数的函数单调性问题中的应用，在处理隐零点问题时一般采用虚设零点的方法求解. 类型二、利用隐零点判断零点个数 7．对于函数的零点，下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上只有一个零点 B．函数在区间上无零点 C．函数在上有三个零点 D．函数在上至少有两个零点 【答案】A 【详解】因为， 由于 ，因此 对所有 恒成立， 所以 在 上是单调递增函数， 若连续函数 在区间 内端点函数值异号（即 ）， 则 在 内至少有一个零点，所以： ，， 因此 ，结合 单调递增（单调函数最多有一个零点）， 可得： 在 上只有一个零点， 选项A：正确，由上述分析可知； 选项B：错误， 且 ，结合单调性必有一个零点； 选项C：错误， 单调递增，最多只有一个零点； 选项D：错误，单调函数最多一个零点. 故选A. 8．设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【详解】的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得极大值为， 又，，， 即在区间上恒有， 又由零点存在定理，使得， 即函数在区间内无零点，在区间内有零点. 故选：C. 9．函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 【答案】A 【详解】函数在上有且只有一个零点等价于方程在上有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根. 令，则， 函数单调递增，当时，，当时，， 所以存在，使得，则=， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 由，解得， 所以， 令，其中， 则==. 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递减，且，所以， 所以，解得. 故选：A. 10．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减， 又，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，， 当时，，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， ， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点； 所以有且仅有一个零点. 11．已知函数，，．若，，求函数在上的零点个数． 【答案】有两个零点 【详解】当，时，，可得， ， 设，则， 当时，，在上单调递增， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，所以，使得， 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，易知，所以， 所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 12．已知函数. (1)求在区间上的极大值； (2)设函数，当时，判断函数在区间上零点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)有且仅有两个零点，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题得， 当时，，当时，， 则在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在区间内的极大值为； （2）在区间上有且仅有两个零点. 理由如下： ， 设，，则， 令，则 ，， 所以在区间内单调递减． 又，，故存在，使得， 当时，，即，在区间内单调递增； 当时，，即，在区间内单调递减． 又，，因为， 所以， 所以在区间，内各有一个零点， 即在区间内有且仅有两个零点． 类型三、利用隐零点证明不等式 13．已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【答案】(1)1个，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； （2）要证明，即证明. 令，则.令可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 设函数，则. 令，则， 易知在上单调递增. 因为，所以存在，使得， 从而函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，， 故存在，使得， 即当时，；当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，. 因为，所以 ， 所以. 14．已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由于， 所以，所以. 所以，所以切点的坐标为. （2）函数的定义域为. （i）当，即时，. （ii）当，即，或时， 方程的两根为. ①当时，由于， 所以， 令，解得，或； 令，解得； ②当时，由于， 所以， 令，解得. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在 和上单调递增， 在上单调递减. （3）要证，只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 故内恒成立，原不等式得证. 15．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，求导得， 则，而，所以所求切线方程为. （2）函数的定义域为， 不等式，当时，， 则，令函数， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递减，，； 当时，，令， 求导得，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则存在，使得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则当时，；当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，则； 当时，， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以当时，成立. 16．已知函数. （1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值； （2）当时，证明：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由，∴， 又，∴切线方程为，（）. 当时，；当时，， 由题意可得，解得或. （2），， 当时，， 令，则， 设的零点为，则，即且， ∴在上递减，上递增， ∴， ∴时，恒成立，从而恒成立， ∴当时，. （或根据证明） 【点睛】解题的关键是掌握导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需根据a的范围，进行合理变形，进而直接求证即可，属中档题. 17．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由已知条件得函数的定义域为， ， 因为，， 所以①当时，在上恒成立， 故在上单调递增， ②当时，当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 要证原不等式成立，需证成立， 即需证成立， 令， 则， 令，则，故在上单调递增， ，， 由函数零点存在定理可知，存在，使得， 则在上，在上， 即在上，在上， 则在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值， 由可得，即， 两边同时取对数得，即， 因此的最小值， 即成立， 故当时，成立. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立 （2）恒成立；恒成立 （3）恒成立； 恒成立 （4），，. 18．已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），由题意知，则，即， 由，知，即． （2）由（1）得，设， 则． 设，则在上单调递增， 且，所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递减；当时，单调递增． ． 设，则， 当时，单调递减，所以，所以， 故当时，． 【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法： （1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案； （2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论； （3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论. 1．已知函数. (1)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）方程在上有解，即为在上有解， 令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 则，而，有，， 因此函数的值域为，所以实数的取值范围是. （2）依题意，对恒成立，令， 求导得：，令，显然函数在上单调递增， 而，因此存在，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由可得，，且，即，因此，即， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 2．设函数. (1)讨论的导函数的零点的个数； (2)证明：当时，. 【答案】(1)，没有零点；时，一个零点 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）的定义域为，且. ①时，在上恒成立，此时没有零点； ②时，由于单调递增，在上单调递增， 在单调递增. 由于， . 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以. 根据零点存在定理以及的单调性可知，只有一个零点. 综上：，没有零点；时，一个零点. （2）由（1）知，当时，导函数在上存在唯一的零点. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 故在时，取得最小值. 由，即， 从而有. 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，当时，. 3．已知函数. (1)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (2)若函数，是的导函数，证明：存在唯一的零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）令，则，记，由题意，直线与函数有两个交点， 因为，所以当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，而，， 当时，，作出函数图象，如图: 由图可知，，直线与函数有两个交点， 即实数的取值范围为. （2）依题意，，的定义域为. ，则， 令，， 显然在上单调递增，又， 所以存在，使得，且时，，时，， 因为，所以时，，时，， 故存在唯一的零点； 由得，所以. 因此， 当且仅当时等号成立. 故有唯一的零点，且. 4．设函数. （1）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 【答案】（1），的单调减区间是，单调递增区间是（2）证明见解析； 【分析】 【详解】（1）定义域为，. 由题设，所以. 此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点. 综上，，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）因为，所以在内单调递增. 因为，，所以存在，使得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点. 由得，于是. 因为当时，，所以. 综上，在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点，且. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了零点存在性定理的应用，属于中档题. 5．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 6．已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而函数的最大值为，则，解得， 所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即， 令，，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 7．已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析； (2)0. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域R，求导得：， 若，由，得， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 若，则对任意都有，则在R上单调递增， 若，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当a=0时，令，则，令， 则，则当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因，，则存在，使得，即， 则当时，，当时，， 又当时，，所以当时，，因此在上单调递减，在上单调递增， 于是，， ． 若存在使得关于x的不等式成立，且k为整数，得， 所以k的最小整数值为0. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则. 8．函数的最小值为m. (1)判断m与2的大小，并说明理由； (2)求函数的最大值. 【答案】(1)，理由见解析； (2)2. 【分析】 【详解】（1）. 理由如下： 函数的定义域为，求导得， 显然函数在上单调递增，而，， 则存在唯一的，使得，即， 当时，；当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得且， 则，又函数在上单调递减，即当时，， 所以. （2）函数的定义域为，求导得， 显然函数在上单调递减， 由（1）知，， 于是存在唯一的，使得，即， 则当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，由，得，即， 由（1）知，，则， 显然函数在上单调递增，则，且， 从而， 所以函数的最大值为2. 【点睛】方法点睛：求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 9．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)，无极大值 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，，( ), 显然在上是递增的，且， 故时，，时，， ∴在上递减，上递增， ∴，无极大值. （2）由可知： ， 而，在上单调递增， 且，， （这是因为 ,） ， ∴存在唯一的使，即， 且当时，，递减；当时，，递增， ∴ 令 ,解得或， ∴. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值以及用导数解决不等式成立时的参数的范围问题，一般思路是求导，判断导数的正负，从而求得极值或最值，难点在于用导数求解不等式成立时的参数范围时，要巧妙的应用零点满足的方程进行整体代换，这样就可以求出零点的范围，进而解决问题. 10．已知函数，，其中，． (1)试讨论函数的极值； (2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为，． 当时，在区间内恒成立， 在区间内单调递增，无极值． 当时，令，得；令，得． 在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值． （2）由知当时，的最大值为． 由题意得，且在区间内单调递增． 又，，根据零点存在定理可得， 存在，使得， 且当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， ． ，，两边取对数可得 ， ． 令，则当时，， 即函数在区间内单调递减，故， ，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即． 又，故的最大值为0． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $