专题06 极值点偏移问题（五大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题06 极值点偏移问题 目录 典例讲解 类型一、加法型极值点偏移问题 类型二、减法型极值点偏移问题 类型三、乘积型极值点偏移问题 类型四、商型极值点偏移问题 类型五、平方型极值点偏移问题 压轴专练 知识归纳： 极值点偏移问题的四大核心解法 （一）对称化构造法 适用于证明两个极值点之和、积相关的不等式，解题步骤固定，逻辑清晰： ①定极值点：求，判断函数单调性，确定极值点； ②构辅助函数：结论为（或）时，构造；结论为时，构造对应导函数相关辅助函数； ③判单调性：求，讨论辅助函数在指定区间的单调性； ④比函数值：判断在区间内的正负，得出与的大小关系； ⑤巧转化：结合的单调性，将函数值关系转化为自变量关系，推导出所证结论。 （二）差值代换法（消参减元法） 核心是通过差值实现单变量转化，消去参数减少变量个数，步骤为： ①建极值点关系：根据题设条件，建立与极值点的关联； ②设差值变量：令（），将代入题设等式； ③单变量转化：将所有表达式化为关于（或）的单变量函数； ④证单变量不等式：通过求导判断单变量函数的单调性，证明所得不等式，推导原结论。 （三）比值代换法（消参减元法） 与差值代换法原理一致，仅变量设置不同，更适用于含指数、对数的函数： ①建极值点关系：根据，建立的等式关系； ②设比值变量：令（或），则； ③消参化简：将等式化为关于的单变量等式，解出（或）关于的表达式； ④证单变量不等式：将所证结论转化为关于的不等式，求导证明即可。 （四）对数均值不等式法 专用于含对数的极值点偏移问题，对数均值不等式：（），解题步骤： ①提对数式：从题设的等式中，整理出含的表达式； ②变对数形：将等式变形为的形式，匹配对数均值不等式结构； ③套不等式证明：直接应用对数均值不等式，结合题设条件推导所证结论。 类型一、加法型极值点偏移问题 1．已知函数的导函数为. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， ， 故切线方程为， 化简为. （2）当时，，不符合题意，舍去. 当时，. 令， 当时，，故在上单调递增， 所以，即时，，在上单调递增， 所以成立. 当时，设恒成立， 所以在上单调递增， ， 所以，使， 当时，，即，所以单调递减， ，所以在时成立， 所以在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为. （3）证明：， 所以，与仅有两个交点， 所以， 不妨设所以， 因为，所以，所以， 又在上单调递减， 所以， 所以. 2．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 3．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 4．已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由已知得，， 设， 可得， 由反比例函数性质得在上单调递减， 由幂函数性质得在上单调递减， 则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 由于，故时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，， 当时， ，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，再区间上单调递增， 所以时，函数有最小值，即， 因为在区间上恒为正，而， 所以 ， 即， 取，则，存在，使， 可得，存在，使，符合题意； 当时，有且只有1个零点，不符合题意； 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 此时单调递减，不会有两个零点； 当时，当时，，单调递增， 而，单调递减，得到， 当时，存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减， 且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于， 则存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减，不会有2个零点； 当时，，， 存在，， 当时，，， 当时，，单调递减，， 则单调递减，在上不会有2个零点； 综上，. （2）由（1）得，， 设， 则， 则，又， 所以，故， 由于，且在上单调递增， 则，即； 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 则，则， 由于， 则时，， 当时，， 则， 整理得， 则得，， 由于，则， 则； 综上得证. 类型二、减法型极值点偏移问题 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 6．有两个零点． (1)时，求的范围； (2)且时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）时，， 由题意的两个零点即为 方程的两个根， 分离参数即得，令， 对其求导得，设， 则，所以在定义域上面单调递减， 注意到，所以随的变化情况如下表： 所以有极大值（最大值）， 又当时，；当时，， 若方程有两个根， 则，即的取值范围为. （2）因为，设， 所以当且时有， 进而有，且 的函数图像恒在的函数图象上方，不妨设的两个零点为（且），如图所示： 因此的两个零点在二次函数两个零点之内， 所以有，令，则其二次项系数、一次项系数、常数项分步为，其判别式， 又，所以， 综上，有，命题得证. 【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于将函数零点转化为方程的根进一步分离参数，至于第二问的关键是进行放缩，进而去发现相应零点之间的变化. 7．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值； (3)若，证明：. 【答案】(1)（或） (2)单调递增区间为，；单调递减区间为；极大值为，极小值为 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得， 则，， 故所求的切线方程为（或）. （2）由（1）知. 当或时，，则的单调递增区间为，； 当时，，则的单调递减区间为. 故的极大值为，的极小值为. （3）证明：由（2）可知，，，. 设函数， 则. 设函数，则. 设函数，则. 显然在上恒成立，即在上单调递增， 则，即在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，又在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以， 故对任意的恒成立. 因为，所以且. 因为，所以. 由（2）可知在上单调递增，且，，则，即. 设函数， 则， 因为，所以即， 在上恒成立，则在上单调递增， 所以，所以对任意的恒成立. 因为，所以且. 因为，所以. 由（2）可知在上单调递增，且，， 则，即. 因为，所以即. 类型三、乘积型极值点偏移问题 8．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则， 则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点， 所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 9．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 得， 由对任意，存在，使得， 得， 即， 得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 10．已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 11．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 类型四、商型极值点偏移问题 12．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）， （ⅰ）当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅱ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅲ）当时，，在上单调递增； （ⅳ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. （2）①， （ⅰ）当时，，令，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去； （ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 取且， 则， 所以有两个零点，其中，，符合题意； （ⅲ）当时， 在上单调递增， 当时，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅴ）当时， 当时，， 又在上单调递减，在上单调递增，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为. ②由①知，，，所以， 要证，即证， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 因为，所以， 即，即， 又因为，所以， 又因为且在上单调递减， 所以，即， 原命题得证. 13．已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 14．已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数. 15．已知函数，. (1)讨论f（x）的单调性； (2)若时，都有，求实数a的取值范围； (3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：. 【答案】(1)当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. (2) (3)证明详见解析 【分析】 【详解】（1）解：因为，定义域为，. ①当时，令，解得 即当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ②当时，在单调递增； ③当时令，解得， 即当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上：当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）若时，都有， 即，恒成立. 令，则，， 令，所以， 当时， ，单调递增，， 所以，在单调递减， 所以=，所以 （3）原式可整理为， 令，原式为， 由（1）知，在单调递增，在单调递减， 则为两根，其中，不妨令， 要证， 即证，， 只需证， 令，，， 令，则，，单调递增， ，，单调递减. 又， 故 ，所以恒成立， 即成立， 所以，原式得证. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想同构的数学思想等知识，属于中等题.常用方法有如下四种， 方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 类型五、平方型极值点偏移问题 16．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 18．已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）解： ∵，∴时，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 时，，∴时，增区间为：； 时，，， ∴时，增区间为：，减区间为：； （2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：； 且时，，，函数的大致图像如下图所示 因为时，函数有两个零点，，所以，即， 不妨设，则；先证：，即证： 因为，所以，又在单调递增，所以即证： 又，所以即证：， 令函数，， 则 因为，所以，，故 函数在单调递增，所以 因为，所以，，即 所以． （2）解法二：因为时，函数有两个零点，， 则两个零点必为正实数，（） 等价于有两个正实数解； 令（） 则（），在单调递增，在单调递减，且 令，，则 所以在单调递增， 又，故， 又，所以， 又，所以，， 又在单调递增，所以 所以． 【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果．nn 1．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) (3)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为， 若，则；若，则； 所以的增区间为，减区间为 （2）函数的定义域是， ． 当时，令则或(舍)． 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是． 综上，． （3）①有两个不同的零点即有两个不同实根， 得，令，，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，所以实数a的取值范围为． ②当时，有两个不同的零点． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得，不妨设，要证：， 只需证：，即证， 设，令，则， 函数在上单调递增，且． ，即，． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 3．已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． （2），令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设进行变形，得到再利用导函数进行求解. 4．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若函数恰有两个极值点，，且，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）解：函数的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令，则，设，则， 当时，，单调递减，当时.，单调递增， ∴， ∴，在上单调增； 综上，当时，在上单调递增； （2）依题意，，则，令，则， 两式相除得，，， ∴，， ∴， 设， 则， 设， 则， ∴在单调递增，则， ∴，则在单调递增， 又，即，而， ∴，即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由则，令，两式相除得到，，从而构造，再结合成立而得解. 5．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合； (3)证明：当时，函数有两个零点，，且满足． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 对求导，得， 令，解得， 当时，，单调递增． 当时，，单调递减； 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率， 公切线的方程为：，将原点坐标代入，得， 解得． 公切线的方程为：，将它与联立，整理得． 令，对之求导得：，令，解得． 当时，，单调递减,当时，，单调递增，则有最小值， 由于直线与函数相切，即只有一个公共点， 故实数的取值集合为； （3）证明：由得，要证有两个零点， 只要证有两个零点即可． 观察得，即时函数的一个零点． 对求导得：，令，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减；即时，取最小值，且，                                   由得：必定存在使得二次函数， 即．因此在区间上必定存在的一个零点． 综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上． 下面证明． 由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上． 不妨设，则，下面证明即可． 令，对之求导得， 故（a）在定义域内单调递减，，即． 证明完毕． 6．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 7．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 8．已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围. 9．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)的增区间是，减区间是. (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题可知，而在上是减函数，是增函数， 在上单调递减，又， 时，单调递增；时，单调递减． 所以的增区间是，减区间是. （2）由题意得， 即，亦即． 设，则由，得，且． 不妨设，则即证， 先证：. 由及的单调性知，． 令， 则． ， ，即在上单调递增，故， ，取，则． 又，则． 又，且在上单调递减， ，即． 下证：． （ⅰ）当时，由，得； （ⅱ）当时，令， 则 ． 记，则． 又在上为减函数， 在上单调递减，在上单调递增， 单调递减，从而，在单调递增． 又， 对于，则， 所以时，，故在上单调递增，， 故时，，． 又， 从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以． 又， 对函数，， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 由，所以． 显然， 所以，即． 取，则． 又，则． 结合，以及在上单调递增， 得到，从而． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：处理双变量问题首先是根据问题所给的等式变形为题干中函数的形态，找出两个变量的联系，再分别构造出函数去证明不等式，并转化为极值点偏移问题，有时还需结合隐零点方法综合使用. 10．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06极值点偏移问题 目录 典例讲解 类型一、加法型极值点偏移问题 类型二、减法型极值点偏移问题 类型三、乘积型极值点偏移问题 类型四、商型极值点偏移问题 类型五、平方型极值点偏移问题 压轴专练 典例详解 知识归纳： 极值点偏移问题的四大核心解法 (一)对称化构造法 适用于证明两个极值点之和、积相关的不等式，解题步骤固定，逻辑清晰： ①定极值点：求f8),判断函数单调性，确定极值点o: ②构辅助函数：结论为81+82>2x(或<2x)时，构造Fx=f8)-f2x-x:结论为 f81+)>0时，构造对应导函数相关辅助函数： ③判单调性：求F(8,讨论辅助函数在指定区间的单调性； ④比函数值：判断Fx在区间内的正负，得出f8与f(2x一x的大小关系： ⑤巧转化：结合fx)的单调性，将函数值关系转化为自变量关系，推导出所证结论。 (二)差值代换法（消参减元法） 核心是通过差值实现单变量转化，消去参数减少变量个数，步骤为： ①建极值点关系：根据题设条件，建立x1x2与极值点xo的关联； ②设差值变量：令t=x2-1(t>0),将x2=81+t代入题设等式； ③单变量转化：将所有表达式化为关于x1(或t)的单变量函数： ④证单变量不等式：通过求导判断单变量函数的单调性，证明所得不等式，推导原结论。 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (三)比值代换法（消参减元法） 与差值代换法原理一致，仅变量设置不同，更适用于含指数、对数的函数： ①建极值点关系：根据fk)=f(x),建立12的等式关系； ②设比值变量：令t=受(t>1或0<t<1),则82=x1: ③消参化简：将等式化为关于t的单变量等式，解出X1(或x2)关于t的表达式： ④证单变量不等式：将所证结论转化为关于t的不等式，求导证明即可。 (四)对数均值不等式法 专用于含对数的极值点偏移问题，对数均值不等式： Vb<<学 a-b (a>0,b>0,a≠b),解题步骤： ①提对数式：从题设fk)=fx)的等式中，整理出含lnx1、lx2的表达式； ②变对数形：将等式变形为点的形式，匹配对数均值不等式结构： ③套不等式证明：直接应用对数均值不等式，结合题设条件推导所证结论。 类型一、加法型极值点偏移问题 l.已知函数f(x)=-sinx+xCOSX+ax3,f(x的导函数为f'(x. 当。=0时，求曲线=八纠在x=号处的切发方程， (2)当x≥0时，fx)≥0，求a的取值范围； ③)设g(=(国(a>0,当x>0时，方程g(x=0仅有两个不相等的实数根x,x,求证：+x>3π 2.已知函数f(x=ae-x-1. (I)当a=1时，求f(x)的最小值； (2)已知函数f(x有两个零点x,2,且x<x2 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (i)求a的取值范围； (i)证明：+，<2nJ a 3.己知函数f(x=axInx(a≠0). (1)若a=2,求曲线y=f(x在x=1处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性； (3)若a=2,x1<x2,且fx)+f(x2+2=x2+x,证明：x1+x2>2. 4.已知函数f(x)=(x-1)lnx+(a-1)x2-2x)有两个零点 (I)求a的取值范围： (②)记X,七为()的两个零点，证明：2<x+x,<3-1 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、减法型极值点偏移问题 5.已知函数f(x=3lnx+axr2-4x(a>0. (1)讨论函数∫(x)的单调性； (②当a=)时，若方程f=b有三个不相等的实数根，4，，且x<5<5,证明：x-x<4. 6到=e“+川-号+香+6有两个零点，6< (1)a=0时，求b的范围； 5 (2)b=-1且a<元时，求证：x2-x1<2V5-4a. 4 7.已知函数f(=(x-e-2)-+ 42 (1)求曲线y=f(x)在0，f(0)处的切线方程； (2)求∫(x)的单调区间与极值； (3)若f(x)=f(x2)=f(x)(x<x<x),证明：3-x<2e. 4/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型三、乘积型极值点偏移问题 8.己知函数f(x)=二e-lnx+x-a,则下列判断正确的是() A.f(x)有两个极值点 B.若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是[e+1,+o) C.若f(x)有两个零点，则a的取值范围是(e+1,+oo) D.若f(x)有两个零点x,x2,则xx2>1 已知函数f=nx-行x+meR,记P=2八儿士 (①)讨论函数F(x)的单调性； (2)已知m>0,对任意x>0,存在a>0,使得m-fa≤F(x,求实数m的取值范围； (3)已知0<x<x2,且F(x)=F(x2),求证：xx2>m2. 10.已知函数fx=xnxr-ax2-2x (1)讨论导函数∫'(x)的零点个数情况； (2)若f(x)有两个不同极值点x、:2.当x1>4x2时，证明：xx>16e3 5/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.已知函数fx=2x+a.x2+xlnx,a∈R (I)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程； 2)若fx)有两个零点x,x,且五>3x,证明：，>e 类型四、商型极值点偏移问题 12.设函数f（x)=(x-1)e-ax2. (I)讨论∫(x的单调性： (2)若f(x有两个零点X,x2,且七<x2 ①求实数a的取值范围； ②话明：+巧 1+1>0. l3.已知函数f(x)=xe+asinx. 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4)当a=0时，求证：f>x+1: (2)若f(x>0对于xe(0,π恒成立，求a的取值范围； (3)若存在xx2∈(0，π)，使得f(x)=f'(x)=0,求证：x,<2x2 14.已知函数fx)=a+lnx,g(x)=ax-lnx-2. (I)若a>0,当∫(x)与g(x)的极小值之和为0时，求正实数a的值； (2)若f(x)=f(x2)=2(x≠x2),求证： 1+1>2 x x2 a 15.己知函数f(x)=x(1-alnx),aeR (1)讨论f(x)的单调性： 时，都有fx)<1,求实数a的取值范围； 0若有不相等的两个正实数，6满足h一年，证明：名+名<西 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、平方型极值点偏移问题 16.已知函数fy=1+nx,其中为自然对数的底数。 ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x,x2· (i)求a的取值范围； (i)证明：x+x>2, 17.已知函数f(x)=血r+ ax (1)讨论f(x)的单调性： (2)若(ex)=(ex2)(e是自然对数的底数)，且x>0,x2>0,x≠x2,证明：x+x号>2. 18.已知aeR,f(x)=x·er,(其中e为自然对数的底数)， (1)求函数y=f(x)的单调区间； (2)若a>0,函数y=f(x)-a有两个零点x,x2,求证：x2+x3>2e. 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 1.已知函数f(x=ax2-(a+2)x+lnx,其中aeR. (1)当a=-1时，求f(x)的单调区间； (2)求当a>0时，函数y=f(x)在区间山，e上的最小值Q(a)； (3)若函数g(x)=f(x)-ax2有两个不同的零点xpx2 ①求实数a的取值范围； ②证明：xx2>e2 2.已知函数f(x)=1+nxe. (I)讨论f(x)的单调性： (②)若方程∫()=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围，并证明：xx2>1. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.已知函数f(x)=x-lnx+m,g(x)= er (1)若函数∫(x)和g（x)的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值； (2)若函数F(x=f(x)-g(x有两个零点x,x2,证明：ee>e2. 4.已知函数f(x)=ae+lnx-1(aeR). (I)当a≤e时，讨论函数f(x的单调性： ②若函数了八恰有两个极值点，丐<，且+，≤5，求孕的攻值范围 5.已知函数f=a+lnx(a∈R). (I)求函数f(x)的单调区间； (2)当函数f(x)与函数g(x)=1nx图象的公切线I经过坐标原点时，求实数a的取值集合； (3)证明：当a0,时，函数)=f)-有两个零点X,5,且满足上+上< x x2 a 10/13