专题05 导数中的同构问题（六大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题05 导数中的同构问题 目录 典例讲解 类型一、积型、商型的同构问题 类型二、和差型的同构问题 类型三、利用同构比较大小 类型四、利用同构证明不等式 类型五、利用同构解决恒成立问题 类型六、利用同构求最值 压轴专练 处理方式： 1、同构法： 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 类型一、积型、商型的同构问题 【例1】对于恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】对，恒有，则实数a的最小值为________. 【变式1-2】若对任意，恒有（为自然对数的底数），则实数的最小值为_________. 【变式1-3】已知对任意，不等式恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A．1 B． C．e D． 类型二、和差型的同构问题 【例3】已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【例4】已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，若对恒成立，则实数a的取值不为（   ） A．e B．e-1 C． D． 【变式2-3】若不等式对恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为（     ） A． B． C． D． 类型三、利用同构比较大小 【例5】已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【例6】设，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“”连接） 类型四、利用同构证明不等式 【例7】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求a的取值范围； (3)证明：当时，． 【例8】已知函数. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设是两个不相等的正数，且，证明：. 【变式4-1】已知函数（e为自然对数的底数）． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，求证：. 【变式4-2】已知函数． (1)判断在上的单调性； (2)若，证明：． 【变式4-3】已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 类型五、利用同构解决恒成立问题 【例9】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【例10】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【变式5-2】若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______． 【变式5-3】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 类型六、利用同构求最值 【例11】若对都有成立，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．e D．2e 【例12】已知函数，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知实数x，y满足且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数，，若，，则的最大值为______． 【变式6-3】已知函数，，若，，则的最小值为______． 1．设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 2．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 3．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式对恒成立，则的取值范围为___________. 9．已知函数，，证明：当时，. 10．已知定义在上的函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 11．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：在上恒成立； (3)求证：当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数中的同构问题 目录 典例讲解 类型一、积型、商型的同构问题 类型二、和差型的同构问题 类型三、利用同构比较大小 类型四、利用同构证明不等式 类型五、利用同构解决恒成立问题 类型六、利用同构求最值 压轴专练 处理方式： 1、同构法： 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 类型一、积型、商型的同构问题 【例1】对于恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得恒成立， 因为函数互为反函数， 所以原命题等价于恒成立， 即恒成立， 令， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以. 所以. 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用反函数的性质把原命题等价转化为恒成立.解数学题，要注意观察，找到合适的切入点. 【例2】对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】由恒成立可得，即恒成立， 由，可得恒成立， 令，则， 由知，函数单调递增， 所以恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以只需，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于转化为后，能够两边同乘以，同构出函数，再由单调性化简为恒成立. 【变式1-1】对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 【变式1-2】若对任意，恒有（为自然对数的底数），则实数的最小值为_________. 【答案】1 【详解】∵等价于， 即．令，则， ，易得函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴函数在上单调递增． ∵等价于， ∴，则，即． 令，则， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，． ∴， ∴实数的最小值为1． 故答案为：1 【变式1-3】已知对任意，不等式恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A．1 B． C．e D． 【答案】D 【详解】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：. 类型二、和差型的同构问题 【例3】已知，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】. 令，则易知在上单调递增，， 令，问题转化为求 在的最小值. 因为，当时，（当且仅当时取“”）. 所以在上单调递增，. 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】方法点睛：先把原不等式转化为，设辅助函数，则问题转化为，在考虑函数在上单调递增，所以可得：，至此，达到分离参数的目的. 【例4】已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，恒成立，即， 所以，， 故令，，在上恒成立， 所以，在上单调递减， 所以，两边取对数得，，即， 记，则， 所以，当，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，的最小值是，故， 所以，实数a的最大值是 ． 故选：C 【变式2-1】若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，， 即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 又，所以，其中， 令，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，即，故实数的最小值为． 故选：A 【变式2-2】已知函数，若对恒成立，则实数a的取值不为（   ） A．e B．e-1 C． D． 【答案】C 【详解】易知，故由 可得， 即，两边同时加，则有. 设，则，所以在上单调递增. 因为，， ， 故. 又因为在上单调递增，故恒成立，即恒成立，即. 设，则. 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 故，则有，解得， 因为均在区间内，不在区间内，故ABD正确，C错误. 故选：C. 【变式2-3】若不等式对恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，在上有意义， ∴，即 原不等式可化为 ∴，即 令，则，即f（x）在上递增， 由上知:，则， 即在上恒成立， 令，则，又， ∴，，，故在上递减， ∴，故，可得 综上，，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】将不等式转化为形式，通过构造函数，利用函数性质化简不等式是问题解决的关键. 类型三、利用同构比较大小 【例5】已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 【例6】设，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得最大值， 因为，，， ， 当时，函数单调递增，可得，即． 故选：B． 【变式3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 则， 设， 则， 设， 则， 当时，，所以在上单调递减， 则，所以，即在上单调递增， 因为，所以，即， 即，所以. 故选：D 【变式3-2】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而a，b，，所以， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据等式特征构造函数是解题的关键. 【变式3-3】若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【详解】因为，，， 所以令，，则，，， 可知， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 因为，所以，即． 故答案为：. 类型四、利用同构证明不等式 【例7】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求a的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故． 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，， 故要使方程有两根，则， 即，得，故a的取值范围为． （3）法一：要证，即， 令，则只需证，当时，，上式显然成立； 现证当时上式成立： 由（1）知，，取，即得， 取，即可得，即得证． 法二：要证，即， 令，则只需证，令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 由（1）知，，则， 故，即，得证， 【例8】已知函数. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）由，， 则， 当时，， 则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：由题意，， 要证，即证， 即证， 由，只需证：. 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得， 设，，则， 而， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 要使且，则，从而， 要证，只需证：， 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证：， 只需证：，即证， 设，则， 设，，则， 则在上单调递增，所以， 从而，所以在上单调递减， 从而，则， 所以. 【变式4-1】已知函数（e为自然对数的底数）． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， 由题意可知对于恒成立，则，即， 所以，； （2）方法一： 等价于， 当时，， 令， 令，则在区间上单调递增 ， ∵， ∴存在，使得，即， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增 ∴ ∴，故 方法二： 当时，， ， 令，则， 令，则， 当时，；当时，， ∴在区间上单调递减，上单调递增． ∴，即， ∴. 【变式4-2】已知函数． (1)判断在上的单调性； (2)若，证明：． 【答案】(1)在上为减函数； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，，求导得， 设，，则， 于是在上为减函数，，则， 所以在上为减函数. （2）当时，，而， 因此原不等式等价于， 由（1）知，是上的减函数， 于是要证原不等式成立，只需要证明当时，， 令，求导得，因此函数是上的增函数， 则，即，从而， 即，所以． 【变式4-3】已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案. （2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证. （3）由（1）可知，可得，即又即可得证. 【详解】（1）解：的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则. 因为，所以，， 则，从而在上单调递减， 所以，即. （3）证明：当时，. 由（1）知，，所以， 即. 当时，，， 则， 即， 又， 所以， 即. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题. 类型五、利用同构解决恒成立问题 【例9】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是． 故选：B． 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【例10】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 【变式5-1】若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】A 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：A 【变式5-2】若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______． 【答案】． 【详解】由可得当时， ， 即， 令，易知恒成立，即在R上单调递增， 由可得； 故，可得，即， 又是单调递增函数，故可得， 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故， 可得． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常通过指数和对数恒等变换，再利用同构技巧合理构造函数，利用导数求得其单调性和最值即可实现问题求解. 【变式5-3】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)；函数的单调增区间为，无单调减区间. (2) 【详解】（1）函数的定义域是， . 所以在点处的切线方程为， 切线经过点，则. ，设， 是的极小值点，且， 因此在恒成立， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间. （2）在区间上恒成立，即， 令，则，即. 由（1），只需要，也就是在区间上恒成立. 设，. ， 故是的最大值， 所求的取值范围是. 【点睛】第二问，通过换元令是构造同构式的关键，也是此题的突破口 ，有了这个突破，即可将函数值的关系转化为自变量的关系，将问题降低一层难度，也打开了后续的解思路. 类型六、利用同构求最值 【例11】若对都有成立，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．e D．2e 【答案】B 【分析】 【详解】由，得， 则，即， 有，令， 所以，令， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为2. 故选：B. 【例12】已知函数，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，，即， 令函数，则， 所以，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 又当时，，时，， 作函数的图象如图所示. 由图可知，当时，有唯一解，故，且，    ∴.设，，则， 令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解. 【变式6-1】已知实数x，y满足且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，∴，即， 设,则上式表明, 求导得，当时，,单调递减， 由于，∴，∴， ∴,∴，∴,令, ,当时，单调递减；当时，单调递增， ∴, 故选：D. 【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到. 【变式6-2】已知函数，，若，，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由得：； 由得：，； ， 令，， ，在上单调递增， ； 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解. 【变式6-3】已知函数，，若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 于是，，所以， 构造函数，且，当时，，所以在上单调递增， 所以，于是， 又，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故，当且仅当，即（舍去）时取到最小值， 所以， 故答案为：． 1．设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，所以 依题意恒成立，即， 因为， 所以恒成立. 令，则， 当时，所以在上单调递增， 则不等式恒成立，等价于恒成立. 因为，所以所以， 当时，，此时恒成立； 当时，，所以对任意的恒成立，所以恒成立. 设,可得. 当时在单调递增， 当时在单调递减. 所以当时函数取得最大值，为，此时， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 2．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】构造函数， 因为对一切恒成立， 所以函数在上是减函数，从而有， 即. 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型. 3．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 4．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，时，显然恒成立； 当 时，由题，则恒成立， 得，恒成立， 令，则恒成立， 则，故在递增， 则恒成立，得恒成立， 令，则，即在递增， 故，故， 综合得. 故选：B. 【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键. 5．已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】当时，由，可得， 不等式两边同时除以可得， 即， 令，，其中，， 所以，函数在上为增函数，且，由，可得， 所以，对任意的，，即， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在求解有关x与的组合函数综合题时要把握三点： （1）灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导； （2）把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理； （3）函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值. 6．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，即，所以， 所以. 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令. 则.令，解得：； 令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 即的最小值为. 故选：B 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为，由，可得， 所以，， 令，其中，则，所以，函数在上单调递增， 由可得， 所以，，所以，，其中， 令，其中，则. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，所以，，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键在于将不等式变形为，通过构造函数，进一步将不等式变形为，从而结合函数的单调性与参变量分离法求解. 8．已知不等式对恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【详解】解法一：不等式可转化为， 即对恒成立， 设，易得该函数单调递增，则对恒成立，所以，， 设，则，所以单调递增， 所以，所以， 由函数对恒有意义，所以，， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 解法二：由题意得：要使有意义，则， 当时，恒成立，即，所以， 当时，令（）， 要使不等式对恒成立， 则时，函数在上恒成立， 又，可知 在上是减函数， 当时，与在上的函数图像必有一个交点， 设其横坐标为，则有，即， 当时，时，的函数图像在下方， 则，所以在单调递减，所以； 当时，时，的函数图像在上方，时，的函数图像在下方， 所以时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以. 要使时，函数在上恒成立， 则时，； ①当时，不等式， 设，， 可知在上单调递增，又， 所以时，成立， 故时，，解得：； ②当时，不等式（），则， 又在上单调递增，则时，， 所以时，不等式，解得：， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 9．已知函数，，证明：当时，. 【答案】证明见解析 【分析】详解】原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 10．已知定义在上的函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【详解】（1）函数，，求导得：， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由得，由得，则在上递增，在上递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. （2）因为，且当时，不等式恒成立， 当时，，恒成立，因此， 当时，， 令，原不等式等价于恒成立， 而，即函数在上单调递增，因此， 即，令，， 当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，因此， 综上得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 11．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：在上恒成立； (3)求证：当时，． 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析． 【分析】 【详解】(1)函数的定义域为，， 令，即， ，解得或， 若，此时，在恒成立， 所以在单调递增； 若，此时，方程的两根为，且，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，此时，方程的两根为，且，， 所以在上单调递增． 综上所述：若，在单调递增； 若，在，上单调递增， 在上单调递减． (2)由(1)可知当时，函数在上单调递增， 即，所以在上恒成立． (3)由(2)可知在恒成立， 所以在恒成立， 下面证x>0时，，即证， 设，， 设，， 易知在恒成立，在单调递增， 所以，在单调递增， 从而有， 所以，即当时，． 【点睛】(1)含参数的函数单调性讨论问题，定义域内以导函数的零点情况进行分类讨论； (2)证明函数不等式，借助分析法、放缩思想转化，再用导数解决. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $