专题04 利用导数研究恒成立，能成立问题（六大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题04 利用导数研究恒成立，能成立问题 目录 典例讲解 类型一、分离参数法解决恒成立问题 类型二、分离参数法解决能成立问题 类型三、分类讨论法解决恒成立问题 类型四、分类讨论法解决能成立问题 类型五、最值定位法解决双参不等式问题 类型六、等价转化法解决恒（能）成立问题 压轴专练 类型一、分离参数法解决恒成立问题 处理方式： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需． ③求最值. 【例1】已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【例2】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围． 【变式1-1】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【变式1-2】设函数常数). (1)求函数的单调递减区间; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-3】已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 类型二、分离参数法解决能成立问题 处理方式： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 【例3】设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例4】已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【变式2-1】若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【变式2-3】若存在，使 成立，则a 的取值范围为_________ 类型三、分类讨论法解决恒成立问题 处理方式： 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 【例5】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【变式3-1】已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______. 【变式3-2】已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【变式3-3】已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 类型四、分类讨论法解决能成立问题 【例7】若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式4-1】已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式4-2】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【变式4-3】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 类型五、最值定位法解决双参不等式问题 处理方式： （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【例9】设函数. （1）求函数的递增区间； （2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围. 【例10】已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【变式5-1】已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 类型六、等价转化法解决恒（能）成立问题 处理方式： ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【例11】已知函数，. (1)令，讨论函数的单调性； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【例12】已知函数（且） (1)求的极小值； (2)当时，在处切线的斜率为e+1，函数 （i）判断零点个数并说明理由； （ii）函数，若对任意的正实数x，都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且． (1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值; (2)求θ的值; (3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围． 【变式6-2】已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知函数，（且为常数）． （1）当时，求函数的最小值； （2）若存在使得成立，求实数的取值范围． 1．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 3．设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 4．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 5．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）证明：在上单调递减，上单调递增； （2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围. 6．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 7．已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，求a的取值范围. 9．已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 10．设函数，的最小值； (1)求； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 11．已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围. 12．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用导数研究恒成立，能成立问题 目录 典例讲解 类型一、分离参数法解决恒成立问题 类型二、分离参数法解决能成立问题 类型三、分类讨论法解决恒成立问题 类型四、分类讨论法解决能成立问题 类型五、最值定位法解决双参不等式问题 类型六、等价转化法解决恒（能）成立问题 压轴专练 类型一、分离参数法解决恒成立问题 处理方式： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需． ③求最值. 【例1】已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 【例2】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，， 则，. 所以在处的切线方程为，即. （2）由可得：函数定义域为，. 当时，，此时函数在定义域上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数在定义域上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）因为函数在处取得极值， 所以，即，解得. 此时， 令，解得；令，解得， 所以函数在处取得极值， 故. 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令， 则. 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 则，解得：. 所以实数b的取值范围为 【变式1-1】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1-2】设函数常数). (1)求函数的单调递减区间; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数，定义域为. 所以， 所以，当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增. 因此，函数的单调递减区间为. （2）由题得：， 整理得：， 由于，可将不等式化为：， 令，，则. 求导：， 因为，所以， 故，所以对恒成立， 即在上单调递增， 因此， 于是. 【变式1-3】已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， 令，得 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）令，可得， 令，，因为，所以， 所以在单调递减， 要使得对任意的恒成立， 所以，即， 因为存在实数，使得成立， 所以，即， 所以的最大值为.nn 类型二、分离参数法解决能成立问题 处理方式： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 【例3】设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若存在唯一的整数，使得，即存在唯一的整数，使得， 所以有唯一的整数解. 令，，所以， 令，即，解得， 所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，，当时，. 若，，会有多个整数解，舍去； 若，需满足，且， 所以. 故选：D． 【例4】已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 【变式2-1】若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 【变式2-2】设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得， 令，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以在上单调递增，无减区间. （2）依题意，， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增，， 当，时，，则当有两个零点时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）不等式有解， 即有解，令， 求导得， 由，得；由，得 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2-3】若存在，使 成立，则a 的取值范围为_________ 【答案】 【详解】不等式成立等价于， 令，易知， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则上述不等式等价于有解， 设，可知，显然在上单调递增， 即，则. 故答案为：. 类型三、分类讨论法解决恒成立问题 处理方式： 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 【例5】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即在时恒成立， 令，， 令，， 在单调递增，， ①当时，，即在单调递增， ，即， 在单调递增， ， 故时，在时恒成立； ②时，，解得, 在单调递增， 时，，单调递减， 此时，即， 在上单调递减，此时， 即时，，，不符合题意； 综上，． 【例6】已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式3-1】已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意知，当时，. ， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以. ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【变式3-2】已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 【变式3-3】已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． （2）因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 类型四、分类讨论法解决能成立问题 【例7】若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，即有唯一整数解， 可知恒过， 设函数，则， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 可知，， 当时，且， 当时， ， 则函数和函数图像如下图所示， 若，由函数图像可知，恒成立，则必有无数个整数点，不满足； 故，若在轴右边有整数解，只能是成立，不成立， 即，即， 若在轴左边有整数解，只可能在成立，不成立， 即，即， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 【例8】已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1），定义域为， ，； ①时，恒成立，在上单调递增，没有极值； ②时，令，则，；解得， 令，则，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 故极大值为，无极小值； （2），恒成立；即，在时恒成立； 令，； ∵，∴即，； 下面证明：时，恒成立. ∵； 令，； ； ∴在单调递减； 又∵，∴； ∴恒成立，证毕. 所以的取值范围为. 【变式4-1】已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】 【详解】由题意得有解，即在时有解. 令，则    若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意；     若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得.               综上，的取值范围为. 【变式4-2】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【答案】(1)取得极小值为，无极大值. (2)详解见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ③当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 若，则，即，不符合题意； 当时，在单调递减， ，则，解得， 又，所以； 当时，所以在单调递增，，不符合题意； 当时，， ①当时，在单调递增，在单调递减， 由题意得， 即，恒不成立，故无解， ②当时，在单调递减， ，则，解得：，不满足题意； 当时，在单调递增，，不符合题意； 所以的取值范围是. 【变式4-3】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知①当时，在上单调递增， 若，可知即可，可得， 解得； ②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增， 此时需满足，即，此时无解； ③当时，结合（1）中结论可知在上单调递减，在上单调递增； 所以满足即可，即， 令， 则，易知在上为单调递减； 又，所以存在唯一满足， 因此可得时，，当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时不满足，不合题意； ④当时，在上单调递减，即可得在上单调递减； 所以只需满足，即，解得； 综上可知或. 即的取值范围为 类型五、最值定位法解决双参不等式问题 处理方式： （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【例9】设函数. （1）求函数的递增区间； （2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先求导数，再解不等式即可. （2）根据对任意，总存在，使得，结合求最值时要讨论，则先求的最值，转化为存在，使得，再分，用导数法讨论 求解即可. 【详解】（1）， 令，得， 的递增区间为. （2）当在上递减， ， 当时， ， 在上递减， ∴， 由题意可得，， 又. 当时，在上递增，. 当时， 当时，；当时，， ， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法： （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可. （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解. 【例10】已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析过程 (2)答案见解析过程 (3) 【分析】 【详解】（1）由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； （2）由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时，上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； （3）问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于 在上的最小值与在上的最小值的差大于， 当时，则有，由（2）可知在上的最小值为， 由（1）可知在上的最小值为， 所以有； 当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为， 所以当时，， 此时有； 当时，， 则有， 综上所述：实数m的取值范围为. 【变式5-1】已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 【变式5-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 【变式5-3】已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）求出的导数，讨论和两种情况利用导数正负判断单调性，求出极值； （Ⅱ）题目等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，分别利用导数求出和的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）. ①当时，，在上单调递增，无极值. ②当时，令，得. 令，则；令，则. ∴在上单调递增，在上单调递减， 此时，无极小值. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 极大值为，无极小值. （Ⅱ）对任意，总存在，使得成立， 等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 又，，. 由（Ⅰ）知： ①当时，， 由得，所以. ②当时，在上单调递增，在上单调递减. ，又， ∴当时，， 由得，所以； 当时，， 由，得，所以. 综上所述，的取值范围是. 类型六、等价转化法解决恒（能）成立问题 处理方式： ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【例11】已知函数，. (1)令，讨论函数的单调性； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） ,定义域为    , 当时，得; 得. 所以 在上是单调递增的,上是单调递减的; 当时， ，所以 在 上是单调递增的; 当时, 得或; 得. 所以 在上是单调递增的，在上是单调递减的; 当时， 得，或； 得. 所以 在上是单调递增的，在 上是单调递减的. 综上：当 时， 在 上是单调递增的，上是单调递减的. 当时， 在 上是单调递增的 当时，在上是单调递增的，上是单调递减的. 当时，在上是单调递增的， 上是单调递减的. （2）若任意 ,都有恒成立．令 只需 即可, 由（1）知，当 时，在上是单调递增的，, 解得 又，所以 ， 当时，在上是单调递减的，解得, 又，所以 ; 当时，在上是单调递减的，上是单调递增的. 因为 ，所以 在 上是单调递减的． 所以，则恒成立，所以; 综上： . 【例12】已知函数（且） (1)求的极小值； (2)当时，在处切线的斜率为e+1，函数 （i）判断零点个数并说明理由； （ii）函数，若对任意的正实数x，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)（i）一个，理由见解析（ii） 【分析】 【详解】（1）方法一：. 因为当时，，函数在上是增函数， 当时，，函数在上是增函数， 所以是上的增函数， 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值1. 方法二：因为，令， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，的解集为， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值1. （2）（ⅰ）因为， 所以， 设，则， 所以在单调递增， 且当时，，故， 又， 令，， 所以在单调递增，且， 当时，， 所以存在唯一，使得，即在只有一个零点， 即只有一个零点. （ⅱ）由题知，对任意都有恒成立， 即，， 所以对任意，都有， 令，则， 由（ⅰ）知在上单调递增，且在上有唯一零点， 当时，，当，， 所以当，单调递增，当，单调递减， 且，. 所以无最小值， 故. 【变式6-1】已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且． (1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值; (2)求θ的值; (3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间为， 函数有极大值; (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． 令，则．∴，和的变化情况如下表： + 0 递增 极大值 递减     即函数增区间是，减区间为， 函数有极大值是; （2）由已知在上恒成立， 即，在上恒成立， ∵，∴， 故在上恒成立，只需， 即，∴只有， 由，知； （3）令 当时，由，则，， 此时不存在，使得成立 当 时，， 所以在上单调递增， 所以， 令，则， 所以实数m的取值范围是. 【变式6-2】已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由函数，得的定义域为， 当时，，， 令，解得；令，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，即． （2）解：令， 因为对于任意都有，只须在上恒成立， 又由， 因为， 所以，，即 所以在上单调递增，所以，解得， 所以当时，对任意都有成立． 【变式6-3】已知函数，（且为常数）． （1）当时，求函数的最小值； （2）若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 令可解得，令可解得， 在单调递减，在单调递增， ； （2）令， 则题目等价于在有解， ， 令，则， 当时，，则在单调递增， 此时，满足题意， 当时，在恒成立，即在单调递增， 则，故在单调递增，则， 则要使在有解，满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 1．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 2．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】依题意，， 由，得，所以在是单调递减； 由，得，所以在是单调递增； 所以当时，取得极小值，即最小值； 因为函数在上单调递减，所以； 因为存在，，使得成立， 所以原命题等价于存在，， 即存在，，又，所以. 故答案为：. 3．设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】 【详解】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 4．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 5．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）证明：在上单调递减，上单调递增； （2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1）证明： 令，解得，∴在上单调递增 令，解得，∴在上单调递减 （2）总存在，，对任意都有， 即函数在，上的最大值不小于，的最大值 令，∴，对称轴 ∴ ∴，， 令，∴，∴ ∴，∴ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角函数的有界性，二次函数的最值以及恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 6．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）方法一：存在使得成立， 即存在使得成立 设，， 令，， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， ， 方法二：，， ①当时，，函数在上单调递增，因为， 所以总存在使得成立 ②当时，令解得；令解得， 故此时函数在上单调递增，在上单调递减， 因为存在使得成立， ， 综上所述，； （2）由（1）可知，当时，在恒成立， 所以函数在恒成立， 方法一：问题转化为在恒成立， 设，，， 设，当，， 在单调递增， 当，， 故，在单调递增， 根据洛必达法则，， ， ； 方法二：设，， ①当时， 在恒成立，在单调递增， ，即在恒成立， ②当时， 由，解得，在单调递增， 由，解得，在单调递减， ， 即在不能恒成立，舍去； 综上所述，. 7．已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，， ∴，，∴， ∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即. 令得，即该切线与轴相交于点； 令得，即该切线与轴相交于点， ∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为. 即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为. （2）∵，， ∴，∴. ∵， ∴当时，，，∴， 此时在上单调递增； 当时，∵，令，解得； 令，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令，. 依题意，在恒成立，故. 由（2）知：当时，在上单调递增， 此时，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时显然当时，不符合题意. 综上，实数的取值范围. 8．设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】 【详解】对，都，使得不等式成立等价于， 因为当时，，则；当时，，则 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即， 当时，成立， 故当时，由可得 . 记，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 则当时，，即恒成立， 故，即 所以. 所以a的取值范围为. 9．已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 因为是极值点，所以，即，， 此时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以是极小值点， 综上，. （2）法1： 研究命题的否定，即，， 所以，解得（成立的必要条件）， 下面证明：时，在恒成立. 因为， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以，即证. 所以，使得，则. 法2： 由题意，有解， 令，所以， 设， 因为，所以在上单调递减，且. 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. 法3： 由题意，在有解， 令，则， ①当时，则，满足题意； ②当时，因为存在使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 因为，所以. 令，所以， 所以在上单调递减，且， 所以的解为. 因为，所以； 综上，. 10．设函数，的最小值； (1)求； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 11．已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【分析】 【详解】（Ⅰ）. ①当时，，， 在区间上，；在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是. ②当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ③当时，，故的单调递增区间是. ④当时，，在区间和上，；区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. （Ⅱ）设，，，为增函数， 由已知，.据此可得. 由（Ⅰ）可知， ①当时，在上单调递增， 故， 所以，，解得，故. ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故. 由可知，，， 所以，，， 综上所述，. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 12．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $